Рауль Ибаньес - Мир математики: т.6 Четвертое измерение. Является ли наш мир тенью другой Вселенной?
Сцена с картины «Альфонсо Мудрый и его двор» (рис. вверху). Это пример плоской живописи Средневековья. Ниже — «Бичевание Христа» (1444–1469) Пьеро делла Франчески. Ренессанс принес с собой метод линейной перспективы.
* * *
Если спроецировать трехмерный куб, используя центральную проекцию из трех различных точек, то мы получим следующие изображения.
Как видим, центральная проекция не сохраняет параллельность. В этой проекции образом параллельных линий будут линии, которые пересекаются в точке схода. Как видно на рисунке, куб имеет три группы параллельных линий (или ребер), и его проекция может иметь одну, две или три точки схода (рисунки А, Б и В соответственно).
Кроме того, частям объекта, которые ближе к центральной точке проекции, соответствуют более длинные отрезки на проекции. Другими словами, у куба все ребра имеют одинаковую длину, а длина отрезков на проекции будет различаться в зависимости от расстояния от ребра до центральной точки проекции. Аналогично на рисунке А внешний квадрат соответствует грани, которая ближе к источнику света, а внутренний — той грани, которая дальше.
Как и для куба, можно получить разные центральные проекции гиперкуба в нашем трехмерном пространстве в зависимости от положения источника света в четырехмерном пространстве. Проекция гиперкуба, изображенного на рисунке Б, соответствует рисунку А. Как и в трехмерном случае, внешний куб представляет собой кубическую грань гиперкуба, которая расположена ближе к центральной точке проекции, в то время как внутренний куб является образом дальней кубической грани.
Одним из самых интересных примеров визуализации гиперкуба является фильм Томаса Бэнчоффа и Рихарда Страусса «Гиперкуб: проекции и сечения», который показывает проекции гиперкуба в различных ракурсах.
Сечения гиперкуба
В прошлом при изучении морфологии цветов и различных растений ботаники использовали особый метод, состоящий в том, что изучаемый объект помещали в контейнер, куда наливали специальное вещество. Это вещество делало растение твердым, так что его потом можно было нарезать тонкими слоями. Вспомним, что во Флатландии такой способ использовался для передачи информации между мирами различных размерностей. Квадрат использует «небольшие срезы», чтобы описать Флатландию или чтобы показать себя королю Лайнландии. Для этого он пересекает своим телом одномерный мир Лайнландии. Аналогично Сфера, пересекая Флатландию, пытается объяснить реальность существования самой себя и трехмерной вселенной. Что же видит Квадрат, когда Сфера пересекает Флатландию? Сначала он видит точку, затем — круг (хотя круг может быть жрецом Флатландии), который увеличивается, а затем снова уменьшается до точки и исчезает. Мы бы увидели то же самое, если бы наш мир посетила Гиперсфера, только вместо круга мы бы увидели меняющийся в размере шар. Иными словами, трехмерные срезы Гиперсферы являются сферами, которые меняются в размере.
* * *
ГИПЕРКУБ В ИСКУССТВЕ
С тех пор как четвертое измерение стало частью поп-культуры, многие художники пытались воссоздать различные визуализации гиперкуба, в том числе его проекции. Гиперкуб стал центральной темой произведений многих архитекторов, художников и скульпторов. Например, одна из скульптур, которая использует центральную проекцию гиперкуба, называется Monumento a la Constitution и находится в саду музея естественных наук в Мадриде. Она изготовлена из андалузского белого мрамора, символа чистоты. Сторона ее внешнего куба равна 7,75 м, четыре боковые грани открыты, и в каждой имеется шесть ступенек, ведущих к центральному кубу, так что к нему можно подойти с четырех сторон света, что символизирует демократические ценности. Гиперкуб представляет собой более высокую реальность, чем наше трехмерное пространство, соответствующее трем конституционным принципам: свобода, равенство, братство. Идею гиперкуба можно также найти в Большой арке Дефанс (La Grande Arche de la Defense), расположенной в пригороде Парижа.
