Клауди Альсина - Том 11. Карты метро и нейронные сети. Теория графов
· Discrete Mathematics.
· Journal of Graph Theory.
· Electronic Journal of Combinatorics.
* * *
Одному и тому же расплывчатому понятию можно сопоставить разные нечеткие множества. Именно это и вызывает интерес к теории нечетких множеств — она допускает альтернативные трактовки одной и той же ситуации. Задачи искусственного интеллекта, управления механизмами, обработки цифровых фотографий, распознавания образов и другие задачи (даже стиральные машины с нечеткой логикой) — прекрасные наглядные примеры того, как эта теория используется на практике. Введение степеней — очень важная идея, ведь между черным и белым существует множество оттенков серого.
В рамках теории нечетких множеств также рассматриваются нечеткие классификации и упорядоченность; можно говорить о степенях отношений. Эта теория основана на теории множеств и может быть подтверждена примерами из теории вероятностей (вероятность является оценкой какого-либо события и лежит в интервале от 0 до 1), но особенно интересна в эмпирических моделях и при решении задач, на которые нельзя дать четкого и однозначного ответа в рамках классической математики.
В частности, в теории нечетких множеств тоже используются графы отношений, но в этом случае значения от 0 до 1, присваиваемые парам элементов, сопоставляются ребрам графов. Иными словами, получается взвешенный граф.
Мы надеемся, что в этом разделе нам удалось показать, что теория графов также может быть сформулирована в терминах теории множеств и что графы играют важную роль даже при построении графиков.
Словарь
Алгоритм — пошаговая последовательность действий по решению задачи.
Вершина — точка графа, где сходится одно или более ребер; также может быть изолированной.
Вес — значение, поставленное в соответствие ребру графа, означающее стоимость, расстояние, время и пр.
Взвешенный граф — граф, каждому ребру которого поставлено в соответствие некоторое число.
Гамильтонов граф — граф, в котором существует гамильтонов цикл.
Гамильтонов цикл — цикл, содержащий все вершины графа ровно по одному разу.
Гомеоморфные графы — графы, один из которых получается из другого путем добавления или удаления вершин степени 2. Если в таких графах удалить все вершины степени 2, полученные графы будут одинаковыми.
Грань — область, ограниченная ребрами плоского графа.
Граф — совокупность множества точек (вершин) и линий (ребер), соединяющих некоторые точки.
Дерево — связный граф, не содержащий циклов.
Дуга — ориентированное ребро графа. Изображается стрелкой.
Изоморфные графы — графы, между вершинами и ребрами которых существует взаимно однозначное соответствие, которое сохраняет смежность и инцидентность.
Критический путь — путь максимальной длины в ориентированном графе.
Лес — множество графов, которые являются деревьями.
Матрица инцидентности графа — матрица n x n чисел, элементы которой равны 1, если между соответствующими вершинами имеется ребро, и 0 в противном случае.
Метка — информация, присвоенная вершинам и ребрам графа; например, числа, слова, наименования.
Оптимальное решение — наилучшее решение (согласно некоему количественному показателю) из множества возможных решений.
Органиграмма — граф, упорядочивающий информацию, устройство организации или действия, которые необходимо выполнить для решения задачи.
Орграф (ориентированный граф) — граф, все ребра которого являются ориентированными, то есть дугами.
Остовное дерево графа — подграф данного графа с максимально возможным числом ребер, который является деревом.
Петля — дуга или ребро, начало и конец которого находятся в одной и той же вершине.
Плоский граф — граф, ребра которого не имеют никаких общих точек, кроме вершин, в которых они сходятся.
Подграф — граф, содержащий некое подмножество вершин и ребер данного графа.
Полный граф — граф, в котором любая пара вершин соединена ребром.
Поток — некая величина, сопоставленная ребру, дуге или графу.
Путь — последовательность смежных ребер или дуг.
Раскраска графа — присвоение цветов вершинам, ребрам или граням графа при выполнении определенных условий.
Ребро — связь между двумя вершинами графа.
Связный граф — граф, в котором для любых двух вершин существует соединяющий их простой путь.
