Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Такое различие между числами для счета и числами для измерения глубоко проникло в людскую речь и само мышление. Похоже на то, что мы одной частью своей головы воспринимаем мир составленным из четко отделенных друг от друга твердых объектов, которым можно присвоить инвентарные номера, а другой частью видим мир в виде совокупности материалов, тканей и субстанций, которые надлежит делить на единицы и измерять. Параллельное осмысление обеих концепций дается нелегко. Мой шестилетний сын до сих пор путает слова для обозначения числа и количества, «many» и «much». После рождественских праздников он спросил у своего друга: «How much presents did you get?»[43]
Наше восприятие мира отражается в языке. Английский язык воспринимает мир как место, в основном поддающееся подсчету в существующих отдельно штуках: одна корова, две рыбы, три горы, четыре двери, пять звезд. Несколько реже наш язык воспринимает мир как нечто, нуждающееся в измерении при помощи соответствующих единиц: трава — одна былинка; бумага — два листа; скот — три головы; рис — четыре зернышка; бензин — пять галлонов. Слова «былинка», «лист», «голова», «зернышко», «галлон» — хотя, разумеется, каждое из них и может жить своей собственной жизнью — выступают здесь в роли единиц измерения. Китайский же язык, в отличие от английского, рассматривает практически все сущее как измеряемое. Одна (хотя и не самая главная) вещь, которую приходится зубрить при изучении китайского, — запоминание правильного «счетного слова» (таков точный перевод китайского грамматического термина лян цы) для каждого существительного: одна голова коровы, две ленты рыб, три постамента гор, четыре лопасти дверей, пять зерен звезд.[44] Во всем китайском языке только два слова можно выпустить на свободу без счетного слова: «день» и «год». Все остальное — коровы, рыбы, горы, двери, звезды — представляет собой род субстанции, которую необходимо разделить и измерить, прежде чем о ней можно будет говорить.
Затруднения по поводу определения количества в свое время вызвали многочисленные споры и привели ко многим неудобствам. Во времена миллениума, например, который большинство из нас отмечали, когда год 1999-й сменился годом 2000-м, немногочисленные сеющие раздор диссиденты говорили, что все это неправильно. Их недовольство основывалось на том факте, что наш обычный календарь сконструирован без нулевого года. Первому дню первого года от P.X. предшествовал последний день первого года до P.X. Так произошло, потому что Дионисий Малый — живший в VI веке монах, совместивший христианскую систему нумерации лет с месяцами и днями календаря Юлия Цезаря, рассматривал годы как вещь исчисляемую, в точности как наш Тай-е. Первому году христианской эры тем самым надлежало быть годом 1, второму — годом 2 и т.д.
Источник проблемы несложно понять. Возьмем обычную школьную линейку. (Не в первый уже раз на протяжении этой книги. Удивительно, сколь много математики — и даже высшей — можно соотнести с отметками на футовой линейке за 1 доллар 89 центов.) Ну да, на ней отмечены 12 дюймов. Да, вы можете их пересчитать: 1, 2, 3, …, 12. Но если вы муравей и начали путешествие от левого конца линейки к правому и только что прошли первые полдюйма, то где же вы? В середине первого дюйма? Да. Значит, в середине дюйма номер 1? Конечно, если угодно. Но какова точная мера расстояния, которое вы прошли? Хм, это 0,5 дюйма. Поскольку движение — это непрерывный процесс (ибо муравей рано или поздно пройдет через каждую точку на линейке), это число намного более интересно и важно для математика. Математик предпочитает поэтому говорить, что вы на половине пути (другими словами, на 0,5 пути) через нулевой дюйм, что и определяет ваше положение как 0,5.
