Бизенц Торра - Том 15. От абака к цифровой революции. Алгоритмы и вычисления
Математик и философ Уильям Броункер (1620–1684), основатель и первый президент Лондонского королевского общества, путем преобразования этого выражения в 1658 году получил следующую формулу:
Следующее выражение, известное в Европе, было открыто за ее пределами. Речь идет о формуле Мадхавы из Сангамаграма. Лейбниц повторно открыл ее в 1671 году, использовав разложение в ряд для функции арктангенса, полученное Джеймсом Грегори. Она выглядит так:
π/4 = 1–1/3 + 1/5 — 1/7 + … + (-1)n/(2n + 1) + …
и выводится из следующего разложения в ряд для арктангенса:
arctgx = х — (x3)/3 + (х5)/5 — (х7)/7 + …
XVIII век
XVIII век остался в истории веком Просвещения. Целью этой книги ни в коей мере не является критика Просвещения, однако нет сомнений в том, что в XVIII веке не было сделано значимых открытий в области исчисления и счета. Возможно, в XVII веке был совершен столь крупный прорыв в науке, что в последующем столетии ученые занимались исключительно изучением уже открытого ранее. Как бы то ни было, вычисления, логика и расчеты числа 71 в этот период следовали по пути, очерченному в XVII веке.
Вычисление числа π в XVIII веке
В XVIII веке было предложено несколько новых выражений для вычисления числа π. Первое из них получил астроном Джон Мэчин (1680–1751). Оно использовалось для вычисления π в течение нескольких веков, в том числе при компьютерных вычислениях. Использовав формулу Грегори, Лейбница и Мадхавы, Мэчин обнаружил, что угол, арктангенс которого равен 1/5, можно выразить так:
α = arctg(1/5) = (1/5) — ((1/5)3)/3 + ((1/5)5)/5 — ((1/5)7)/7 +…
На основе арктангенса угла (4α — π/4) он составил ряд, позволяющий вычислить число π, в котором используется функция, обратная котангенсу. В отличие от предыдущих, этот ряд сходился быстрее. С его помощью этому английскому математику удалось верно вычислить 100 знаков числа π. Этот ряд соответствовал следующему выражению:
π/4 = 4·arctg(1/5) — arctg(1/239).
Это выражение можно представить в виде следующего ряда:
Леонард Эйлер также внес вклад в исследование рядов, позволяющих вычислить число π. С помощью одной из своих формул ему удалось вычислить 20 знаков π менее чем за полчаса.
* * *
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707–1783)
Швейцарский математик и физик Леонард Эйлер прожил большую часть жизни в России и Германии. Он считается ведущим математиком XVIII века и одним из крупнейших математиков всех времен. Он совершил важнейшие открытия в области анализа бесконечно малых и теории графов, а также ввел множество терминов и обозначений современной математики, особенно в области анализа, в частности обозначение функции. Он также совершил важные открытия в механике, гидродинамике, оптике и астрономии. Он был невероятно плодовитым ученым: полное собрание его сочинений насчитывает от 60 до 80 томов.
ЗНАК π
Обозначение числа к греческой буквой пи ввел Леонард Эйлер в своей книге «Введение в анализ бесконечных», изданной в 1748 году. Он использовал первую букву греческого слова periphereia — «окружность». Эйлер ввел и другие популярные обозначения, которые используются в современной математике. Он стал обозначать основание натурального логарифма буквой е, квадратный корень из минус единицы — буквой i, сумму ряда — знаком Σ, конечную разность — знаком Δ.
Логика
В XVIII веке не было совершено значимых открытий в логике, однако нет никаких сомнений, что Кант, который хоть не внес прямого вклада в эту дисциплину, тем не менее способствовал ее дальнейшему развитию. По сути, на основе идей Канта позднее сформировался логический позитивизм, а также аналитическая философия. Позднее Фреге, Гильберт, Рассел и Гёдель внесли огромный вклад в логику.
Немецкий философ Иммануил Кант (1724–1804) заложил фундамент трех основных свойств современной логики: различие между понятием и объектом, первенство высказывания как основной единицы логического анализа и понятие логики как средства изучения структуры логических систем, а не только подтверждения отдельных умозаключений.
Иммануил Кант, преподававший логику и метафизику в университете родного Кёнигсберга, является одним из величайших мыслителей в истории философии. Его работы охватывают множество разнообразных дисциплин, в частности право и эстетику. Особую важность имеют его труды по логике.
* * *
РАЗЛИЧИЕ МЕЖДУ ПОНЯТИЕМ И ОБЪЕКТОМ
Готлоб Фреге (1848–1925) установил, что любое предложение или высказывание содержит выражение, обозначающее объект, и предикат, обозначающий понятие. Например, в высказывании «Сократ является философом», «Сократ» — это объект, понятие «являться философом» — предикат. Эта точка зрения существенно отличалась от принятой ранее, согласно которой высказывание рассматривалось как два термина, соединенных глаголом «являться». Новый взгляд на отношение «понятие — объект» стало основным для понимания теории множеств и отношения принадлежности элемента ко множеству.
XIX век: некоторые приемы вычислений
Первым коммерчески успешным калькулятором был арифмометр, созданный французом Шарлем Ксавье Тома де Кольмаром (1785–1870). Он успешно продавался не только во Франции, но и в других странах. Конкуренты не дремали, и через несколько лет было создано несколько альтернативных моделей. Наиболее заметными были калькулятор «Арифморель» еще одного француза Тимолеона Мореля (1842), калькулятор с зубчатыми колесами, созданный американцем Фрэнком Болдуином (1872), который независимо от него также был разработан шведом Вильгодтом Однером (1874), жившим в Санкт-Петербурге, а также круговой калькулятор англичанина Джозефа Эдмондсона (1885). Все эти машины использовались даже в первые годы XX века.
Устройство «Арифмореля» — калькулятора, созданного Тимолеоном Морелем.
Начиная с машины Мореля в калькуляторах помимо основных арифметических операций появилась возможность вычисления квадратных корней. Квадратные корни вычислялись на основании следующего разложения в ряд для функции х2:
1 + 3 + 5 + … + (2х — 1) = х2.
Для данного числа n, которое является полным квадратом, квадратный корень из n можно получить последовательным вычитанием из него чисел 1, 3, 5, пока результат вычитания не станет равен нулю. Число выполненных операций вычитания будет равно квадратному корню исходного числа. Допустим, мы хотим вычислить квадратный корень из 100. Нужно последовательно вычесть из него 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. Так как мы вычли из 100 десять чисел, квадратный корень из 100 равен 10.
Если n не является полным квадратом, результатом последнего вычитания будет отрицательное число. Число выполненных операций вычитания будет приближенно равно истинному значению квадратного корня. Чтобы получить искомое значение с точностью до нескольких десятичных знаков, вышеуказанный процесс нужно повторить. При этом для каждого нового десятичного знака исходное число следует умножить на 100 в следующей степени. Например, умножим 2 на 100, чтобы вычислить квадратный корень из 200 и получить один знак после запятой. Имеем:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 =
= 196 < 200 < 225 =
= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29.
Заметим, что в верхнем ряду складывается 14 слагаемых, в нижнем — 15.
Следовательно, квадратный корень из 200 находится между 14 и 15, корень из 2 — между 1,4 и 1,5.
В XIX веке были совершены открытия, которые подготовили почву для развития современных информационных технологий. В 1835 году американский физик Джозеф Генри, известный работами по электромагнетизму, изобрел электромеханическое реле.
Еще одно открытие — появление цифровой клавиатуры — предвосхитило основу интерфейса будущих компьютеров. До этого в калькуляторах использовались особые способы ввода множителей, что также требовало особой подготовки в области вычислений. Открытие клавиатуры сделало калькуляторы доступными для всех.
С массовым внедрением промышленных решений автоматические вычисления стали идти параллельным курсом с автоматизацией текстильной промышленности.
