Рауль Ибаньес - Мир математики: т.6 Четвертое измерение. Является ли наш мир тенью другой Вселенной?
На другом конце социальной лестницы находятся жрецы. «Наши жрецы занимают ведущие посты во всех отраслях коммерческой деятельности, искусства и науки. Они руководят розничной и оптовой торговлей, армией, архитектурой, промышленностью, решают наиболее важные государственные дела, им принадлежит самое веское слово в вопросах законодательства, морали и теологии. Не делая ничего сами, они являются побудителями, причиной всего, что следует делать и делается другими». Их предназначение состоит в том, чтобы беспокоиться о конфигурации флатландцев, так как это определяет роль и судьбу каждого.
Противодействие новым идеям и всему тому, что может означать нарушение установленного социального порядка, особенно отчетливо проявилось в случае с введением цвета в черно-белом мире Флатландии и последующим восстанием красок, которое в конце концов было подавлено жрецами с помощью женщин.
* * *
ШОВИНИЗМ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Некоторые из прочитавших «Флатландию» в первый раз выступили против книги, обвинив ее автора в шовинизме. Однако это совсем не так: Эбботт был активным сторонником защиты прав женщин и одним из лидеров Движения за право на образование женщин. В 1870 г. университеты Оксфорда и Кембриджа начали принимать женщин на учебу, хотя до 1920 г. они были не в состоянии получить соответствующую подготовку. Женщин принимали в университет и позволяли получить образование такого же уровня, как и у мужчин, но школ, помогавших им подготовиться, было мало. Через английский Совет директоров и Педагогическое общество Эбботт помогал создавать возможности для девочек получить образование.
Часть вторая: иные миры
Вторая часть книги, озаглавленная «Иные миры», затрагивает проблемы многомерных аналогий и богословские аспекты, хотя социальная сатира присутствует на протяжении всей книги. Сначала Квадрат в странном сне оказывается в Лайнландии, мир которой представляет собой бесконечную прямую и поэтому является одномерным. Он населен отрезками прямых (мужчины) и точками (женщины). Находясь вне Лайнландии, Квадрат обращается к королю этого мира, который сначала не может понять, с кем или с чем он разговаривает. Квадрат пытается объяснить королю, что он сам живет в двумерном мире и воспринимает все в двух измерениях, но король его не понимает, а Квадрат не знает, как это все объяснить. Он начинает описывать ситуацию, когда точка, двигаясь в одномерной Лайнландии, образует отрезок — что очевидно для короля, — но если отрезок перемещается «вверх», то получается квадрат. Однако король не в состоянии понять ни смысл выражения «вверх», ни понятие «квадрат». Тогда двумерный математик решает пересечь Лайнландию, чтобы показать королю, что он представляет собой двумерное существо. Но король не верит, что отрезки, которые он видит, являются различными сечениями квадрата, а не неким жителем Лайнландии, обладающим непостижимой способностью появляться и исчезать.
На следующий день после пробуждения Квадрат встречается со Сферой, живущей в Спейсландии — мире с тремя измерениями, который содержит в себе Флатландию. Как и в случае с королем Лайнландии, Квадрат сначала не может понять, откуда доносится голос. На этот раз Сфера пытается описать природу трехмерного пространства жителю Флатландии, приведя аналогию, что если квадратная фигура будет расти в направлении «вверх», то получится куб, имеющий три измерения. Когда ученик оказывается неспособным понять эти аргументы, Сфера решает пересечь Флатландию так, что оказываются видны ее плоские сечения, являющиеся окружностями. Но Квадрат думает, что это жрец, который появился неким волшебным образом, потом быстро вырос, как если бы время ускорилось, а затем таинственно сжался и исчез.
Продолжая ряд аналогий относительно разных размерностей и социальной структуры, трехмерный посетитель приводит аргумент, основанный на количестве вершин (углов) и граней. Количества вершин точки, отрезка и квадрата образуют геометрическую прогрессию 1, 2, 4, которая продолжается числом 8, что, как Сфера объясняет Квадрату, является количеством вершин куба. Кроме того, точки не имеют граней, отрезок имеет две (его два конца), а квадрат имеет четыре грани (четыре стороны). Получается арифметическая прогрессия 0, 2, 4, которая продолжается числом 6, равным количеству граней куба.
Иллюстрация, показывающая, как Сфера проходит через Флатландию.
