Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании
> sys1:=massa[1]-diff(x(t), t$2) =
-A[1]*diff(x(t),t),massa[1]*diff(y(t), t$2) = -A[1]*(diff(y(t),t))-massa[1]*g;
> sys2:=massa[1]*diff(x(t), t$2) =
-A[2]*diff(x(t),t),massa[1]*diff(y(t), t$2) =
-A[2]*(diff(y(t),t))-massa[1]*g;
> sys3:=massa[2]*diff(x(t), t$2)=
-A[1]*diff(x(t),t),massa[2]*diff(y(t), t$2)=
-A[1]*(diff(y(t),t))-massa[2]*g;
> sys4:=massa[2]*diff(x(t), t$2) =
-A[2]*diff(x(t),t),massa[2]*diff(y(t), t$2) =
-A[2]*(diff(y(t),t))-massa[2]*g;
Зададим исходные числовые безразмерные данные для расчета:
> Vo:=20;massa:=[0.5,0.1];А:=[0.1,0];alpha:=Pi/4;g:=9.8;
Vo := 20 massa := [.5, .1] А := [.1, 0] 1 α := ¼ π 4 g := 9.8Выполним решение заданных систем ДУ:
> pi:=dsolve({sys1,х(0)=0,D(х)(0)=Vox,y(0)=0,D(у)(0)=Voy}, {y(t),x(t)},type=numeric ,output=listprocedure):
> p2:=dsolve({sys2,x(0)=0,D(x)(0)=Vox,y(0)=C,D(y){0)=Voy}, {y(t),x(t)},type=numeric, output=listprocedure):
> p3:=dsolve({sys3,x(0)=0,D(x)(0)=Vox,y(0)=0,D(y)(0)=Voy}, {y(t),x(t)},type=numeric, output=listprocedure):
> p4:=dsolve({sys4,x(0)=0,D(x)(0)=Vox,y(0)=0,D(y)(0)=Voy}, {y(t),x(t)},type=numeric, output=listprocedure):
Создадим графические объекты - результаты решения систем ДУ:
> a1:=odeplot(p1, [x(t), y(t)], 0..3, color=green, view=[0..50,0..15], thickness=2):
> a2:=odeplot(p2, [x(t), y(t)], 0..3, color=red, view=[0..50, 0..15], thickness=2):
> a3:=odeplot(p3, [x(t), y(t)], 0..3, color=blue, view=[0..50, 0..15], thickness=2:
> a4:=odeplot(p4, [x(t), y(t)], 0..3, color=black, view=[0..50, 0..15], thickness=2):
Построим графики траекторий для первого случая:
> t:=textplot([[25,8, `А=0.1`], [35,9, `А=0`]],color=blue, font=[TIMES, ROMAN, 12])
> t1:=textplot([[17, 3, `A=0.1`], [35,9, `A=0`]], color=blue, font=[TIMES, ROMAN, 12]):
> display({a1,a2,t},title=`Траектория полета тела массой 500 г`, labels=[x,y], labelfont=[TIMES,ROMAN,14]);
Графики траекторий полета камня с массой 500 грамм представлены на рис. 11.22.
Рис. 11.22. Баллистические траектории камня с массой 500 грамм
Теперь построим графики траекторий для второго случая:
> display({a3,а4,t1},title=`Траектория полета тела массой 100 г`,
labels=[х,у], labelfont=[TIMES,ROMAN,14]);
Они представлены на рис. 11.23.
Рис. 11.23. Баллистические траектории камня при массе 100 грамм
Из проведенных расчетов и графиков видно, что при учете силы сопротивления воздуха дальность и высота полета сильно уменьшаются по сравнению с полетом в вакууме, и эта разница зависит от массы тела, поэтому при небольшой массе тела сопротивлением воздуха пренебрегать нельзя.
