Альберт Виолант-и-Хольц - Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике
* * *
ПЬЕРУ ФЕРМА ЗА ТО, ЧТО ОН СПАС МНЕ ЖИЗНЬ
Существует несколько гипотез относительно того, чем руководствовался Вольфскель, когда учредил свою премию. Он был молод, страдал рассеянным склерозом, и ему пришлось оставить медицину в пользу более спокойного занятия — математики. Некоторые источники утверждают, что он думал о самоубийстве из-за несчастной любви, но, прочитав подробное исследование о теореме Ферма, понял, что красота математики превыше красоты любой женщины. Поэтому Ферма в буквальном смысле спас ему жизнь. Другие источники приводят более прозаичный довод: учредив премию, Вольфскель уменьшил сумму наследства, которое полагалось бы его ветреной жене.
Немецкий математик Пауль Вольфскель.
* * *
Если говорить об общем случае, то работы Куммера дополнил Вандайвер. В 1929 году он сформулировал ряд критериев, которым должны соответствовать нерегулярные простые числа, чтобы удовлетворять последней теореме Ферма. В 1954 году тот же Вандайвер уже с помощью компьютеров проверил все показатели степени р < 2521. Двадцать лет спустя этот список был расширен вплоть до р < 4000000. Но посреди этой бесконечной гонки за более точными критериями и вычислениями математическое сообщество получило приятный сюрприз.
В 1922 году англичанин Луис Морделл (1888–1972) сформулировал гипотезу, гласящую, что для любой алгебраической кривой рода, превышающего 1, множество рациональных точек является конечным. Род алгебраической кривой стал своеобразной мерой ее сложности. Кривые нулевого рода — наиболее простые, с ростом рода возрастает также сложность точек кривой. В 1983 году немецкий математик Герд Фалтингс (р. 1954) получил Филдсовскую премию за доказательство этой гипотезы, дав новый толчок доказательству теоремы Ферма. Для показателя степени n = 2 кривая х2 + у2 = z2 является кривой нулевого рода, и ее решение является бесконечным множеством пифагоровых троек. Но для n > 2 род кривой хn + уn = zn превышает 1. Отсюда следует, что если уравнение теоремы Ферма имеет решения, то их число будет конечным. Математическое сообщество было убеждено, что Морделл и Фальтингс открыли путь к окончательному доказательству теоремы, которое вот-вот будет найдено. Но это было не так.
Связующее звено между двумя мирами
В конце 1980-х годов специалистам был известен ряд гипотез, в случае доказательства которых теорема Ферма также была бы доказана по меньшей мере для некоторых показателей степени. Среди этих гипотез — аbс-гипотеза, гипотеза Шпиро, гипотеза Войты, гипотеза Богомолова — Мияоки — Яу и другие. К удивлению многих, этот закрытый клуб должен был пополниться новым членом — гипотезой Таниямы — Симуры.
Гипотеза Таниямы — Симуры была сформулирована в 50-е и уточнена в 70-е годы XX века. В ней устанавливалось удивительное и неожиданное соотношение между двумя семействами математических объектов, на первый взгляд никак не схожих между собой: эллиптическими кривыми (тесно связанными с кубическими уравнениями, подобными тем, что изучал в свое время Диофант) и модулярными формами, разработанными французским математиком Анри Пуанкаре в конце XIX века. Эта гипотеза была плодом усилий двух японских математиков, Горо Симуры (р. 1930) и Ютаки Таниямы (1927–1958). Молодые ученые познакомились и впоследствии вместе работали в Токио, в опустошенной послевоенной Японии. Прекрасная история их сотрудничества, увы, была омрачена трагическим финалом.
* * *
АВС-ГИПОТЕЗА
Эту гипотезу сформулировали в 1985 году Джозеф Эстерле и Дэвид Массер. В упрощенном виде она звучит так: если а, Ь, с — взаимно простые числа, такие, что а + b = с, и d — произведение различных простых множителей а, b и с, то d будет лишь немногим меньше с.