Сфера, убедившись в тщетности своих объяснений, принимает решительные меры и выносит нашего героя из Флатландии, что возможно благодаря тому, что Флатландия и все ее жители имеют постоянную толщину в трехмерном пространстве. Увидев свой мир со стороны, Квадрат понимает смысл третьего измерения пространства, о котором говорил его учитель. Сразу стали ясны все изложенные аргументы, но это еще не всё. Как хороший математик, он понимает, что эти аргументы позволяют ему пойти дальше. Подумав некоторое время, он объясняет Сфере, что если использовать ту же аналогию с размерностями, то, возможно, существует и четырехмерное пространство, содержащее и мир Сферы. Теперь сама Сфера приходит в замешательство, отказываясь признать этот аргумент и факт существования четырехмерного пространства: «Такой страны нет. Сама мысль о том, что она существует, лишена всякого смысла».
Если точка (нулевой размерности) движется в определенном направлении, то получается отрезок (размерность 1). Если отрезок перемещается в перпендикулярном направлении, то получается квадрат (размерность 2). При перемещении квадрата в перпендикулярном направлении получается куб (третье измерение). Гиперкуб (четвертое измерение) получается путем перемещения куба.
Как мы уже говорили, Эбботт не верил в чудеса и считал, что христиане не должны основывать на них свою веру. Эта идея также отражена во «Флатландии», где то, что кажется чудом двумерным существам, на самом деле легко объясняется при переходе в третье измерение. Приведем несколько ироничный диалог между Квадратом и Сферой:
«Потрясенный зрелищем сокровенных тайн земли, открывшихся моему недостойному глазу, я сказал своему спутнику:
— Я стал как бы богом. Ведь говорят же мудрецы во Флатландии, что способность все видеть или, как они выражаются, быть всевидящим присуща лишь богу.
В ответ мой наставник заметил:
— Так ли это на самом деле? У нас в Спейсландии найдется немало карманных воров и убийц, которых ваши мудрецы приняли бы за богов, ибо каждый из них, взглянув на Флатландию, увидел бы не меньше, чем вы сейчас. Поверьте мне, ваши мудрецы глубоко заблуждаются».
Роман заканчивается тем, что герой попадает в тюрьму за попытку написать трактат о тайнах третьего измерения и рассказать жителям своего плоского мира о существовании трехмерного пространства. Здесь мы можем увидеть аналогию со священными писаниями и гонениями, которым подвергались святые апостолы.
Даже язык Эбботта в этой части становится похож на библейскую речь, когда, например, он приводит слова Квадрата: «Смерть или тюремное заключение ожидает апостола учения о Спейсландии». Социальная сатира заключается в изображении общества, которое наказывает тех, кто пытается пропагандировать новые идеи.
Контекст «Флатландии»
Многомерные аналогии и изучение различных пространств с учетом их размерности являются ключевыми идеями «Флатландии», предложенными Эбботтом. В действительности, в то время они были широко распространенным подходом для понимания многомерных пространств, включая аналогию с двумерным пространством, населенным плоскими существами.
Одно из первых упоминаний о важности изучения различных пространств и идеи многомерных аналогий можно найти в «Республике» Платона (книга VII).
В этой книге Сократ обсуждает с Главконом образование, которое должны получать стражи идеального государства. Главкон объясняет, что начать нужно с арифметики и изучения ряда чисел. Затем надо перейти к плоской геометрии, содержащей необходимые знания для ведения войны («Очевидно, что мы имеем дело с той частью геометрии, которая относится к войне»), а также для всех других видов деятельности, относящихся к управлению государством. Когда Сократ спрашивает, что должно идти дальше, Главкон предлагает астрономию. Сократ замечает, что тот упустил важный шаг: «Правильнее было бы после второго измерения рассмотреть третье: оно касается измерения кубов и всего того, что имеет глубину». Только перейдя от первого измерения ко второму, а затем к третьему, ученики будут готовы к изучению «астрономии, или круговращения твердых тел».
Знаменитый миф о пещере — аллегория Платона — является основополагающим ориентиром для вопросов, рассматриваемых во «Флатландии». Здесь мы также находим многомерную аналогию, проблему познания мира, в котором мы живем, и образование как средство для достижения этого знания. Платон предлагает представить расу людей, которые с рождения живут в темной подземной пещере, связанные таким образом (тело, ноги, руки, шея), что они могут видеть только стену пещеры. За ними находится невысокая стена, за которой горит огонь. Между огнем и стеной перемещаются фигурки маленьких людей, животных и инструментов, а огонь проецирует их тени на стену пещеры. Когда заключенные разговаривают, их голоса отражаются от стен, и им кажется, что говорят тени. Более того, они думают, что они сами являются тенями. Пещерные жители считают эти тени единственной реальностью и не понимают, что они сами и эти фигурки расположены в трехмерном пространстве. Интересно упомянуть конец этой истории, когда пришелец извне пытается объяснить им истинную картину мира, но они считают его сумасшедшим.