11.2.2. Движение частицы в магнитном поле
От реального мира перейдем к микромиру. Пусть микрочастица массой 9∙10-31 кг и зарядом +1,6∙10-19 Кл влетает в магнитное поле с индукцией В=0,1 Тл под углом а=80. Рассчитаем траекторию движения частицы при начальной скорости Vо=1∙107 м/с (файл traekt). Начнем с рестарта:
> restart;
Сила Лоренца, действующая на движущуюся частицу F=q(E+[v, В]). Проекции векторного произведения [v, В] на оси х, у, z:
[v, B]x = vy*Bz-vz*By [v, B]y = vz*Bx-vx*Bz [v, B]z = vx*By-vy*Bz
В соответствии с этим известные из курса физики дифференциальные уравнения, описывающие траекторию полета частицы по осям х, у, z имеют вид:
> sys:=diff(х(t),t$2)=q*(Ex+(diff(у(t), t)*Bz-
diff(z(t),t)*By))/massa,diff(y(t),t$2)=q*(Ey+(diff(z(t),t)*Bx -
diff(x(t),t)*Bz))/massa,diff(z(t),t$2)=q*(Ez+(diff(x(t),t)*
By-diff(y(t),t)*Bx))/massa;
Зададим исходные числовые данные (опустив размерности):
> q:=-1.6у-19:massa:=9.1е-31:V:=1е7:alpha:=80*Рi/180:
> Vx:=V*cos(alpha):Vy:=V*sin(alpha): Ex:=0:Ey:=0:Ez:=0: Bx:=0.1:By:=0:
Bz:=0:
Построим траекторию движения частиц в пространстве:
> with(DEtools):DEplot3d({sys},{x(t), y(t) ,z(t)},
t=0..2e-9, [[x(0)=0, D(x)(0)=Vx, у(0)=1, D(y)(0)=Vy, z(0)=0, D(z)(0)=0]],
stepsize=1e-11,orientation=[24,117]);
Полученная траектория представлена на рис. 11.24. Она имеет вид спирали в пространстве. При этом скорость движения частицы вдоль оси x неизменна, а вдоль осей у и z имеет характерную колебательную компоненту. Случай явно куда менее тривиальный, чем полет камня, описанный выше.
Рис. 11.24. Траектория движения частицы в магнитном поле
Мы можем найти аналитическое представление для траектории частицы в виде параметрически заданной (с параметром времени t) системы из трех уравнений:
>xyz:=dsolve({sys,х(0)=0,D(х)(0)=Vx,у(0)=0,D(у)(0)=Vy,z(0)=0, D(z)(0)=0}, (x(t), у(t), z(t)}, method=ldplace);
Моделирование движения заряженной частицы в пространстве с магнитным полем показывает, что для принятых для моделирования параметров решаемой задачи, движение частицы происходит по спиралеобразной траектории. Получен как график траектории движения частицы, так и аналитические уравнения, описывающие это движение.
11.2.3. Разделение изотопов
Рассмотрим еще одну классическую задачу ядерной физики — разделение изотопов (атомов с одинаковым зарядом ядра, но разной массой). Документ с решением этой задачи представлен в файле izotop. Он реализует масс-спектроскопический метод.
Итак, пусть из точки А вылетают однозарядные ионы (q=e=1,6∙10-19 Кл) разной массы (от 20 до 23 а.е.м.) и под разными углами в пределах от 80 до 100° к оси х в плоскости ху (рис. 11.25). Вдоль оси z приложено магнитное поле В=10-2 Тл. Рассчитать траектории полета частиц. Будем надеяться, что это подскажет способ разделения изотопов.
