Эдуардо Арройо - Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики
Несмотря на всю свою важность, законы Ньютона оказались малоприменимы к некоторым типам задач. Но чтобы понять причину этого, нам нужно обратиться к такому понятию, как координаты.
Большинству людей знаком, как минимум, один тип координат: долгота и широта. Зная эти числа, мы можем ориентироваться по карте. Координаты частицы — это группа чисел, позволяющих определить ее положение. Наиболее распространена прямоугольная система координат х и у (названа так Декартом, который эту систему и ввел).
Как видите, если известна координата х (горизонтальное положение) и у (вертикальное положение), можно определить положение частицы на рисунке. Если бы мы говорили о частице в трех измерениях, нам потребовалось бы еще одно число для выражения глубины, или координата z. Если предположить, что газ находится в закрытой коробке, то для уточнения его состояния нужно знать положение каждой его частицы, то есть все три ее координаты. Если учесть, что число частиц в коробке, наполненной воздухом, около 1023, то есть двадцать три нуля после единицы, несложно догадаться, что сделать нечто подобное является слишком сложной задачей.
Координаты х и у подходят для того, чтобы представить, например, машину, движущуюся по прямой. В этом случае, если выбрать у в качестве высоты, видно, что вертикальное положение машины всегда одно и то же, а горизонтальное с течением времени меняется. Описывать движение машины в прямоугольной системе координат просто: пройденное расстояние — это скорость, умноженная на время. Итак, если мы едем со скоростью 100 километров в час в течение трех часов, то проедем 300 километров.
Однако прямоугольная система координат не подходит для описания кругового движения (см. рисунок).
Если сосредоточиться на горизонтальном положении частицы, можно увидеть, что она движется справа налево и слева направо зигзагом. То же происходит и с вертикальным положением: если смотреть на частицу сбоку, кажется, что она движется сверху вниз, как показано на графике.
Такое простое движение, как круговое, имеет очень сложное выражение в прямоугольной системе координат.
В этом случае для указания положения на плоскости используются полярные координаты. С их помощью можно показать расстояние до центра и угол относительно горизонтальной оси, как показано на рисунке.
Координата r постоянна, так как расстояние до центра никогда не меняется; координата Θ увеличивается с течением времени, по мере вращения частицы. Как видите, смена системы координат значительно облегчает нашу задачу.
Физики вскоре поняли, что для решения сложных задач законам Ньютона недостает гибкости. Нужно было найти новую формулировку этих законов, которая подходила бы для любой системы координат и для любого числа частиц. Жозефу Луи Лагранжу и Уильяму Роуэну Гамильтону удалось переформулировать законы классической механики и привести их к современному виду. Результаты их работы используются для описания самых современных теорий в физике частиц, начиная с квантовой механики и кончая теорией струн.
Принцип наименьшего действия
Гамильтон потратил на переформулирование законов Ньютона довольно много времени. Важным шагом при этом было использование понятия энергии, не включенного в уравнения Ньютона.
Первым предложил нечто похожее на идею энергии Готфрид Лейбниц (1646–1716), который оспаривал с Ньютоном первенство изобретения анализа бесконечно малых — математического инструмента, позволявшего работать с бесконечно малыми числами. Лейбниц обнаружил, что при описании некоторых типов движения используется математическая величина, которая остается постоянной, vis viva, или живая сила. Ученый открыл, что эта сила пропорциональна массе и квадрату скорости. Лейбниц доказал, что для некоторого типа столкновений частиц общая живая сила остается постоянной.
С течением времени понятие живой силы трансформировалось в понятие энергии. Сегодня при описании движения тела говорят о его кинетической энергии. Выражение кинетической энергии практически идентично выражению живой силы: ее значение равно половине последней. Если мы обозначим через Т кинетическую энергию, через m — массу и через v — скорость, кинетическая энергия частицы равна:
T = m·v2/2
Кинетическая энергия остается постоянной при столкновениях тел, например бильярдных шаров. Однако на практике часть этой энергии всегда теряется, преобразуясь в молекулярные движения, невидимые глазу. При этом столкновения атомов, или элементарных частиц, абсолютно эластичны: вся кинетическая энергия при столкновениях сохраняется. Поэтому можно говорить о внутренней энергии газа как о сумме энергий всех частиц: хотя атомы постоянно сталкиваются, их общая энергия остается неизменной.
Идея кинетической энергии, или живой силы, привела к формулировке принципа наименьшего действия, предложенной Пьером Луи Моро де Мопертюи (1698–1759), который утверждал, что все изменения в природе совершаются наименьшим возможным количеством действия. Мопертюи при этом искал вдохновение в области оптики: еще в Древней Греции заметили, что луч света идет по кратчайшему пути между двумя точками. Ученый говорил: «Природа в своих действиях всегда пользуется наиболее простыми средствами».
Однако вскоре было установлено, что для описания движения частицы недостаточно кинетической энергии. Если подбросить тело в воздух, его начальная кинетическая энергия будет высока, но вскоре тело останавливается и начинает падать вниз. Куда девается его кинетическая энергия? Очевидно, что она никуда не исчезает, поскольку, падая, тело ускоряется, возвращая исходную кинетическую энергию. Должно быть, эта энергия хранится в теле в каком-то виде, из которого может снова возникнуть.
Решение задачи было связано с открытием понятия потенциальной энергии, то есть потенциала тела для получения кинетической энергии. Например, камень, расположенный на крыше небоскреба, обладает большим количеством потенциальной энергии: если его уронить, его кинетическая энергия в момент достижения земли будет огромной. Итак, потенциальная энергия камня определяется как кинетическая энергия, которой он обладал бы, если бы его уронили с высоты небоскреба. Обычно потенциальная энергия обозначается буквой V.
Тело на высоте небоскреба имеет гравитационную потенциальную энергию, поскольку именно гравитация обеспечивает ускорение тела при падении. Однако существует большое количество потенциальных энергий, каждая из них — со своим математическим выражением. Например, потенциальная энергия пружины проявляется после того, как сжатая пружина освобождается. Имеют потенциальную энергию и электрические заряды: два положительных заряда на близком расстоянии отталкиваются, высвобождая кинетическую энергию. Все виды потенциальной энергии трансформируются в кинетическую.
Потенциальная энергия особенно важна, когда речь идет о газах. При низкой плотности и высокой температуре газа его молекулы находятся на очень большом расстоянии друг от друга и движутся очень быстро, поэтому потенциальная энергия каждой из них, показывающая степень взаимодействия молекул, очень мала.
Однако если газ остынет, взаимодействие между молекулами станет значительным, то есть потенциальная энергия каждой молекулы возрастает и сравнится с кинетической. Чтобы реализовать это понимание, для изучения газовой динамики потребовались новые математические инструменты.
* * *
ЭНЕРГИЯ И РАБОТА
Современное понятие энергии определяется в зависимости от другой физической величины — работы. Физическая «работа» отличается от повседневной «работы», но оба понятия связаны между собой. Предположим, мы хотим измерить, сколько работы совершает человек за минуту. Поскольку мы говорим о физике, ограничимся физической работой, например передвижением объекта из одной точки в другую.
Сравним работу, которую выполняют два человека, задача которых — отнести коробки на склад. Очевидно, что чем больше вес коробки, тем больше работы совершил человек; то есть работа пропорциональна приложенной силе. Кроме того, чем больше расстояние, на которое переносится коробка, тем больше работа. Таким образом, работа пропорциональна расстоянию. На основании этих идей мы можем определить физическую работу как произведение силы на расстояние:
