Яков Перельман - Математика для любознательных
Но что сказать о человеке, который может написать сумму еще раньше, чем ему названы все слагаемые?
Это, конечно, фокус, и выполняется он в таком виде. Отгадчик предлагает вам написать какое-нибудь многозначное число, по вашему выбору. Бросив взгляд на это первое слагаемое, отгадчик пишет на бумажке сумму всей будущей колонны слагаемых и передает вам на хранение. После этого он просит вас (или кого-нибудь из присутствующих) написать еще одно слагаемое, - опять-таки какое угодно. А затем быстро пишет сам третье слагаемое. Вы складываете все три написанных числа - и получаете как раз тот результат, который заранее был написан отгадчиком на спрятанной у вас бумажке.
Если, например, вы написали в первый раз 83267, то отгадчик пишет будущую сумму 183266. Затем вы пишете допустим, 27935, а отгадчик приписывает третье слагаемое - 72064:
Получается в точности предсказанная сумма, хотя отгадчик не мог знать, каково будет второе слагаемое. Отгадчик может предсказать также сумму 5-ти или 7-ми слагаемых, - но тогда он сам пишет два или три из них. Никакой подмены бумажки с результатом здесь заподозрить вы не можете, так как она до последнего момента хранится в вашем собственном кармане. Очевидно, отгадчик пользуется здесь каким-то неизвестным вам свойством чисел. Каким?
Решение
Отгадчик пользуется тем, что от прибавления, скажем, к 5-значному числу числа из 5-ти девяток (99999) это число увеличивается на 100000-1, т. е. впереди него появляется единица, а последняя цифра уменьшается на единицу. Например:
Эту сумму - т. е. сумму написанного вами числа и 99999 - отгадчик и пишет на бумажке, как будущий результат сложения. А чтобы результат оправдался, он, увидев ваше второе слагаемое, выбирает свое, третье слагаемое так, чтобы вместе со вторым оно составило 99999, т. е. вычитает каждую цифру второго слагаемого из 9. Эти операции вы легко можете теперь проследить на предыдущем примере, - а также и на следующих примерах.
Легко усмотреть, что вы сильно затрудните отгадчика, если ваше второе слагаемое будет заключать больше цифр, чем первое: отгадчик не сможет написать слагаемого, которое уменьшит ваше второе число для оправдания предсказанного им слишком малого результата. Поэтому опытный отгадчик предупредительно ограничивает свободу вашего выбора этим условием.
Фокус выходит внушительнее, когда в придумывании слагаемых участвует несколько лиц. После первого же слагаемого - например 437692, - отгадчик уже предсказывает сумму всех пяти чисел, именно записывает 2437690 (здесь будет добавлено дважды 999999, т. е. 2000000-2). Дальнейшее ясно из схемы:
Предугадать результат
Большое впечатление производят те арифметические фокусы, в которых отгадчик угадывает результат действий над совершенно неизвестными ему числами. Подобных фокусов существует много, и все они основаны на возможности придумать такой ряд арифметических действий, результат которых нисколько не зависит от чисел, над которыми они производятся.
Рассмотрим фокусы этого рода.
Признак делимости на 9 всем известен: число кратно 9, если сумма его цифр кратна 9. Припомнив, как выводится это правило, мы запасаемся еще и другим интересным правилом: если от числа отнять сумму его цифр, то получается остаток, кратный 9 (это доказывается попутно при выводе признака делимости на 9). Точно так же мы получим число, кратное 9, если отнимем от данного числа другое, которое составлено из тех же цифр, но размещенных в другом порядке. Например: 457-(4 + 5 + 7) = 441, т. е. числу, кратному 9; или: 7843-4738 = 3105, числу, кратному 9[72]. Всем этим можно воспользоваться для выполнения несложного фокуса.
Задача № 48
Предложите товарищу задумать любое число и затем, переставив его цифры в ином, каком угодно, порядке, вычесть меньшее число из большего. В полученном результате ваш товарищ зачеркивает одну цифру - безразлично какую - и читает вслух оставшиеся цифры, а вы сразу же называете скрытую от вас, зачеркнутую сумму. Как вы отгадываете ее?
