Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Ответ. 25 комплектов по 40 деталей и 4 комплекта по 25 деталей.
Глава 19
Последовательности и прогрессии
19.1. Сравним n−й и (n + 1)−й члены последовательности (здесь V — знак сравнения):
или после упрощений:
Так как
(n + 1/n)n = (1 + 1/n)n = 1 + n · 1/n + ...,
где многоточиями обозначены некоторые положительные члены, то
(n + 1/n)n > 2 при n > 1.
Следовательно, последовательность убывающая, начиная со второго члена.
19.2. Так как аp, аq, аr и аs — члены арифметической прогрессии, то
aq − aр = d(q − p), ar − aq = d(r − q), as − ar = d(s − r).
Кроме того, aрar = aq², aqas = ar², apas = aqar, что отражает условие, в силу которого aр, aq, ar и as образуют геометрическую прогрессию. Из первой группы формул имеем
Составим произведение (p − q)(r − s) и воспользуемся второй группой формул:
что и доказывает сформулированное в условии утверждение.
19.3. По условию
a = a1 + d(m − 1) = u1qm − 1, b = a1 + d(n − 1) = u1qn − 1, c = a1 + d(p − 1) = u1qp − 1.
Составим разности:
b − с = d(n − p), с − а = d(p − m), а − b = d(m − n).
Подставим в левую часть равенства, которое нужно доказать:
После несложных преобразований получим в обоих показателях нули, что и доказывает равенство произведения единице.
19.4. Перейдем в левой части равенства к общему основанию x и сделаем некоторые упрощения:
В последнем равенстве мы воспользовались тем, что b/a = c/b = q — знаменателю прогрессии, а также тем, что
19.5. Имеем
Ответ.
19.6. Преобразуем выражение, стоящее под знаком квадратного корня:
После извлечения квадратного корня получим
19.7. Из условия следует, что
а следовательно, (а1 − a3)² = 0, а1 = а3. Поскольку , то а2 = а1. Таким образом, а1 = а2 = а3. Решим теперь систему уравнений
Первое уравнение можно последовательно преобразовать:
Подставив найденное значение x во второе уравнение системы, получим
Теперь можно найти x:
x = −2 log2 y = ½ log2 5.
Ответ.
19.8. Пусть q — знаменатель прогрессии. Тогда по теореме Виета
x1(1 + q) = 3, x1q²(1 + q) = 12, x1²q = A, x1²q5 = B.
Из первых двух уравнений (подстановкой первого во второе) находим q² = 4.
Так как последовательность по условию является возрастающей, то q = 2, откуда x1 = 1, что не противоречит тому, что прогрессия возрастающая.
Из двух вторых уравнений определяем А и В.
Ответ. А = 2, В = 32.
19.9. Пусть x2 = x1q, x3 = x1q². Тогда по теореме Виета, примененной к данному уравнению, имеем
x1 + x1q + x1q² = 7, x1²q + x1²q² + x1²q³ = 14.
Из первого уравнения получим x1(1 + q + q²) = 7. Это позволяет следующим образом преобразовать левую часть второго уравнения:
x1²q(1 + q + q²) = 7x1q,
откуда x1 = 2/q. Подставим выражение для x1 в первое уравнение, получим
2(1 + q + q²)/q = 7, т. е. 2q² − 5q + 2 = 0,
откуда
q1 = ½, q2 = 2.
Теперь для каждого из этих двух значений q можно найти x1. При q = 1 получим, что x1 = 4, т. е. прогрессия убывающая. Во втором случае при q = 2 имеем x1 = 1, и прогрессия — возрастающая.
Ответ. 1, 2, 4.
19.10. Из условия следует, что
Произведение n первых членов прогрессии равно
Ответ. √2.
19.11. Пусть а — цифра сотен, d — разность прогрессии. Искомое число делится на пять, если его последняя цифра либо 0, либо 5, т. е. либо а + 2d = 0, либо а + 2d = 5. Чтобы число делилось на девять, сумма его цифр должна делиться на девять. Но поскольку сумма трех цифр может изменяться от нуля до двадцати семи, имеются три возможности:
а + (а + d) + (а + 2d) = 9; 18; 27.
Последнюю возможность отбрасываем, так как число 999 не делится на пять.
Пусть а + 2d = 0. Если а + d = 3, то d = −3, а = 6. Получим число 630. Если а + d = 6, то d = −6, а = 12, что невозможно.
Пусть теперь а + 2d = 5. Когда а + d = 3, получим d = 2, а = 1, что даст число 135. Когда а + d = 6, получим d = −1, а = 7, что приводит к числу 765. Поскольку все возможности исчерпаны, задача решена.
Ответ. 630; 135; 765.
19.12. Задачу можно решить, обозначив через x цифру единиц, а через q знаменатель прогрессии. Используя условия задачи, мы придем к двум уравнениям:
100xq² + 10xq + x − 594 = 100x + 10xq + xq², (x + 1) + (xq² + 1) = 2(xq + 2).
Первое уравнение можно переписать в виде
x(q² − 1) = 6,
а второе — в виде
x(q² − 2q + 1) = 2, т. е. x(q − 1)² = 2.
Деля первое уравнение на второе, получим
q + 1/q − 1 = 3, q = 2.
Следовательно, x = 2.
Задачу можно решить перебором, если воспользоваться тем, что цифры числа образуют геометрическую прогрессию, причем цифра сотен больше пяти (так как число больше 594). Можно доказать, что имеются лишь три возможности: 842, 931 и 964. Второе и третье из этих чисел нужно отбросить, так как 931 − 594 ≠ 139 и 964 − 594 ≠ 469. Остается убедиться, что для числа 842 все условия задачи выполнены.
Требование, чтобы числа x + 1, хq + 2, хq² + 1 образовывали арифметическую прогрессию при таком решении, оказывается лишним.
Ответ. 842.
19.13. Пусть в колхозе было n комбайнов, один смог бы убрать весь урожай за x ч непрерывной работы, а при работе по плану все комбайны одновременно находились в поле y ч. Так как все комбайны могут справиться с уборкой за 24 ч, а производительность одного комбайна 1/x, то
24/x n = 1, т. е. 24n = x.
Если комбайны работают по плану, то, работая вместе, они сделали п1/xy часть всей работы. Кроме этого, первый комбайн работал n − 1 ч, второй n − 2, а (n − 1)−й работал один час. Учитывая все это, получим уравнение
