Иэн Стюарт - Истина и красота. Всемирная история симметрии.
x3 + bx + c = ax2.
(Поскольку нас не заботит положительность или отрицательность, мы бы, скорее всего, перенесли член из правой части в левую с изменением знака; получив таким образом уравнение x3 − ax2 + bx + c = 0.)
Омар снабжает своих читателей инструкциями, состоящими в следующей последовательности шагов. (1) Проводим три отрезка с длинами c/b, √b и a так, чтобы образовался прямой угол. (2) Проводим полуокружность, диаметр которой — горизонтальный отрезок. Продолжаем вертикальные прямые до пересечения с ней. Если жирный вертикальный отрезок имеет длину d, добиваемся, чтобы отрезок жирной горизонтальной прямой имел длину cd/√b. (3) Проводим гиперболу (сплошная линия), асимптоты которой (те специальные прямые, к которым приближается гипербола) — серые прямые, проходящие через только что построенную точку. (4) Находим, где гипербола пересекает полуокружность. Тогда длины двух жирных отрезков, обозначенные как x, дают два (положительных) решения кубического уравнения.
Данное Омаром Хайямом решение кубического уравнения.
Подробности, как всегда, не так важны, как общий стиль. Выполняем ряд эвклидовых построений циркулем и линейкой, потом прибегаем к помощи гиперболы, потом еще немного эвклидовых построений — и готово.
Омар дает аналогичные конструкции для решения каждого из своих четырнадцати случаев и доказывает, что решения верны. В его анализе есть несколько дыр: при некоторых значениях коэффициентов a, b и c требуемые в его построении точки не существуют. В приведенном выше построении, например, гипербола может вообще не пересекать полуокружность. Но если отбросить эти придирки, он выполнил впечатляющую и очень систематическую работу.
Некоторые из образов в поэзии Омара являются математическими и, как представляется, содержат аллюзии на его собственные работы, в тоне возражений самому себе, который проходит через все его творчество:
Умом ощупал я все мирозданья звенья,
Постиг высокие людской души паренья,
И, несмотря на то, уверенно скажу:
Нет состояния блаженней опьяненья.
Одно особенно впечатляющее четверостишие звучит так:
Кто мы? Куклы на нитках, а кукольщик наш — небосвод.
Он в большом балагане своем представленье ведет.
Он сейчас на ковре бытия нас попрыгать заставит,
А потом в свой сундук одного за другим уберет.
Это напоминает знаменитую платоновскую аллегорию теней на стене пещеры и подходит равным образом для описания и символьных вычислений в алгебре, и человеческой натуры. Омар был талантливым летописцем и того и другого.
Глава 4
Ученый игрок
«Клянусь святым Евангелием Господа нашего и как истинный человек чести не только никогда не публиковать ваши открытия, если вы мне доверите их, но да будет моя вера истинного христианина вам порукой, что я зашифрую их так, чтобы после моей смерти никто не смог их понять». Этот торжественный обет был, как говорят, дан в 1539 году.
Италия эпохи Возрождения была колыбелью нового, и математика не составляла исключения. В иконоборческом духе того времени математики Ренессанса задались целью преодолеть ограничения древней математики. Один из них разрешил загадку кубического уравнения и теперь обвинял другого в воровстве своего секрета.
Гневающегося математика звали Никколо Фонтана по прозвищу Тарталья — Заика. В воровстве интеллектуальной собственности обвинялся математик, врач, неисправимый плут и закоренелый азартный игрок по имени Джироламо Кардано, также известный как Жером Кардан. Около 1520 года Джироламо, как истинный блудный сын, успешно растратил наследство, оставленное ему отцом. Разорившись, он обратился к азартным играм как к источнику дохода, найдя эффективное примененное своих математических способностей для оценки шансов на выигрыш. Он водился с сомнительной компанией; как-то раз, заподозрив другого игрока в нечестной игре, он полоснул его ножом по лицу.
То были суровые времена, и Джироламо был суровым человеком. А кроме того — на редкость оригинальным мыслителем и автором одного из наиболее знаменитых и влиятельных текстов по алгебре во всей истории.
О Джироламо нам известно много, потому что в 1575 году он сам рассказал нам о себе в «Книге моей жизни». Начинается она так:
Эту Книгу Моей Жизни я намереваюсь написать, следуя примеру Антонина Философа[12], прославленного как мудрейший и достойнейший из людей, хорошо понимая, что ни одно деяние смертных не совершенно, а еще менее того — свободно от злословия; однако сознавая при этом и то, что из всего, что человеку дано достичь, ничто другое не доставляет больше радости и не ценится сильнее, чем познание истины.
Ни единого слова, спешу заверить, не было добавлено в угоду тщеславию, и ни единого для пустого приукрашивания; вместо того, насколько возможно, здесь собрано только пережитое, события, о которых мои ученики… были осведомлены или в коих они принимали участие. Эти краткие эпизоды моей истории в свою очередь записаны были мною в повествовательной форме, дабы стать частью этой книги.
Как и многие математики того времени, Джироламо занимался астрологией, так что он отмечает астрологические обстоятельства, сопутствовавшие его рождению:
Хотя, как я слышал, напрасно пытались применить различные абортивные средства, я нормально родился в 24-й день сентября года 1500, когда первый час ночи истек уже более чем наполовину, но менее чем на две трети… Марс угрожал обоим главным светилам из-за неблагоприятного их расположения и потому, что он был в четвертном аспекте с Луною…
Я легко мог родиться уродом, если бы не тот факт, что положение предыдущего соединения приходилось на 29° в Деве, где господствует Меркурий. И так как его положение не совпадало ни с местом Луны, ни с местом асцендента и он не находился в аспекте с предпоследним делением Девы, я непременно должен был бы родиться уродом, и даже легко могло случиться, что я выйду из утробы разорванным, чего едва и не произошло.
Так был я рожден, или, скорее, исторгнут мощными силами из чрева матери; я был почти мертв. Волосы мои были темны и завиты. Меня вернули к жизни ванной из теплого вина, которая могла бы оказаться гибельной для любого другого ребенка. Моя мать провела в тяготах три полных дня, и однако же я выжил[13].
Одна глава в «Книге моей жизни» перечисляет написанные Джироламо книги, и первой в списке идет «Великое искусство»[14] — один из трех упоминаемых им «трактатов по математике». Он также писал об астрономии, физике, вопросах морали, драгоценных камнях, воде, медицине, предсказаниях и теологии.
Однако для нашего рассказа важно только «Великое искусство». Подзаголовок этой книги — «Правила алгебры» — объясняет почему. В этой книге Джироламо не только собрал методы решения квадратных уравнений, известные вавилонянам, но и открыл новые решения кубических уравнений и уравнений четвертой степени. В отличие от решений Хайяма, которые опирались на геометрию конических сечений, решения в «Великом искусстве» были чисто алгебраическими.
Я уже упоминал о двух типах математических обозначений, которые оба видны в таких выражениях, как x3 для куба неизвестного. Обозначение первого типа состоит в использовании букв (в нашем случае — x) для чисел — или неизвестных, или известных, но произвольных. Обозначение второго типа — это использование приподнятых над строкой чисел для указания степени, так что верхняя 3 в данном случае обозначает куб числа x, то есть x×x×x. Теперь мы подошли к обозначениям третьего типа — последним из тех, что нам понадобятся.
Обозначение третьего типа очень милое и выглядит так: √. Этот символ означает квадратный корень. Например, √9 — квадратный корень из девяти — обозначает число, которое, будучи умножено на само себя, дает 9. Поскольку 3×3 = 9, мы видим, что √9 = 3. Однако не всегда все обстоит так просто. Наиболее печально известный квадратный корень, который, согласно не слишком правдоподобной легенде, оказался причиной того, что математика, привлекшего к нему внимание, — Гиппаса из Метапонта — выбросили с корабля за борт, — это квадратный корень из двух: √2. Его точное выражение в виде десятичной дроби требует неограниченного продолжения. Начинается оно так:
1,4142135623730950488…,
но не может на этом прекратиться, поскольку квадрат приведенного числа на самом деле равен
