Микель Альберти - Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света
* * *
ТОПОЛОГИЯ
Топология — раздел математики, изучающий формы, но не размеры, то есть не длины, углы, площади или объемы. С точки зрения топологии все объекты мягкие и деформируемые. Если путем непрерывной деформации, то есть без разрезов и склеек, двум объектам можно придать одинаковую форму, такие объекты называются топологически эквивалентными. К примеру, все многоугольники топологически эквивалентны кругу. Это же можно сказать о многогранниках и сфере. Топологически эквивалентными также являются футболка и лист бумаги с четырьмя отверстиями. В топологии определяющим свойством фигуры является число ее отверстий. Кольцо топологически эквивалентно чашке, так как и кольцо, и чашка имеют одинаковое число отверстий, в отличие от стакана, в котором отверстий нет. Точно так же эквивалентными будут ложка и вилка, так как в них нет отверстий.
Цилиндр и кольцо топологически эквивалентны.
* * *
Цикл, обладающий осевой симметрией второго порядка, проходит через три вершины сетки на каждой стороне квадрата. Это же верно и в случае, когда на каждой стороне находится всего одна вершина.
Если число вершин сетки на каждой стороне квадрата четное, имеем другую разновидность цикла, с осевой симметрией четвертого порядка (относительно поворота на 90°).
За исключением случая, когда на каждой стороне располагается всего одна вершина, различные циклы такого типа (обладающие осевой симметрией четвертого порядка) можно определить для любого числа вершин на стороне квадрата, как четного, так и нечетного. Для сетки размером 4 x 4 это будут две вершины, для сетки размером 7 x 7 — три.
Если число вершин сетки на каждой стороне квадрата четное (сетка состоит из нечетного числа клеток), то не существует цикла, проходящего через все вершины и подобного исходному узлу.
Чтобы получить бесконечный узел, проходящий через все вершины сетки, нужно, чтобы число вершин на каждой стороне квадрата было нечетным, или, что аналогично, число клеток сетки — четным.
Теорема 1: Если сетка состоит из четного числа клеток, полученный узел будет бесконечным, подобно исходному, и будет обладать осевой симметрией второго порядка (относительно поворота на 180°).
Теорема 2: Для любого числа клеток сетки n2 при n = 2·k или n = 2·k + 1 определимы k циклов с осевой симметрией четвертого порядка.
Ранее мы показали, что в сетке из 49 клеток (n = 7 = 2·3 + 1) можно определить три цикла, обладающих осевой симметрией четвертого порядка. В сетке из 16 клеток (16 = (2·2)2) можно определить два таких цикла.
Вариации на тему симметрии
Геометрические узоры встречаются повсеместно и практически у всех народов. Первые геометрические петроглифы появились еще в древнейшие времена — их примеры найдены в пещере Бломбос (ЮАР) или в Раскрашенной пещере на Канарских островах (Испания). Узоры, созданные еще до нашей эры в Древнем Египте, Древней Греции и Византии, имеют более формальный характер. Уже в нашу эру римляне использовали геометрические узоры в мозаиках (расцвет этого вида искусства наблюдался в Венеции до начала эпохи Возрождения). В то же время был создан чисто геометрический римско-византийский узор, обладающий самоподобием (в этом он схож с фракталами).
Римско-византийский узор (ок. 700 года).
Основу этого узора составлял квадрат, разделенный на 16 клеток. Диагонали делят каждую клетку на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Один из них окрашивался в серый цвет, другой делился на четыре подобных ему треугольника. Один из этих маленьких треугольников окрашивался в светло-серый цвет, три оставшихся вновь делились на четыре равнобедренных прямоугольных треугольника. Далее каждый из этих трех треугольников окружался еще тремя, таким образом получалось 3·3·16 = 9·16 = 144 новых треугольника. Эти действия могли повторяться бесконечно. На каждом этапе число треугольников утраивалось.
Этот узор обладает зеркальной симметрией вида cm, определяемой параллельными осями симметрии вдоль восходящих диагоналей каждой клетки.
Но есть культура, в которой искусство рисования геометрических узоров достигло поистине невероятных высот. Арабские узоры и мозаики встречаются на территории от Марокко до Индии и от Испании до Танзании. Их удивительную симметрию можно увидеть не только в мечетях, дворцах и медресе, но и в гостиницах, аэропортах и на самолетах. Исламские узоры берут начало в арабских узорах, созданных до 1000 года нашей эры.
Арабский узор (ок. 1200 года)
Этот арабский узор, которым можно целиком замостить плоскость, образован повторением шестиугольника с осевой симметрией относительно поворота на 60°. Основу узора составляет сетка из равносторонних треугольников, сочетание которых и образует основную фигуру, или лейтмотив.
Некоторые узоры отличаются тем, что построены на треугольных, а не прямоугольных сетках, поэтому обладают осевой симметрией относительно поворота на 60° и 120°. Прямой угол в узорах также присутствует, но играет второстепенную роль. В исламской культуре геометрия узоров усложнилась с появлением двойных линий — лент, сплетающихся в виде узлов. Эти узоры двумерны, но мастера, умело играя с особенностями нашего восприятия, создают эффект трехмерности. Равносторонние треугольники сетки образуют бесконечное множество составных фигур, среди которых выделяются шести- и двенадцатиконечная звезда, как в архитектурном ансамбле Альгамбра в Гранаде.
Узор в Альгамбре времен династии Насридов (Гранада, Испания, IX век).
* * *
СИММЕТРИЯ И НЕВОЗМОЖНЫЕ МИРЫ
Мы знаем, что стороны улиц наших городов представляют собой параллельные прямые. Но мы не удивляемся, когда видим, как вдали, на горизонте, эти прямые сходятся в одной точке. Из-за особенностей нашего зрения далекие предметы кажутся нам меньше. Сочетание симметрии и технологий может порождать новые миры — невозможные, но отчасти реалистичные. Достаточно взять любую фотографию, отразить ее половину по вертикали или горизонтали и приложить к оригиналу. На двойном изображении мы увидим две параллельные улицы, симметричные друг другу.
Улица в японском городе Канадзава и симметричная ей.
* * *
К сожалению, о том, как были выполнены мозаики Альгамбры, и о том, как строились правильные девятиугольники в то время, известно очень немногое (в XVIII веке Гаусс доказал, что построить правильный девятиугольник при помощи циркуля и линейки невозможно). Остается лишь строить догадки. Впрочем, далее вы увидите, что в некоторых культурах для рисования узоров до сих пор используют те же методы, что и в далеком прошлом.
Индийские орнаменты колам
Каждое утро женщины с юга Индии, особенно из штатов Тамилнад и Керала, проводят у дверей своих домов ритуал: они рисуют на земле рисовой мукой или мелом ряд геометрических фигур, которые затем могут раскрашивать в яркие цвета. Эти фигуры — колам — отличаются большим разнообразием и могут иметь вид как маленьких и простых изображений цветов, так и сложнейших геометрических узоров.
Колам — это не просто искусство. Линии и фигуры в нем обычно строятся на сетке точек, заранее размеченных на земле. Кроме того, колам состоят из меньших фигур, как правило, симметричных и повторяющихся по заданной схеме, которая также определяется формой исходной сетки из точек. На фотографии изображен колам с двумя перпендикулярными осями симметрии, начерченный на основе восьмиугольной сетки из точек.
Женщины рисуют колам в городе Ченнаи, штат Тамилнад (Индия).
Как правило, узоры колам рисуют женщины, вместе с другими работами по дому. Но иногда к ним присоединяются и мужчины — просто для эстетического удовольствия.
Только в одном случае колам должен рисовать мужчина — во время особого ритуала, посвященного богине-матери Бхагавати в штате Керала. Этот ритуал называется Бхагавати севаи, и проводить его может только жрец-мужчина, который и должен нарисовать особый колам — падман (лотос).
Существует два основных вида узоров колам. К первому относятся узоры, подобные изображенному на предыдущей странице. Они состоят из двумерных фигур, заполняющих сетку из точек. Узоры второго типа состоят из одной или нескольких непрерывных линий, которые проходят через все точки сетки и образуют одну или несколько фигур.
