Яков Перельман - Живая математика. Математические рассказы и головоломки
Рис. 39
Считать так расположенные черточки очень легко: вы сразу видите, что тут три полных десятка, один пяток и еще три черточки, т. е. всего 30 + 5 + 3 = 38.
Можно пользоваться фигурками и иного вида; часто, например, употребляют такие знаки, где каждый полный квадратик означает 10 (рис. 39).
При счете деревьев разных пород на участке леса вы должны поступить совершенно таким же образом, но на листке бумаги у вас будут уже не две графы, а четыре. Удобнее здесь иметь графы не стоячие, а лежачие. До подсчета листок имеет, следовательно, такой вид, как на рис. 40.
Рис. 40. Бланк для подсчета деревьев в лесу
Рис. 41. Заполненный бланк рис. 40
В конце же подсчета получается на листке примерно то, что показано на рис. 41.
Подвести окончательный итог здесь очень легко:
Сосен.. 53
Берез.. 46
Елей.. 79
Осин.. 37
Тем же приемом счета пользуется и медик, считая под микроскопом, сколько во взятой пробе крови оказывается красных шариков и сколько белых.
Составляя список белья для стирки, хозяйка может поступить таким же образом, сберегая труд и время.
Если вам понадобится сосчитать, например, какие растения и в каком числе растут на небольшом участке луга, вы уже будете знать, как справиться с этой задачей в возможно короткий срок. На листке бумаги вы заранее выпишете названия замеченных растений, отведя для каждого особую графу и оставив несколько свободных граф про запас для тех растений, которые вам могут еще попасться. Вы начнете подсчет с такой, например, бумажкой, какая указана на рис. 42.
Дальше поступают так же, как и при подсчете на участке леса.
Для чего, собственно, надо считать деревья в лесу? Городским жителям это представляется даже и вовсе невозможным делом. В романе Л. Н. Толстого «Анна Каренина» знаток сельского хозяйства, Левин, спрашивает своего не сведущего в этом деле родственника, собирающегося продать лес:
«- Счел ли ты деревья?
Рис. 42. Как приступить к счету растений на участке луга
- Как счесть деревья?! - с удивлением отвечает тот. - «Счесть пески, лучи планет хотя и мог бы ум высокий…»
- Ну да, а ум высокий Рябинина (купца) может. И ни один мужик не купит, не считая».
Деревья в лесу считают для того, чтобы определить, сколько в нем кубических метров древесины. Пересчитывают деревья не всего леса, а определенного участка, в четверть или половину гектара, выбранного так, чтобы густота, состав, толщина и высота его деревьев были средние в данном лесу. Для удачного выбора такой «пробной площади» нужно, конечно, иметь опытный глаз.
При подсчете недостаточно определять число деревьев каждой породы; необходимо еще знать, сколько имеется стволов каждой толщины: сколько 25-сантиметровых, сколько 30-сантиметровых, 35-сантиметровых и т. д. В счетной ведомости окажется поэтому не четыре только графы, как в нашем упрощенном примере, а гораздо больше. Вы можете представить себе теперь, какое множество раз пришлось бы обойти лес, если бы считать деревья обычным путем, а не так, как здесь объяснено.
Как видите, счет является простым и легким делом только тогда, когда считают предметы однородные. Если же надо приводить в известность число разнородных предметов, то приходится пользоваться особыми, объясненными сейчас приемами, о существовании которых многие и не подозревают.
Глава пятая ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ
42. За пять рублей - сто
Один эстрадный счетчик на своих сеансах делал публике следующее удивительно заманчивое предложение:
- Объявляю при свидетелях, что плачу 100 рублей каждому, кто даст мне 5 рублей двадцатью монетами - полтинниками, двугривенными и пятаками. Сто рублей за пять! Кто желает?
Воцарялось молчание. Публика погружалась в размышление. Карандаши бегали по листкам записных книжек, но ответного предложения все же почему-то не поступало.
- Публика, я вижу, находит 5 рублей слишком высокой платой за сторублевый билет. Извольте, я готов скинуть два рубля и назначаю пониженную цену: 3 рубля двадцатью монетами названного достоинства. Плачу 100 рублей за 3! Желающие, составляйте очередь!
