Альберт Виолант-и-Хольц - Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике
* * *
В конце ноября решение все еще не было найдено, и 4 декабря Уайлс разместил в новостной группе Sci.math такое сообщение:
«В связи с появлением домыслов, касающихся моей работы над гипотезой Таниямы — Симуры и теоремой Ферма, я предлагаю вашему вниманию краткое изложение текущей ситуации. В ходе проверки возник ряд проблем, большинство из которых были устранены, за исключением одной… Я уверен, что мне удастся в ближайшее время восполнить пробел, используя те идеи, которые были изложены в моих кембриджских докладах. Большой объем работы, который еще предстоит проделать над рукописью, не позволяет мне издать ее в черновом виде. Я подробно расскажу о своей работе в курсе лекций, который я проведу в Принстоне начиная с февраля.
Эндрю Уайлс».
Все, кто был вовлечен в работу, и особенно сам Уайлс, попали в очень неловкую ситуацию. Позднее Уайлс сказал:
«Первые семь лет, когда я работал над задачей, я наслаждался каждой минутой. Несмотря на все трудности и многочисленные препятствия, которые в свое время казались мне непреодолимыми, я продолжал бой. Но публичная работа над исправлением доказательства не доставляла мне ни малейшего удовольствия. Мне пришлось заниматься математикой на виду у всего мира, что совершенно не в моем вкусе. Надеюсь, что подобное никогда не повторится».
По совету Сарнака, Уайлс попросил помощи у своего бывшего ученика Ричарда Тейлора, блестящего молодого математика. Оба засучив рукава принялись за работу, но, несмотря на все усилия, почти весь 1994 год им никак не удавалось изменить метод Колывагина — Флаха в соответствии с доказательством.
Озарение
Осенью того же года Уайлс, отчаявшийся, подавленный, исчерпавший силы до предела, поднял белый флаг. Он был не в силах восстановить доказательство. Исключительно из профессиональной гордости он вернулся на три года назад и стал проверять метод Колывагина — Флаха с самого начала, чтобы по меньшей мере определить, почему столь многообещающее направление в итоге привело его в тупик. Уайлс сел за тот же самый стол, который был свидетелем его славы, а затем — череды неудач.
Утро понедельника, 19 сентября, Уайлс навсегда запомнил в мельчайших подробностях:
«Я пытался найти ошибку, как вдруг внезапно, совершенно неожиданно на меня снизошло озарение. Я понял, что хотя метод Колывагина — Флаха не работал на полную мощность, в нем было все, что необходимо для возможности применения теории Ивасавы, на которую я первоначально опирался. Это был самый… самый важный момент за всю мою математическую карьеру. Решение было неописуемо прекрасно, просто и элегантно».
Двадцать минут Уайлс с недоверием смотрел на исписанные листы, и его глаза наполнялись слезами.
«Остаток дня я ходил по кафедре. Потом я вернулся в кабинет, чтобы убедиться, что я не ошибся. И я действительно не ошибся. Мне стало ясно, что от метода Колывагина — Флаха я могу взять все необходимое для того, чтобы сделать эффективным мой первоначальный подход трехлетней давности. Так из руин и пепла метода Колывагина — Флаха возникло правильное решение задачи. Прошла ночь, и я снова начал проверять решение. В 11 утра я убедился, что все в порядке. Я вернулся домой и сказал жене: "Я нашел его. Думаю, что мне удалось найти его". И это было так неожиданно… Думаю, она решила, будто я говорю о детской игрушке, и спросила: "Что ты нашел?" И я ответил: "Я исправил доказательство. Мне это удалось"».
Нада отмечала день рождения 3 октября, и супруг преподнес ей удивительный подарок, пусть и на несколько дней раньше. Следующие несколько дней Тейлор и Уайлс подробно проверяли новое, исправленное доказательство, и не нашли ни единой ошибки. Меньше месяца спустя были опубликованы две рукописи. Авторство одной из них, достаточно объемной, с названием «Модулярные эллиптические кривые и великая теорема Ферма», принадлежало Эндрю Уайлсу. Другая, более короткая, называлась «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке» и принадлежала перу Уайлса и Ричарда Тейлора. В первой содержалось доказательство гипотезы Таниямы — Симуры для полустабильных эллиптических кривых. Один из важнейших этапов доказательства был основан на материале второй рукописи. Обе рукописи были подробно прокомментированы и представлены к публикации в научном журнале «Анналы математики». Эксперты не обнаружили ошибок, и рукописи были опубликованы в майском номере журнала за 1995 год.