* * *
Первый мир: эллиптические кривые
Приближенное значение длины кривой можно найти, соединив прямыми конечное множество точек этой кривой, как показано на рисунке:
По мере уменьшения отрезков сумма их длин все больше приближается к длине кривой. Этот процесс известен под названием полигонального приближения кривой. Для некоторых кривых существует значение L — максимально возможный предел полигонального приближения. В этом случае говорят, что кривая имеет длину дуги L. В ходе изучения длин дуг кривых были открыты так называемые эллиптические функции, а затем эллиптические кривые.
Немецкий математик Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815–1897) доказал, что любая эллиптическая кривая определяется кубической кривой вида
у2 = х3 + ах2 + Ьх + с,
где a, b, с — вещественные числа. Для с = 0 и различных значений а и b эллиптические кривые обладают особым свойством, которое продемонстрировано на следующей странице.
Эллиптические кривые для с = 0 и различных значений а и Ь.
Важной задачей теории чисел, которую пытался решить еще Диофант, является поиск целых решений для уравнений подобного типа. Например, кубическое уравнение
у2 = x3 — 2
также можно записать в виде
x3 — у2 = 2.
Целое положительное решение этого уравнения равносильно тому, что натуральное число или числа находятся ровно «посередине» куба и квадрата любых других натуральных чисел. Первым из математиков на этот вопрос ответил не кто иной, как Пьер де Ферма, который доказал, что 26 — единственное число, которое удовлетворяет указанному условию, то есть х3 = 27 и у2 = 25, следовательно, единственными целыми положительными решениями этого уравнения будут у = 5 и х = 3. Чтобы продолжить эту удивительную цепочку, связывающую главных героев нашей истории, добавим, что одним из современных математических инструментов, используемых при изучении эллиптических кривых, является теория Ивасавы — тема докторской диссертации Эндрю Уайлса. Последний неспроста говорил: «В некотором смысле все мои рассуждения следуют пути, проложенному Ферма».
Немецкий математик Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс, внесший важный вклад в теорию эллиптических кривых. Картина Конрада Фера.
Найти решения эллиптического уравнения в большинстве случаев практически невозможно, поэтому математики изучают их на «ограниченных» пространствах чисел, которые называются модулями. Чтобы понять, о чем идет речь, вспомним о том, как мы представляем часы в сутках. Если, например, речь идет о событии, которое произошло спустя 30 часов после полуночи, то очевидно, что это событие произошло в 6 утра (следующего дня). В уме мы подсчитали 24 целых часа (сутки), перешли к следующим суткам, а затем прибавили разницу, 30–24 = 6, чтобы точно определить час, когда произошло событие. На языке математики говорят, что часы в сутках описываются арифметикой по модулю 24 (по числу часов в сутках), и в этой арифметике, как мы уже увидели, выполняется равенство 30 6. Если вместо 30 часов мы будем говорить о 38, то событие произойдет в 14 часов, следовательно, в арифметике по модулю 24 верно равенство 38 14 (и, аналогично, 24 0). Вне зависимости от того, сколько часов прошло с определенного момента, 36 или 36000, значение часа всегда будет лежать в интервале от 0 до 23. В подобной арифметике определены привычные операции сложения, вычитания, умножения и деления и результатом любой такой операции опять-таки будет одно из 24 чисел, расположенных на интервале от 0 до 23.
* * *
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И КРИПТОГРАФИЯ
Существуют математические операции, для которых очень сложно произвести обратные операции, например, поиск простых множителей для очень больших целых чисел. В алгоритме RSA, одном из основных алгоритмов современной криптографии, это действие используется для создания ключей, которые практически невозможно взломать. Другая операция, которая считается «необратимой», — нахождение дискретного логарифма для эллиптической кривой. В 2009 году правительство США начало применять определенные алгоритмы шифрования, в которых используется это свойство, для передачи сверхсекретной информации.