Но очередь не выстраивалась. Публика явно медлила воспользоваться редким случаем, и счетчик обращался с новым предложением:
- Неужели и 3 рубля дорого? Хорошо, понижаю сумму еще на рубль: уплатите указанными двадцатью монетами всего только 2 рубля, и я немедленно вручу предъявителю сто рублей.
Так как никто не выражал готовности совершить обмены, счетчик продолжал:
- Может быть, у вас нет при себе мелких денег? Не стесняйтесь этим, я поверю в долг. Дайте мне только на бумажке реестрик, сколько монет каждого достоинства вы обязуетесь доставить.
Со своей стороны, я также готов уплатить сто рублей каждому читателю, который пришлет мне на бумаге соответствующий реестр. Корреспонденцию направлять по адресу издательства на мое имя.
43. Тысяча
Можете ли вы число 1000 выразить восьмью восьмерками? (Кроме цифр, разрешается пользоваться также знаками действий.)
44. Двадцать четыре
Очень легко число 24 выразить тремя восьмерками:
8 + 8 + 8. Не можете ли вы сделать то же, пользуясь не восьмерками, а другими тремя одинаковыми цифрами? Задача имеет не одно решение.
45. Тридцать
Число тридцать легко выразить тремя пятерками: 5 x 5 + 5. Труднее сделать это тремя другими одинаковыми цифрами. Попробуйте. Может быть, вам удастся отыскать несколько решений?
46. Недостающие цифры
В этом примере умножения больше половины цифр заменено звездочками:
Можете ли вы восстановить недостающие цифры?
47. Какие числа?
Вот еще задача такого же рода. Требуется установить, какие числа перемножаются в примере:
48. Что делили?
Восстановите недостающие цифры в примере деления:
49. Деление на 11
Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11.
Напишите наибольшее из таких чисел. Напишите наименьшее из таких чисел.
50. Странные случаи умножения
Рассмотрите такой случай умножения двух чисел:
48 х 159 = 7632.
Он замечателен тем, что в нем участвуют по одному разу все девять значащих цифр.
Можете ли вы подобрать еще несколько таких примеров? Сколько их, если они вообще существуют?
51. Числовой треугольник
В кружках этого треугольника (рис. 43) расставьте все девять значащих цифр так, чтобы сумма их на каждой стороне составляла 20.
52. Еще числовой треугольник
Все значащие цифры разместить в кружках того же треугольника (рис. 43) так, чтобы сумма их на каждой стороне равнялась 17.
Рис. 43
53. Магическая звезда
Шестиконечная числовая звезда, изображенная на рис.
44, обладает «магическим» свойством: все шесть рядов чисел имеют одну и ту же сумму
4 + 6 + 7 + 9 = 26 11+ 6+ 8 + 1=26
4 + 8 + 12 + 2 = 26 11+ 7+ 5 + 3 = 26
9 + 5 + 10 + 2 = 26 1 + 12 + 10 + 3 = 26
Но сумма чисел, расположенных на вершинах звезды, другая:
4 +11 + 9 + 3 + 2 + 1 = 30.
Не удастся ли вам усовершенствовать эту звезду, расставив числа в кружках так, чтобы не только прямые ряды давали одинаковые суммы (26), но чтобы ту же сумму (26) составляли числа на вершинах звезды?
Рис. 44
РЕШЕНИЯ ГОЛОВОЛОМОК 42-53
42. Все три задачи неразрешимы; и счетчик, и я могли безбоязненно обещать за их решения любую премию. Чтобы в этом удостовериться, обратимся к языку алгебры и рассмотрим задачи одну за другой.
Задача первая: уплата 5-ти рублей. Предположим, что уплата возможна и что для этого понадобилось х полтинников, у двугривенных и z пятаков. Имеем уравнение:
50x + 20у + 5z = 500.
Сократив на 5, получаем:
10х + 4у + z = 100.
Кроме того, так как общее число монет по условию равно 20, то х, у и z связаны еще и другим уравнением:
х + у + z = 20.
Вычтя это уравнение из первого, получаем:
9х + 3 у = 80.
Разделив на 3, приводим уравнение к виду:
Но Зх, тройное число полтинников, есть, конечно, число целое. Число двугривенных, у, также целое. Сумма же двух целых чисел не может оказаться числом дробным (262/3). Наше предположение о разрешимости этой задачи приводит, как видите, к нелепости. Значит, задача неразрешима.