Построенное по проекту датского архитектора Отто фон Спрекельсена в 1989 г., это внушительное сооружение высотой 110 м имеет форму центральной проекции гиперкуба. В верхней части арки располагаются зал для конференций и выставочный центр, музеи и смотровая площадка, а в боковых частях — правительственные учреждения.
На фотографии слева — Большая арка Дефанс, гиперкуб к 200-летию Французской революции. Справа — Monumento a la Constitucidn (1979) по проекту архитектора Мигеля Анхеля Руиса Ларреа, который использовал центральную проекцию гиперкуба.
* * *
Центральная проекция четырехмерного гиперкуба в трехмерном пространстве.
Прежде чем анализировать форму гиперкуба с помощью трехмерных срезов, рассмотрим случай в пространстве на размерность меньше, а именно плоские сечения куба в различных направлениях, чтобы далее использовать эту аналогию.
Трехмерные сечения гиперсферы (рисунок Хосу Арройо).
Если рассекать куб вдоль одной из его граней, другими словами, делать параллельные срезы, то полученные сечения будут квадратами, как видно на рисунке на следующей странице. Если сделать срез, проходящий через одно из ребер по диагонали куба, и другие сечения, параллельные этому срезу, то получаются прямоугольники, квадраты и отрезки. Самые интересные сечения, которые труднее всего представить, получаются, когда делаются срезы, начиная с одной из вершин и перпендикулярно к диагонали куба, соединяющей эту вершину с противоположной.
Сначала получается треугольник, который увеличивается в размерах, затем уменьшается, пока не исчезнет на противоположной вершине. Но какую фигуру мы увидим в середине этого процесса? Как ни странно, это правильный шестиугольник, то есть шестиугольник с равными сторонами и углами.
Это происходит потому, что треугольные сечения изменяются при прохождении через другие три вершины куба, образуя шестиугольник со сторонами разной длины, который потом снова становится треугольником, уменьшающимся в размере.
Но вершины этого треугольника теперь ориентированы в направлении, противоположном направлению изначального треугольника, поэтому в силу симметрии в средней точке мы получаем правильный шестиугольник.
Плоские сечения куба в зависимости от направления среза.
* * *
ГОРИЗОНТАЛИ
Плоские сечения трехмерных объектов с целью получения информации об их геометрии и форме используются, например, в топографии. На топографических картах можно видеть различные контуры, которые представляют собой точки, находящиеся на одной высоте над уровнем моря. Они показывают горизонтальные сечения поверхности местности на различной высоте. При пересечении поверхности горизонтальными плоскостями как раз и получаются такие кривые линии. Если они расположены очень близко друг к другу, то на местности это означает наличие крутого склона, а если они находятся далеко друг от друга, то поверхность более пологая. Горизонтали наряду с использованием цвета на топографических картах дают дополнительную информацию о рельефе.
Горизонтали служат для изображения рельефа местности.
* * *
Чтобы получить трехмерные сечения гиперкуба, мы, как и в случае с кубом, будем делать срезы вдоль кубической грани, затем параллельно квадратной грани, затем параллельно ребру и, наконец, начиная с вершины. Можно представить, будто гиперкуб падает сквозь наше трехмерное пространство. Мы будем изучать те части гиперкуба, которые мы видим во время его движения.
Если принять во внимание, что гиперкуб, или тессеракт, представляет собой куб, движущийся в дополнительном перпендикулярном направлении, то очевидно, что его трехмерные сечения вдоль кубической грани всегда являются кубами. И действительно, эти сечения — различные положения трехмерного куба при его движении в четвертом измерении.
Чтобы понять, как выглядят сечения гиперкуба при срезах параллельно квадратной грани, надо представить сечения куба вдоль его граней или ребер. Как видно на рисунке ниже, квадратная грань образует квадратные сечения при движении, в то время как кусочки рассекаемой квадратной грани образуют прямоугольники, поэтому сечения гиперкуба будут представлять собой прямоугольные призмы с квадратными основаниями.
