Эрик Белл - Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней
Дабы не воздавать хвалу Фалесу больше, чем он того заслуживает, следует упомянуть, что отдельные историки признают, что он правильно пользовался дедуктивным методом, но не осознал всеобщность процесса: подробное изложение допущений с последующими строго логическими и последовательными выводами. С большей очевидностью, чем сейчас была приведена, подобные выводы не могут быть опровергнуты, как и не могут быть подтверждены. Любой компетентный критик не позволит себе отрицать вклад Фалеса, которому отдают должное за частичное внедрение доказательного процесса в математике. По-настоящему же хвала за развитие полноценного дедуктивного метода воздается отцу западной магии чисел Пифагору. Фалес, скорее всего, был лишен магии и был привержен одному только разуму. Два следующих факта из безвозвратного прошлого могут полностью исчерпать тему его вклада как в математику, так и в философию.
Интерес к первому факту больше исторический. Его значение для развития ранней греческой философии и математики проявится в связи с Зеноном и его несносными парадоксами.
Пирамида Хеопса в Древнем мире считалась чудом из чудес. Подобно всякому греческому путешественнику в Египет, Фалес тщательно изучил этот впечатляющий памятник мумии фараона. Вырождающиеся жрецы демонстрировали пирамиду своему гостю, последнее доказательство утраченной Египтом цивилизации, куда большей, чем грекам суждено когда-либо познать. Если даже колоссальная глыба и внушила благоговейный трепет недавно цивилизованному греку, хотя бы тенью, которую она далеко отбрасывала на пески, он умудрился скрыть свое изумление. К смущению принимающей стороны, Фалес с будничным видом приступил к определению высоты их колоссальной пирамиды. Потрясенные дерзостью непосвященного, священнослужители даже не могли себе представить, как простой смертный без лишних усилий сможет закончить, казалось бы, невыполнимое. Уже сотни веков все головы, им подобные, были столь же пусты, как и череп их мумифицированного фараона. Века, проведенные в бормотании над Книгой мертвых, атрофировали их представления о жизни, а прошлое величие их строителей уже стерлось из памяти. Египет разваливался, Греция стояла на пороге развития.
Существуют две версии того, как Фалес сотворил чудо. Простейшая утверждает, что Фалес измерил тень пирамиды, когда его собственная тень сравнялась с ним по росту.
Все, кто хоть чуть-чуть помнит курс школьной геометрии, поймет, как он получил ответ.
Вторая версия почти повторяет первую. Она напрямую связана с основным выводом одной из самых полезных теорем геометрии. Напомним ее: треугольники ABC, PQR таковы, что внутренние углы А, В, С соответственно равны внутренним углам P, Q, R. АВ – сторона между вершинами А и В. Это означает, что ей соответствует определенное число, определяющее длину стороны, что справедливо и для всех остальных сторон треугольников. Теорема утверждает, что соотношения
равны.
Фалесу приписывают доказательство данной теоремы. Он вполне мог бы доказать ее для треугольников, чьи стороны измеряются общеизвестными целыми числами. И он, весьма вероятно, не смог бы этого сделать, если бы речь шла не о целых числах, поскольку числа, требуемые для измерения сторон, не могли быть придуманы при его жизни.
Открытие Пифагором единственного образца соответствующих чисел стало главным поворотным моментом не столько для математики, сколько для эволюции метафизики. Мы еще отметим это влияние на оба направления, сейчас же мы рассмотрим предполагаемое доказательство Фалеса, и это больше чем простой интерес. Доказательство, устраивающее величайшего математика одного поколения, легко оказывается вызывающе ошибочным или неполным для школьника более поздней формации. В наши дни прилежный ученик средней школы может определить скользкие места в любом доказательстве из тех, что принадлежали Фалесу. И не потому, что он как математик много сильнее, чем Фалес, а потому, что наиболее талантливые математики в истории за три века, последовавшие за эпохой Фалеса, придерживались абстрактного мышления и дедуктивного метода, открытого им.
Вторая позиция, представляющая интерес, дезавуирует ранее сказанное. Уже упоминались в связи с дедуктивным методом доказательство, о котором древние египтяне, вполне возможно, догадывались, и сомнительная очевидность этого факта, базирующегося на свидетельских показаниях одного человека. Человек, о котором пойдет речь, – это Демокрит, живший в 460–362 годах до н. э., ярый поборник атомистической теории. Демокрит, по прозвищу «смеющийся философ», начал жизнь весьма обеспеченным человеком, видел мир во всем его многообразии, вконец промотался и умер, смеясь, в возрасте почти ста лет, а некоторые говорят, что буквально в канун своего столетия. Как свидетельствуют следующие эпизоды из его автобиографии, «смеющийся философ» не отличался скромностью.
«Я странствовал по земле больше любого другого своего современника, – начинает он, – с целью изучения наиболее трудных вопросов. Я изучил много климатов и много разных земель, и я выслушал бесчисленное множество мудрых людей. Но до сих пор, – продолжает он, распаляя себя, – никто не превзошел меня в построении линий, в построении с наглядным доказательством. Даже египетские изготовители канатов, с которыми я прожил целых пять лет».
Что касается «доказательства», то Демокрит либо знал больше о египетской математике или он продемонстрировал сардонический выпад в сторону своего уважаемого соотечественника Фалеса. Если египтяне что-то действительно доказывали в своей эмпирической геометрии, скорее уж Фалес услышал от них о доказательстве, чем они, узнав о его изобретении, тотчас начали применять его на практике. В VI веке до н. э. египтяне не были, насколько это известно, знамениты своей любовью к абстракции, и кажется маловероятным, будто они ухватились за эту идею. Если же Демокрит не занимался саркастической мистификацией, то, вполне возможно, страдал провалами в памяти в старости. Как бы то ни было, Фалес продолжает неколебимо красоваться у основания западной мысли как в математике, так и в философии. И это несмотря на его спорное утверждение: «Всё полно богов».
Глава 8
Один или много?
За Фалесом следует Анаксимандр, возможно его ученик, живший в 610–546 годах до н. э. Являясь важным связующим звеном в длинной цепочке математиков-философов с VI века до н. э. и до наших дней, Анаксимандр требует пристального внимания с нашей стороны из-за своей концепции бесконечности. Видение настоящего в прошлом необходимо для понимания наводящих на результат мыслей о математической бесконечности в его «транскрипции». И все же эта трудная для понимания концепция, согласно разъяснениям древних комментаторов, имеет ряд характеристик, которые и ныне приписывают бесконечности. Определенно с нее начались западные умствования по поводу возможной безграничности, бесконечности мироздания.
Следует, однако, заметить, что «неограниченный» не значит бесконечный. Поверхность сферы, например, конечна по сути, хотя и не ограничена. И в одной из моделей пространство-время физической вселенной, предлагаемой теорией относительности, вселенная безгранична, но конечна.
Лишь несколько деталей из жизни Анаксимандра дошли до нашего времени. Цицерон говорит о нем как о друге и помощнике Фалеса. Так или иначе он был сведущ в геометрии Фалеса и его философии и передал их со своими дополнениями Пифагору. Он был одним из первых, если не самым первым из греков, вверивших свою науку и математику письменным записям. Его труды известны нам благодаря отрывочным упоминаниям древних историков и философов, которые, как водится, зачастую противоречат один другому. Анаксимандр отличался от остальных и тем, что стал первым в истории ученым, выступавшим с публичными лекциями по философии. Какое-то время он, возможно, даже возглавлял школу для мальчиков. Один дошедший до наших дней рассказ характеризует его как добросовестного педагога. «Ради мальчиков я должен постараться декламировать лучше», – заявил он, когда стал объектом подшучивания за свою привычку произносить нараспев преподаваемый материал.
Почитатели Анаксимандра хотели, чтобы он во всем превзошел своего учителя. Фалес предсказал затмение, Анаксимандр предсказал землетрясение – подвиг, который сейсмологи XX века еще должны повторить. Фалес сказал: «Всё есть вода». Анаксимандр обошел его, заявив, что всё для него есть вода и грязь. В связи с этим отметим, что Анаксимандр заложил основы новой процветающей традиции среди учеников философов – противоречить своему учителю. Фалес даже не пытался объяснить, как мир стал таким, каков он есть. Анаксимандр подарил научному миру первую всеобъемлющую теорию эволюции. Естественно, это была не слишком убедительная теория, но она стала шагом в направлении натурализма от супер-натурализма в объяснении природных явлений. Не станем останавливаться на деталях, поскольку Эмпедокл предложил более интересное объяснение происхождения всего живого на земле, о чем поговорим позднее.