Медаль, которая никогда не была выдана
Математики всего мира могли вздохнуть с облегчением. Удивительное достижение Уайлса, в успех которого уже почти перестали верить, было удостоено всех возможных научных наград: премии Вольфа, одной из наиболее престижных и крупных премий в математике, в 1995 году; премии Шока в том же году; медали Лондонского королевского общества и премии Островского в 1996 году; премии Коула в области теории чисел в 1997 году (ранее этой премии были удостоены Горо Симура, Барри Мазур и Карл Рубин) и, разумеется, премии Ферма, учрежденной в 1989 году, чтобы поощрять исследования в тех областях, где работал сам Ферма. В 1998 году он получил премию Файзала, в 1999-м— награду Математического института Клэя.
Первая страница работы Уайлса «Модулярные эллиптические кривые и великая теорема Ферма», опубликованной в журнале «Анналы математики».
Не будем забывать и о премии Вольфскеля, которая значительно обесценилась из-за гиперинфляции 1930-х годов в Германии, но тем не менее составила внушительные 30 000 фунтов.
Однако в коллекции наград, полученных Уайлсом, недостает одной, но очень важной: Филдсовской медали. Эта премия, которая вручается раз в четыре года, была учреждена в 1936 году канадским математиком Джоном Чарльзом Филдсом и присуждается на заседании Конгресса, проводимого под эгидой Международного математического союза. Размер премии относительно скромен, около 10000 евро, но эта премия вне всяких сомнений является самой престижной в математике. Филдс хотел поддержать молодых математиков, поэтому ограничил возраст лауреатов 40 годами. Многие полагают, что пик творческой активности приходится на третье десятилетие жизни, поэтому считают Филдсовскую премию справедливой наградой, присуждаемой за выдающийся вклад в математику. К сожалению, к моменту церемонии 1994 года Уайлсу уже исполнился 41 год. Однако Международный конгресс математиков не мог остаться в стороне. Было принято решение впервые в истории премии присвоить Уайлсу почетный титул и вручить ему серебряную табличку в знак признания его выдающихся заслуг.
Эпилог. Есть ли жизнь после Ферма?
В знаменитом докладе на конференции в 1900 году, посвященном положению дел в математике начала XX века, немецкий математик Давид Гильберт писал: «Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшие столетия?» Говоря о теореме Ферма, он добавил: «Проблема доказательства этой неразрешимости являет собой яркий пример того, какое побуждающее влияние на науку может оказать специальная и на первый взгляд малозначительная задача. Ибо, побужденный задачей Ферма, Куммер пришел к введению идеальных чисел и к открытию теоремы об однозначном разложении чисел в круговых полях на идеальные простые множители — теоремы, которая теперь… является центральной в современной теории чисел и значение которой выходит далеко за пределы теории чисел в область алгебры и теории функций».
Гильберт прочел свой доклад за много лет до того, как появились работы Морделла, Таниямы — Симуры и Фрая. Разумеется, он не мог даже представить, каким образом Уайлсу удастся найти доказательство. Кто мог предположить, что эти работы помогут совершить небывалый прорыв в математике? Танияма и Симура установили удивительную связь между эллиптическими кривыми и модулярными формами. Кто знает, между какими разделами математики, которые сейчас кажутся совершенно независимыми, в будущем будет найдена неожиданная взаимосвязь?
Тем не менее, не отрицая всю важность доказательства последней теоремы Ферма, стоит отметить, что оно намного важнее как своеобразный катализатор будущих исследований. В течение многих веков задача Ферма возвышалась, словно неприступная цитадель, и копья математиков разбивались о ее стены. Уверенность Уайлса в том, что он практически в одиночку сможет решить задачу такого масштаба, несомненно, вдохновит других посвятить себя решению других открытых задач, которые сейчас представляются нерешаемыми.
Что говорит по этому поводу сам Уайлс? Из-за его природной скромности не стоит ожидать от него каких-то громких фраз. Однако эту книгу можно закончить только его словами, которые он произнес, когда было окончательно утверждено его второе доказательство и сбылась мечта всей его жизни:
