Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
В тех взаимодействиях, где индивид представляет результат своей деятельности другим людям, он склонен обнародовать только конечный продукт; они же судят о нем на основе вещей законченных, отполированных и расфасованных. В ряде случаев, если для завершения деятельности было достаточно лишь очень небольшого усилия, этот факт будет скрыт. В других случаях сокрытию подлежат долгие, изнурительные часы одинокого труда…
Опубликованные математические статьи нередко содержат слегка раздражающие высказывания типа «Отсюда следует, что…» или же «Ясно, что…», тогда как в действительности совершенно не следует и абсолютно не ясно, пока вы не потратите те же шесть часов, что потратил автор, на прописывание промежуточных шагов и проверку их правильности. Об английском математике Г.X. Харди, с которым мы еще встретимся ниже, рассказывают такую историю. Дойдя на лекции до определенного места в своих рассуждениях, он сказал: «Теперь очевидно, что…» Тут он остановился, замолчал и несколько секунд простоял без движения с нахмуренными бровями. Потом вышел из аудитории. Минут через двадцать он вернулся, улыбаясь, и продолжил: «Да, действительно, очевидно, что…»
Но кроме отсутствия амбиций Гаусс демонстрировал и отсутствие такта. Он нажил массу неприятностей в общении с коллегами-математиками из-за того, что ссылался на открытия, которые он сделал, но не опубликовал за годы до того, как другие открывали то же самое, однако публиковали свои результаты. Дело было не в тщеславии — Гауссу не было свойственно тщеславие, — а в том, что доктор Джонсон называл «грубой бесчувственностью». Например, в опубликованной в 1809 году книге Гаусс ссылается на метод наименьших квадратов, придуманный им в 1794 году (способ найти наилучшую «подгонку» для некоторого количества экспериментальных данных). В момент, когда он сделал это открытие, он его, разумеется, не опубликовал. Принадлежащий к чуть более старшему поколению французский математик Адриен-Мари Лежандр открыл и опубликовал этот метод в 1806 году; он был разъярен, когда Гаусс приписал приоритет открытия себе. У нас нет сомнений в правоте Гаусса — тому имеются документальные подтверждения, — но если Гаусс желал, чтобы его имя ассоциировалось с этим результатом, ему надо было его опубликовать. Он, однако, не беспокоился, будет ли увековечено его имя, и не намеревался публиковать свои результаты, если ему не хватало времени отполировать их до полного совершенства.
III.
В декабре 1849 года Гаусс вел переписку с немецким астрономом Йоханом Францем Энке (именем которого названа знаменитая комета)[24] Энке высказал кое-какие комментарии по поводу частоты появления простых чисел. Ответное письмо Гаусса начиналось так:
Любезное сообщение о ваших наблюдениях по поводу частоты появления простых чисел заинтересовало меня более, чем просто упоминание. Оно напомнило мне мои собственные изыскания по тому же предмету, начало которым было положено в далеком прошлом, в 1792 или 1793 году. <…> Одна из первых вещей, которые я сделал, состояла в том, что, обратив внимание на уменьшающуюся частоту, с которой появляются простые числа, я их вычислил в нескольких группах из тысячи чисел и бегло набросал результаты, листок с которыми прилагаю к письму. Я вскоре осознал, что при всех своих флуктуациях эта частота в среднем близка к величине, обратно пропорциональной логарифму… (Курсив мой. — Дж. Д.) С тех пор я время от времени (поскольку мне недостает терпения, чтобы последовательно посчитать весь интервал) уделяю свободные четверть часа, чтобы то тут, то там пересчитать еще один отрезок длиной в тысячу; но в конце концов я забросил это дело, не добравшись толком и до миллиона.
Итак, начиная с 1792 года — когда ему было лишь 15 лет! — Гаусс забавлялся пересчетом всех простых чисел в интервале из 1000 чисел за раз и довел эти вычисления до сотен тысяч («не добравшись толком и до миллиона»). Чтобы представить себе, усилия какого порядка здесь требуются, я задался целью извлечь все простые числа из отрезка в тысячу чисел от 700 001 до 701 000, пользуясь при этом лишь теми средствами, которые могли быть доступны Гауссу, — карандашом, несколькими листами бумаги и списком простых чисел до 829 — именно такие простые требуются в процессе поиска простых среди чисел до 701 000.[25] Сознаюсь, что я бросил это занятие через час, когда я провел вычисления с простыми делителями до 47 — что означает, что мне оставалось еще 130 простых делителей. Я приглашаю вас самостоятельно попробовать такое упражнение. Это и были гауссовы «свободные четверть часа» (unbeschäftigte Viertelstunde).
Предложение, выделенное курсивом в отрывке из письма, которое Гаусс написал Энке, и составляет один из двух связанных с ТРПЧ результатов, обсуждавшихся в главе 3.ix. Как там было замечено, это утверждение эквивалентно самой ТРПЧ. Нет никаких сомнений в том, что Гаусс действительно работал над этим в начале 1790-х годов. Его заявлениям было найдено документальное подтверждение, так же как и другим заявлениям того же типа. Он просто не трудился публиковать свои результаты.
IV.
Любопытно, что первая опубликованная работа, относящаяся к ТРПЧ, принадлежит тому самому Адриену-Мари Лежандру, которого так возмутило заявление Гаусса об открытии им метода наименьших квадратов. В 1798 году — через пять или шесть лет после того, как Гаусс докопался до формулировки ТРПЧ, но не предоставил свои результаты в распоряжение человечества, — Лежандр опубликовал книгу, озаглавленную «Очерки о теории чисел», в которой он на основе своих собственных подсчетов числа простых чисел высказал предположение, что
для некоторых чисел A и B, которые «подлежат определению». В более позднем издании своей книги он уточнил это предположение (доказать которое он не смог) таким образом:
где A при больших значениях x стремится к некоторому числу, близкому к 1,08366. Гаусс обсуждает предположения Лежандра в своем письме к Энке в 1849 году он отвергает значение 1,08366, но не приходит ни к каким другим определенным выводам.
Нет сомнений, что если бы несчастный Лежандр прочитал письмо Гаусса к Энке, то оно вызвало бы у него еще один приступ гнева. По счастью, он скончался за несколько лет до того, как это письмо было написано.[26]
V.
Раз уж эта глава посвящена обзору важных открытий и предположений, сделанных до 1800 года, и поскольку именно этот человек был создателем Золотого Ключа, о котором мы так много всего будем говорить в последующих главах, сейчас самое время представить вам другого математического гения высшей пробы, родившегося в XVIII столетии, — Леонарда Эйлера. Эйлер (1707-1783), как пишет Э.Т. Белл в своей книге «Творцы математики»[27], был, «вероятно, величайшим из всех ученых, которых породила Швейцария»; насколько мне известно, он остается единственным математиком, именем которого названы два числа: уже упоминавшееся число e, равное 2,71828…, и число Эйлера-Маскерони, для внятного описания которого в этой книге недостаточно места[28], равное 0,57721…{A6} Чтобы познакомить вас с Эйлером, мне придется сначала представить вам новый географический регион, сыгравший важную роль в истории нашей темы.
Россия, как, я думаю, хорошо известно, вступила в современную эпоху несколько позднее остальной Европы, причем это вступление свершилось главным образом благодаря энергии и силе воображения Петра Великого, взошедшего на трон десятилетним мальчиком в 1682 году. Годами правления Петра обычно считаются 1682-1725, но в течение первых семи лет он правил совместно со своим подслеповатым, хромым и плохо выговаривающим слова сводным братом Иваном, а реальное управление находилось в руках сестры Ивана Софьи. Петр добился единоличного правления лишь в 1689 году в возрасте 17 лет. Но он и тогда не выказал большого интереса к государственным делам и провел следующие пять лет в забавах. По счастью, он был человеком острого ума и неуемной любознательности, и многие из его забав оказывались весьма полезными. Ему особенно нравилось общество иностранцев, которые к тому времени в значительном числе расселились в пригороде Москвы, в так называемой Немецкой слободе. Здесь, среди шотландских наемников, голландских купцов и немецких и швейцарских инженеров, Петр мог познакомиться с европейской наукой и культурой, а заодно удовлетворить свою страсть к фейерверкам и кораблям (в перерывах между бурными застольями и кутежами ночи напролет). В 1692-1693 годах на Плещеевом озере Петр сам построил военный корабль, от киля до мачт. В следующем 1694 году умерла его мать, и Петр стал полновластным государем.