Рис. 11.25. Иллюстрация к методу разделения изотопов
Приступим к решению данной задачи. Сила Лоренца, действующая на движущуюся частицу F=q(E+[v, B]). Проекции векторного произведения [v, В] на оси х, у, z заданы выражениями:
[v, В]х = vy*Bz-vz*By [v, В]у = vz*Bx-vx*Bz [v, B]z = vx*By-vy*Bz
В соответствии с этим дифференциальные уравнения, описывающие траекторию полета частицы по осям х, у, z имеют вид:
> restart;
> sys:=diff(х(t),t$2)=q*(Ex+(diff(y(t), t) * Bz-
diff(z(t), t)*By))/massa,diff(y(t),t$2)=q*(Ey+(diff(z(t),t)* Bx-
diff(x(t),t)*Bz))/massa,diff(z(t),t$2)=q*(Ez+(diff(x(t),t) * By-
diff(y(t),t)*Bx))/massa;
Зададим исходные числовые данные для расчета:
> q:=1.6e-19:V:=1e4:
> Vx:=V*cos(alpha): Vy:=V*sin(alpha): Ex:=0: Ey:=0: Ez:=0:
Bx:=0: By:=0: Bz:=1e-2:
Выполним решение составленной выше системы дифференциальных уравнений:
> xyz:=dsolve{(sys,х(0)=0,D(х)(0)=Vx,у(0)=0,D(у)(0)=Vy,
z(0)=0, D(z)(0)=0},{х(t), у(t), z(t)}, method=laplace):
> XX:=(massa,alpha)->.6250000000e25*massa*(sin(alpha)-
1.* sin(alpha)*cos(.1600000000e-
20 * t/massa)+cos(alpha)*sin(.1600000000e-20*t/massa));
> YY:=(massa,alpha)->.6250000000e25*massa*(-
1.*cos(alpha)+cos(alpha)*cos(.1600000000e-20*t/massa) + sin(alpha) * sin(.1600000000e-20*t/massa));
Построим графики решения:
> aem:=1.67e-27: ur:=3.14/180:
> plot([[XX(20*aem,80*ur), YY(20*aem,80*ur),
t=0..10e-5], [ХХ(20*aem,90*ur), YY(20*aem,90*ur),
t=0..10e-5], XX(28*aem, 80*ur), YY(28*aem, 80*ur),
t=0..10e-5], [XX(28*aem,90*ur),YY(28*aem,90*ur),
t=0..10e-5], [XX(24*aem,80*ur), YY(24*aem,80*ur),
t=0..10e-5], [XX(24*aem,90*ur), YY(24*aem,90*ur),
t=0..10e-5]], view=[0..0.65,0..0.65],
color=[red,red,blue,blue,black,black],labels=[x,y]);
Эти графики показаны на рис. 11.26.
Рис. 11.26. Траектории движения частиц
Полученные графики (рис. 11.26) наглядно показывают на одну из возможностей разделения изотопов. Как говорится, осталось подставить «стаканчик» в нужное место для ловли нужных изотопов. Разумеется, это только изложение идеи одного из методов разделения изотопов. Увы, на практике приходится использовать сложнейшие и дорогие физические установки для решения этой актуальной задачи.
11.2.4. Моделирование рассеивания альфа-частиц
Одним из фундаментальных доказательств существования ядра у атомов стал опыт с бомбардировкой тонкой фольги из металла альфа-частицами с высокой энергией. Если бы «массивных» ядер не существовало, то альфа-частицы должны были бы спокойно пролетать тонкую фольгу, практически не отклоняясь. Однако, как физики и ожидали, некоторая часть частиц испытывала сильное отклонение и даже поворачивала назад. Очевидно, что имели место отскоки (упругие столкновения) с малыми, но массивными ядрами металла фольги.
В нашем распоряжении, увы (а может быть и к счастью), нет ускорителя альфа-частиц. Так что мы, не опасаясь облучения и очередной Чернобыльской катастрофы, сможем смоделировать это интереснейшее физическое явление с помощью математической системы Maple. Причем спокойно сидя перед своим домашним компьютером и глубокомысленно наблюдая за траекториями полета альфа-частиц (см. файл rasseiv).
Итак, пусть в нашем теоретическом опыте альфа-частицы с энергией 4 МэВ рассеиваются тонкой золотой фольгой. Рассчитать траекторию частицы, приближающейся к ядру атома Au. Прицельное расстояние р равно 2∙10-15 м.