Решение
Очень просто: вы знаете, что результат должен быть кратен 9, т. е. сумма его цифр должна без остатка делиться на 9. Быстро сложив в уме прочитанные вам цифры, вы легко можете сообразить, какой цифры не хватает, чтобы сумма была кратна 9. Например: задумано число 57924; после перестановки получено 92457. Вычитание дает результат 3?533, в котором знак вопроса стоит на месте зачеркнутой цифры. Сложив цифры 3 + 5 + 3 + 3, получаем 14. Нетрудно сообразить, что зачеркнута была цифра 4, потому что ближайшее большее число, кратное 9, есть 18, а 18-4 = 14.
Задача № 49
Тот же фокус можно обставить гораздо более эффектно, именно так, чтобы отгадать число, ничего не спрашивая у загадчика. Для этого проще всего предложить задумать трехзначное число с неодинаковыми крайними цифрами; затем, переставив цифры в обратном порядке, вычесть меньшее число из большего; в полученном результате переставить цифры и сложить оба числа. Окончательный результат всего этого ряда перестановок, вычитания и сложения вы называете изумленному загадчику без малейшего промедления или даже вручаете ему заранее в заклеенном конверте. Как это делается?
Решение
Секрет фокуса прост: какое бы число ни было задумано, в результате перечисленных действий всегда получается одно и то же: 1089. Вот несколько примеров:
(Последний пример показывает, как должен поступать загадчик, когда разность получается двузначная.)
Всматриваясь внимательно в ход выкладок, вы, без сомнения, поймете причину такого однообразия результатов. При вычитании неизбежно должна получаться в разряде десятков цифра 9, а по сторонам ее - цифры, сумма которых = 9. При последующем сложении должна поэтому получиться на первом справа месте цифра 9, далее, от 9 + 9, цифра 8и 1-ца в уме, которая при сложении с 9-ю сотнями дает 10. Отсюда - 1089.
Если вы станете повторять этот фокус несколько раз кряду, не внося в него никаких изменений, то секрет ваш, разумеется, будет раскрыт: загадчик сообразит, что постоянно получается одно и то же число 1089, хотя, быть может, и не отдаст себе отчета в причине такого постоянства. Вам необходимо поэтому видоизменять фокус. Сделать это не трудно, так как 1089 = 33 x 33 = 11 x 11 x 3 x 3 = 121 x 9 = 99 x 11. Достаточно поэтому просить загадчика, когда вы доведете его до числа 1089, разделить этот результат на 33, или на 11, или на 121, или на 99, или на 9, - и тогда лишь назвать получающееся число. У вас, следовательно, в запасе имеется 5 изменений фокуса, - не говоря уже о том, что вы можете просить загадчика также умножить сумму на любое число, мысленно выполняя то же самое действие.
Мгновенное деление
Из многочисленных разновидностей фокусов этого рода опишем один, основанный на знакомом уже нам свойстве множителя, состоящего из ряда одних девяток; когда умножают на него число со столькими же цифрами, получается результат, состоящий из двух половин: первая - это умножаемое число, уменьшенное на 1-цу; вторая - результат вычитания первой половины из множителя. Например: 247 x 999 = 246753; 1372 x 9999 = 13718628 и т. п. Причину легко усмотреть из следующей строки:
247 x 999 = 247 x (1000-1) = 247000-247 = 246999-246.
Пользуясь этим, вы предлагаете целой группе товарищей произвести деление многозначных чисел - одному 68933106:6894, другому 8765112348:99999, третьему 543456:544, четвертому 12948705:1295 и т. д., - а сами беретесь обогнать их всех, выполняя те же задачи. И прежде, чем они успеют приняться за дело, вы уже вручаете каждому бумажку с полученным вами безошибочным результатом деления: первому - 9999, второму 87652, третьему - 999, четвертому - 9999.
Вы можете сами придумать по указанному образцу ряд других способов поражать непосвященных мгновенным выполнением деления: для этого воспользуйтесь некоторыми свойствами тех чисел, которые помещены в «Галерее числовых диковинок» (см. главу VI).
Любимая цифра
Задача № 50
Попросите кого-нибудь сообщить вам его любимую цифру. Допустим, вам назвали цифру 6.
- Вот удивительно! - восклицаете вы. - Да ведь это как раз самая замечательная из всех значащих цифр.
- Чем же она замечательна? - осведомляется ваш озадаченный собеседник.
- А вот посмотрите: умножьте вашу любимую цифру на число значащих цифр, т. е. на 9, и полученное число (54) подпишите множителем под числом 12345679:
Что получится в произведении?
Ваш собеседник выполняет умножение - и с изумлением получает результат, состоящий сплошь из его любимых цифр:
