Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
если а > 0, b > 0, n — натуральное число.
10.7. Докажите, что при а > b > 0 и p > q где а, b и с — положительные и не равные друг другу числа, не пользуясь неравенствами между средним арифметическим и средним геометрическим трех чисел.
10.8. Докажите, что при n > 1.
10.9. Докажите неравенство
a/b + b/c + c/a > 3
где а, b и с — положительные и не равные друг другу числа, не пользуясь неравенствами между средним арифметическим и средним геометрическим трех чисел.
10.10. Докажите, что
а² + b² + с² ≥ 4S√3,
где а, b, с — стороны, а S — площадь некоторого треугольника.
10.11. Докажите, что
(x − 1)(x − 3)(x − 4)(x − 6) + 10 ≥ 1
при всех действительных значениях x.
10.12. Докажите, что если действительные числа x, у, z, не равные нулю, удовлетворяют равенствам:
x + у + z = xуz и x² = уz,
то
x² ≥ 3.
10.13. Докажите, что если x, у, z — действительные числа, удовлетворяющие равенствам
x + у + z = 5, уz + zx + xу = 8,
то
1 ≤ x ≤ 7/3, 1 ≤ y ≤ 7/3, 1 ≤ x ≤ 7/3. [9]
10.14. Решите неравенство
аx² + x + 1 > 0,
где а ≠ 0 — произвольное действительное число.
10.15. Найдите все действительные значения m, при которых квадратный трехчлен x² + mx + (m² + 6m) будет отрицателен при всех значениях x, удовлетворяющих неравенству 1 < x < 2.
10.16. Найдите все действительные значения а, при которых корни многочлена x² + x + а будут действительными и оба корня будут больше а.
10.17. При каких значениях к корни многочлена
k²x² + kx − 2
будут действительными и один корень по абсолютной величине будет больше 1, а другой по абсолютной величине будет меньше 1?
10.18. Найдите все действительные значения m, для которых неравенство
тx² − 4x + 3m + 1 > 0
удовлетворяется при всех положительных значениях x.
Решите неравенства:
10.19. |x² − 2x − 3| < 3x − 3.
10.20. |x − 3| > |x + 2|.
10.21.
10.22.
10.23.
10.24.
10.25.
10.26.
10.27. 4x ≤ 3 · 2√x + x + 4√x+1.
10.28. 4x² + 3√x +1 + x · 3√x < 2x² · 3√x + 2x + 6.
10.29[10].
Решите неравенства:
10.30. (4x² + 12x + 10)|x³ − 5x + 2| ≥ (4x² + 12x + 10)x − 2.
10.31. xlogаx +1 > а²x.
10.32[11].
10.33.
10.34.
10.35.
10.36. log2 (2x − 1) log½ (2x + 1 − 2) > −2.
10.37. log|x + 6| 2 · log2(x² − x − 2) ≥ 1.
10.38.
10.39. logkxx + logx(kx²) > 0, где 0 < k < 1.
10.40. logx[log2(4x − 6)] ≤ 1.
10.41.
10.42.
10.43. |√2 |x| − 1| · 1ох2 (2 − 2x²) > 1.
10.44.
10.45. logx² − 1 (3x − 1) < logx² − 1 x².
10.46.
10.47. При каких значениях у верно следующее утверждение: «Существует хотя бы одно значение x, при котором удовлетворяется неравенство
2 log0,5 y² − 3 + 2x log0,5 y² − x² > 0»?
10.48. При каких значениях а из неравенства
x² − а(1 + а²)x + а4 < 0
следует неравенство
x² + 4x + 3 < 0?
10.49. Для каждого действительного а решите неравенство
10.50. Решите неравенство
(x² + 8x + 15)22 + x > x² + 7x + 10.
10.51. Определите, какие из чисел −4, −1, 1, 4 являются решениями неравенства
|0,5 − lg 5|x ≤ 0,5 − lg 5.
10.52. Решите неравенство
(√5 − 2)x − 6 ≤ (√5 + 2)√x.
10.53. Решите неравенство
Глава 11
Логарифмические и показательные уравнения и системы
Если ар, где а и p — действительные числа, существует, то
|a| = |а|p (1)
По определению logа N есть число, удовлетворяющее равенству
где а > 0 и а ≠ 1.
Формулы
(2)
называются формулами потенцирования. Первые две являются неабсолютными тождествами (см. введение к главе 9); при четных n и третья формула оказывается неабсолютным тождеством. Применение этих формул при решении уравнений (под применением формулы мы понимаем замену в уравнении выражения, стоящего в ее левой части, на выражение, стоящее справа) может привести только к приобретению посторонних решений.
Формулы (2), прочитанные справа налево, называются формулами логарифмирования. Чтобы формулы логарифмирования не приводили к потере решений, ими пользуются в виде
logа хy = logа |x| + logа |y|;
logа x/y = logа |x| − logа |y|;
logа x2k = 2k logа |x| (k — целое, k ≠ 0).
Следующие формулы позволяют переходить от логарифма с одним основанием к логарифму с другим основанием:
Если в третьей из этих формул n = 2k, то в правой части нужно писать вместо основания а основание |а|.
Формула
(3)
является неабсолютным тождеством, так как ее правая часть перестает существовать при f(x) = 1, в то время как левая часть при соответствующих значениях x может существовать и обращаться в нуль.
Таким образом, применение формулы (3) может привести к потере решений, при которых f(x) = 1.
При решении уравнений вида
φ(x)f(x) = φ(x)g(x) (4)
нужно воспользоваться условием равенства показателей: если φ(x) ≠ −1, 0, +1, то следствием уравнения (4) является уравнение
f(x) = g(x). (5)
Пусть x = а — корень уравнения (4). Тогда
φ(а)f(а) = φ(а)g(а).
В силу (1) можно записать, что
|φ(а)|f(а) = |φ(а)|g(а).
Так как |φ(x)| ≠ 0, 1 и |φ(x)| > 0, то по свойству показательной функции имеем
f(а) = g(а),
т. е. x = а — корень уравнения (5).
Случаи, когда φ(x) равно −1, 0 или 1, нужно рассмотреть отдельно.