Сеть — граф, используемый для решения транспортных задач и задач распределения.
Смежные дуги — две дуги, имеющие общую вершину.
Смежные ребра — два ребра, имеющие общую вершину.
Степень вершины — количество ребер графа, сходящихся в данной вершине.
Траектория — то же, что и путь.
Узел — то же, что и вершина.
Цикл — путь, начало и конец которого находятся в одной и той же вершине.
Эйлеров граф — граф, в котором существует эйлеров цикл.
Эйлеров цикл — цикл, проходящий через каждое ребро графа ровно один раз.
Библиография
ALEXANDER, Ch., Ensayo sobre la síntesis de la forma, Buenos Aires, Infinito, 1976.
—: Tres aspectos de matemática у diseño, Barcelona, Tusquets, 1969.
AUSINA, C., Vitaminas matemáticas, Barcelona, Ariel, 2008.
—: у NELSEN, R.B., Math Made Visual. Creating Images for Understanding Mathematics, Washington, MAA, 2006.
BELTRAND, E.J., Models for Public Systems Analysis, Nueva York, Academic Press, 1977.
BERGE, C., Craphes, París, Gauthier-Villars, 1987.
—: Graphs and Hypergraphs, Amsterdam, North-Holland, 1973.
BURR, S., The mathematics of Networks, American Mathematical Society, Providence, R.I., 1982.
BUSACKER, R.G. у SAATY, T.L., Finite Graphs and Networks: An Introduction with Applications, Nueva York, McGraw-Hill, 1963.
CORIAT, M. et al., Nudos у nexos. Redes en la escuela, Madrid, Síntesis, 1989.
DE GUZMÁN, M., Cuentos con cuentas, Barcelona, Labor, 1983.
FERNÁNDEZ, J. у RODRFGUEZ, M.I., Juegos у pasatiempos para la enseñanza de la matemática elemental, Madrid, Síntesis, 1989.
FOULDS, L.R., Graph Theory Applications, Nueva York, Springer Verlag, 1992.
HARARY, F., Graph Theory у Reading, Addison-Wesley, 1994.
KAUFMANN, A., Puntos у flechas (teoría de los grafos). Barcelona, Marcombo, 1976.
ORE, O., Teoría у aplicación de los gráficos, Bogotá, Norma, 1966.
—: The Four Color Problem, Nueva York, Academic Press, 1967.
STEEN, L. (ed.), For all Practical Purposes: Introduction to Contemporary MathematicSy Nueva York, W.H. Freeman and Company, 1994.
WILSON, R., Four Colours Suffice: How the Map Problem Was Solved, Londres, Penguin Books Ltd., 2003.
WIRTH, N., Algoritmos у estructuras de datoSy México, Prentice-Hall Hispanoamericana, 1987.
* * *
Научно-популярное издание
Выходит в свет отдельными томами с 2014 года
Мир математики
Том 11
Клауди Альсина
Карты метро и нейронные сети. Теория графов
РОССИЯ
Издатель, учредитель, редакция:
ООО «Де Агостини», Россия
Юридический адрес: Россия, 105066, г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1
Письма читателей по данному адресу не принимаются.
Генеральный директор: Николаос Скилакис
Главный редактор: Анастасия Жаркова
Старший редактор: Дарья Клинг
Финансовый директор: Наталия Василенко
Коммерческий директор: Александр Якутов
Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук
Менеджер по продукту: Яна Чухиль
Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ru, по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в России:
8-800-200-02-01
Телефон горячей линии для читателей Москвы:
8-495-660-02-02
Адрес для писем читателей:
Россия, 170100, г. Тверь, Почтамт, а/я 245, «Де Агостини», «Мир математики»
Пожалуйста, указывайте в письмах свои контактные данные для обратной связи (телефон или e-mail).
Распространение:
ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисиз» УКРАИНА
УКРАИНА
Издатель и учредитель:
ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина
Юридический адрес: 01032, Украина, г. Киев, ул. Саксаганского, 119
Генеральный директор: Екатерина Клименко
Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ua, по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в Украине:
