Gustavo Pineiro - Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике.
«Множество», таким образом, — это синоним «группы», в том смысле, в котором мы обычно употребляем это слово. Данное определение сыграло важнейшую роль в развитии математики, установив, что множество — это объект, отличный по своей сути от своих составляющих. Несколько лет спустя британский логик Бертран Рассел (1872-1970) проиллюстрировал это различие словами: «Табун лошадей — не то же самое, что лошадь».
Множество — как закрытый мешок, в котором содержатся абсолютно определенные вещи, но их нельзя увидеть, мы о них ничего не знаем, кроме того, что они существуют и они определены.
Рихард Дедекинд в письме немецкому математику Феликсу Бернштейну, 1899 год
Так, множество всех рациональных чисел, которое обычно обозначается буквой Q, имеет особые характеристики. Они относятся только к Q в целом, но не к рациональным числам по отдельности, например счетность. В случае, когда мы говорим о Q как о совокупности актуально существующей, определение множества подразумевает, что мы должны принять идею актуальной бесконечности.
Мы можем совершать операции с числами — складывать или умножать — так же, как с множествами (например, объединять). Если есть два множества, их объединение даст другое множество, включающее в себя все объекты, из которых состоят эти два множества. Если мы возьмем множество натуральных чисел N, членами которого являются 0, 1,2, 3, ..., и множество отрицательных целых чисел Ν', то их объединением будет множество целых чисел, которое обычно обозначается буквой Ζ (первой буквой немецкого слова Zahl, «число») и содержит одновременно члены N и Ν'. В записи математическими символами это выглядело бы так: N U Ν’ = Ζ (см. рисунок).
Одна из особенностей, которую Кантор описал в своей статье 1895 года, проиллюстрирована на рисунке: объединение двух счетных множеств всегда дает в результате счетное множество. Изучение свойств, которые относятся либо к множествам, либо к объектам самим по себе, составляет предмет так называемой теории множеств, и Кантор считается ее создателем, поскольку первым начал исследовать эти свойства. Одним из важнейших аспектов теории множеств является изучение мощности бесконечных множеств. Именно поэтому говорят, что теория множеств и теория математической бесконечности — это, в сущности, одна и та же теория.
Объединение двух множеств содержит одновременно элементы и того и другого.
ТОЧКИ СОПРИКОСНОВЕНИЯ
Выходит, что теория множеств родилась в 1883 году? Почему же тогда задолго до этого, в 1872 году, Кантор и Дедекинд уже сошлись на том, что в математику необходимо ввести понятия множеств?
В 1872 году Кантор опубликовал статью, в которой было предложено решение проблемы континуума. Решение состояло в том, чтобы найти такое определение вещественных чисел, которое не опиралось бы на геометрические понятия. Важно отметить, что уже тогда Кантор знал: эта задача приведет его к актуально бесконечным множествам.
В том же году Дедекинд опубликовал решение вопроса континуума, близкое к предложенному Кантором и основанное на так называемых дедекиндовых сечениях. Теперь понятно, почему в 1872 году двое ученых сочли, что их взгляды на математику настолько схожи.
БЕСКОНЕЧНОСТЬ БОЛЬЦАНО
Математик Бернард Больцано родился в Праге в 1781 году. В сочинении «Парадоксы бесконечного», опубликованном в 1851-м, спустя три года после его смерти, он предвосхитил некоторые идеи Кантора, обнародованные гораздо позже, пусть даже он не упомянул о существовании нескольких уровней бесконечности и не создал полноценную теорию математической бесконечности.
Тем не менее до середины 1880-х годов и Кантор, и Дедекинд допускали только существование групп, образованных числами или геометрическими точками, а не любыми объектами. Таким образом, отвечая на поставленный вопрос, мы можем сказать, что хотя в 1870-е годы Кантор и Дедекинд уже использовали связанный со множествами понятийный аппарат в своих работах, эти термины еще не были развиты до конца, так как применялись только к группам, состоящим из чисел или геометрических точек. Возможность того, что множество может состоять из любых объектов, Кантор принял во внимание только в 1883 году, но и то ограничился множествами, образованными числами, хоть и особого вида.
Необходимо подчеркнуть, что концептуальный переход к принятию идеи того, что множества могут быть образованы любыми объектами, уже был заложен в определении мощности, которое Кантор обнародовал в 1877 году. Утверждая, что мощность — это свойство группы, коллекции, которое возникает при абстрагировании от природы составляющих его членов, он подчеркивает: не важно, какими членами оно образовано.
Если мы возьмем любую группу и заменим, например, числа или точки буквами, идеями или любыми другими объектами, то ее мощность останется такой же, поскольку понятие мощности не зависит от природы членов коллекции.
ЛИЧНЫЕ КОНФЛИКТЫ
Статья 1883 года «Основы общего учения о многообразиях» стала кульминацией научной карьеры Кантора. К сожалению, этот период его жизни был также отмечен серьезными личными проблемами.
Эдуард Гейне, руководивший первыми исследованиями Кантора в Галле, умер 21 октября 1881 году. Тогда ученый задался амбициозной целью. Раз ему не удавалось перейти в престижный университет вроде Берлинского или Геттингенского, он решил привести в Галле знаменитых ученых, которым было близко его учение о бесконечности, и создать исследовательский центр. В качестве первого шага он убедил дирекцию университета предложить одно освободившееся место Дедекинду.
К большому удивлению и разочарованию Кантора, тот отклонил это предложение, и место было отдано Альберту Вангерину — второстепенному геометру, далекому от идей Кантора.
Причины, побудившие Дедекинда отказаться, нам точно не известны. К тому времени он уже 20 лет жил в родном Брауншвейге, где возглавлял коллегиум, в котором когда-то учился сам, и занимался исследовательской работой в своем темпе, без давления со стороны. Поэтому, возможно, причиной было банальное нежелание менять стиль жизни.
Я представляю себе множество как пропасть.
Георг Кантор — немецкому математику Феликсу Бернштейну, 1899 год
В любом случае Кантора этот отказ очень обидел, и дружба стала быстро угасать, а в конце 1882 года десятилетняя переписка и все прочие контакты были полностью прерваны.
Практически в тот же самый период, когда завершились отношения Кантора с Дедекиндом, он завязал переписку со шведским ученым Іестой Миттаг-Леффлером (1846— 1927) — известным математиком, который, как и Дедекинд, интересовался областью бесконечного. Тогда же, в 1882 году, Миттаг-Леффлер основал журнал Acta Mathematica. И Кантор обрел подходящую платформу для публикации своих работ, не попадая в зону влияния Кронекера. С 1883 по 1885 год в Acta Mathematica были опубликованы три статьи, в которых Кантор рассматривал вопросы, связанные с решением задачи контиуума.
Однако отношения с Миттаг-Леффлером не продлились долго. В 1884 году тот убедил Кантора отозвать одну из статей, будучи уверенным в том, что действует в пользу автора. Миттаг-Леффлер понимал, что статья, озаглавленная «Принципы теории порядковых типов», слишком умозрительна, ей недостает ясных и четких результатов, и она может навредить репутации теории множеств. Он ответил Кантору, что тот написал слишком много, но так и не предъявил конкретных результатов, а это может дискредитировать теорию, и в этом случае потребуется еще сто лет, прежде чем на его идеи вновь обратят внимание. Кантор плохо воспринял совет Миттаг-Леффлера, посчитав, что тот намекает, будто ему надо подождать еще сто лет с публикацией своих идей:
«Если верить Миттаг-Леффлеру, мне придется ждать до 1984 года, что кажется слишком строгим требованием! [...] Разумеется, я и знать больше ничего не желаю об Acta Mathematical.»
Кантор написал это в 1885 году, прекратил всякое общение с Миттаг-Леффлером и больше не отправил в Acta Mathematica ни одной статьи. «Принципы теории порядковых типов» так и не были опубликованы. Ученый переживал один из самых тяжелых периодов своей жизни. Потеряв Дедекинда, в глазах которого, как считал Кантор, его оклеветали, не имея возможности создать исследовательский центр в Галле или попасть в желанные университеты Берлина или Геттингена, в мае 1884 года он впал в депрессию. Ему потребовалось немало времени, чтобы выйти из нее. Его математическое творчество, так ярко раскрывшееся в «Основах общего учения о многообразиях» 1883 года, угасло вплоть до 1890-х годов. В этот переходный период Кантор опубликовал несколько статей, в которых с переменным успехом исследовал философские последствия и возможные применения в физике своей теории бесконечности. Он также увлекся идеей о том, что произведения Шекспира были на самом деле написаны Фрэнсисом Бэконом. Эта теория появилась во второй половине XVIII века, и хотя большинство ученых считают ее абсурдной, даже сегодня у нее есть сторонники. Кантор потратил много денег на приобретение старинных изданий Шекспира и написал три монографии по этой теме.