Современные люди достаточно математически изощренны, чтобы большую часть времени думать подобным образом. Это в действительности и представляло собой источник смятения для упомянутых «жалобщиков» на миллениум или же, в зависимости от того, какую точку зрения вы принимаете, для беззаботных весельчаков поздним вечером 31 декабря 1999 года. Жалобщики говорили: «Если вы измерите время, прошедшее от момента начала новой эры до самого конца 1999 года, вы наберете только 1999 полных лет. Вам надо подождать, пока не истечет 2000-й год». Они применяли логику измерений к системе, основанной на логике счета. А предающиеся веселью говорили: «Наступает год с номером 2000. Ур-ра!» — чисто «счетная» логика. И однако, те же весельчаки могут скатиться на логику измерения при ответе на вопрос о возрасте их недавно родившегося ребенка: «Ах, ему всего полгода». Другими словами, его возраст составляет 0,5 года — измерительная логика, по крайней мере по контрасту с традиционным китайским подходом. (У них, правда, есть возможность запутать все дело еще больше, сказав «Шесть месяцев…»)
Я однажды вступил в мягкую полемику с писателем и любителем слов Вильямом Ф. Бакли-мл. относительно слова «data» — слово это во множественном или единственном числе? Происходит оно от латинского глагола dare — давать. Отсюда, следуя обычным процессам в латинской грамматике, можно образовать отглагольное существительное datum, означающее «то, что дано». Из него, в свою очередь, можно образовать множественное число: data — «те вещи, которые даны». Но мы говорим по-английски, а не на латыни. Масса существительных в латинском множественном числе используется в английском в единственном числе: agenda, например. Никто не говорит «The agenda are prepared». Английский — это наш язык, и если мы заимствуем слово из другого языка, мы можем поступать с ним, как нам нравится.
Проработав с данными (data) всю свою сознательную жизнь, я неплохо себе представляю, что это такое. Это особое «тело» или даже субстанция, состоящая из неисчислимых маленьких частичек, неотличимых одна от другой — подобно рису, песку или траве. Применительно к субстанциям и телам такого типа в английском языке надо употреблять глаголы в единственном числе («рис сварился») или же использовать счетные слова. Если вы желаете ухватить одну частичку и рассматривать именно ее, требуется счетное слово: «зернышко риса», «элемент данных». Именно так, кстати, инстинктивно и говорят люди, которые зарабатывают себе на жизнь обработкой данных. Среди людей, содержание работы которых — данные, никто никогда не скажет «One datum, two data».[45] Если бы они сказали такое, их никто бы не понял. И однако же грамматисты хотят, чтобы мы говорили «The data are…» Мое предсказание состоит в том, что они в конце концов проиграют бой.[46]
В качестве последнего примера приведу тот, который озадачивал меня в школьные годы, прошедшие под знаком англиканской церкви: рассмотрим те три дня, которые Иисус Христос пролежал в могиле перед тем, как воскреснуть в согласии со своим собственным пророчеством: «После трех дней воскресну». Трех дней? Он был распят в пятницу — Страстную пятницу. Воскресение состоялось в воскресенье. Это составляет 48 часов, если измерять, но, разумеется, три дня (пятница, суббота, воскресенье), если считать, как и поступали те эллинизированные интеллектуалы, которые составили Новый Завет.[47]
III. Гипотеза Римана
Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную одной второй.
Гипотеза Римана родилась из столкновения, названного в заглавии данной главы великим соединением, между логикой подсчета и логикой измерения. Выражаясь точным математическим языком, она возникла, когда некоторые идеи из арифметики были скомбинированы с некоторыми идеями из анализа и образовалась новая штука, новая ветвь на древе математики — аналитическая теория чисел.
Вспомним традиционные категории математики, о которых мы говорили в главе 1.viii.
1. Арифметика — наука о целых числах и дробях.
2. Геометрия — наука о фигурах в пространстве.
3. Алгебра — использование абстрактных символов для представления математических объектов (чисел, линий, матриц, преобразований) и изучение правил, по которым эти символы можно комбинировать.
4. Анализ — наука о пределах.
Эта четырехчленная схема закрепилась в людских головах около 1800 года, а великое соединение, которое я собираюсь описать в данной главе, было соединением идей, до 1837 года существовавших каждая сама по себе под двумя из приведенных вывесок — арифметики и анализа. Это соединение создало такую дисциплину, как аналитическая теория чисел.
Сегодня мы достаточно искушены в подобных взлетах воображения, и они, возможно, чуть лучше нам удаются. В действительности на сегодняшний день наряду с аналитической теорией чисел существуют алгебраическая теория чисел и геометрическая теория чисел. (Мы дойдем до некоторых элементов алгебраической теории чисел в главе 20.v.) Но в 30-х годах XIX столетия соединение концепций из двух областей, до того считавшихся не связанными друг с другом, несколько ошарашивало. Однако, прежде чем можно будет познакомить вас с главным действующим лицом в этой части нашей истории, надо сказать еще кое-что о тех двух дисциплинах, которые он друг с другом соединил.
