Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
Сложим эти два равенства и сейчас же получим известную формулу решения квадратного уравнения. Не так ли?
— Так, конечно, — отвечал Илюша. — Из суммы этих выражений один корень получаем, а из их разности — другой. Все понятно. Выходит, что мы этим способом получили два уравнения первой степени. Раз нам нужно два решения, то мы можем к ним прийти через два уравнения первой степени… То есть я не знаю, всегда ли так должно получаться, но во всяком случае с квадратным уравнением именно так и получается…
— Допустим… — отвечал Мнимий. — Но лучше сказать, пусть так будет вплоть до первого противоречия с этим предположением либо допущением.
— А если встретится противоречие?
— Тогда посмотрим. Попробуем его обойти, а если не удастся, придется видоизменять наше допущение. Когда Лагранж, пытаясь обнаружить общее правило из разных решений алгебраических уравнений, нашел наконец свою замечательную формулу, он заметил, что три корня в ней надо брать в некотором вполне определенном порядке, а это на-
— 451 —
толкнуло его на новые плодотворные опыты. Если взять все три корпя кубического уравнения, то есть х1, х2 и х3, то, если их брать не только в той последовательности, которая оказалась необходимой — вместе с нашими помощницами, альфами, — но и во всех остальных…
— Интересно, — заметил Радикс, — а сколько будет этих всех остальных?
И оба, Радикс и Мнимий, внимательно посмотрели на нашего героя, Илью Алексеевича.
— Остальных последовательностей корней? — неуверенно повторил мальчик. — Не понимаю вопроса… Или, может быть, о порядке вы говорите? Тогда вы меня о перестановках спрашиваете?..
Не отвечая ни слова, Радикс и Мнимий все так же пристально смотрели на Илюшу, который чувствовал себя под их взглядами не в своей тарелке.
— … и уж если это так, — в полной неуверенности продолжал он, — то раз всего три корня, то, как их ни переставляй, выйдет только шесть различных последовательностей. И все.
Опять полная тишина. Вдруг Илюша почувствовал, что в его левой руке оказалась маленькая коробочка, и действительно, это был просто самый маленький Дразнилка с тремя шашками. Только на шашках были изображены символы корней:
Илюша начал машинально двигать шашечки, но ничего нового или интересного не обнаружил. Да, действительно, всего получалось шесть перестановок! Но он это давно знал:
(x1 x2 x3); (x2 x3 x1); (x3 x1 x2);
затем опять получается то же самое. А если переставить две шашки, ну, скажем, x2 и x2, то получатся еще три случая:
(x2 x1 x3); (x1 x3 x2); (x3 x2 x1);
а потом снова то же.
— Шесть, — согласился Мнимий, — спору нет. Но вам пришлось однажды что-то менять в первом расположении. Это как надо понимать?
— 452 —
— Это как бы два круга Дразнилки; первый можно назвать четным кругом, а второй — нечетным, потому что в первом случае одна шашка постоянно обходит две шашки, как и полагается в Дразнилке, а во втором сначала обходят одну шашку, и порядок меняется. Перейти от одного круга к другому, не вынимая одной шашки из коробочки, нельзя.
При перестановках каждый раз первая шашка попадает в конец направо.
— Все верно, — подтвердил Мнимий. — Итак, два круга, причем один в другой непосредственно не переходят..
— Да, и если отразить какую-нибудь перестановку первого (четного) круга в зеркале, то выйдет перестановка второго круга (нечетного).
— Хорошо, — подхватил Мнимий, — это важное замечание. Мы можем отметить, что названные вами два круга Дразнилки-Малого зеркально симметричны.
— Похоже, что так, — неуверенно произнес Илюша.
— Мы встретились с явлением, которое называют симметрией. Вы ведь знаете, что такое преобразование? — спросил Мнимий.
— Да, конечно, — отвечал Илюша, — например, подобие. Потом еще умножение на комплексный вектор, как мы уже в прошлой схолии рассматривали, подобие и поворот… А еще у нас дома есть подставка для чайника. Она раздвижная — может быть квадратом, а потянешь за уголки, получается ромб. Папа говорит, что это преобразование…
— А по-твоему, это что? — спросил Радикс. — Из квадрата — ромб, и обратно. Чем не преобразование? Такие преобразования называются аффинными. Если бы на квадрате был нарисован круг, что бы ты из него получил при аффинном преобразовании?
— Может быть, эллипс? — неуверенно ответил Илюша.
— А почему бы и нет?
— Я — «за»! — отвечал храбрый Илья.
— Присоединяюсь, — заключил Радикс.
— Так вот, — снова начал Мнимий, — чтобы ответить на вопрос, что такое симметрия, необходимо и ее тоже рассматривать как некоторое преобразование. У нас, например, есть равнобедренный треугольник; пусть его основание не равно одной из его сторон, значит, он симметричен относительно своей высоты; при повороте на 180° вокруг высоты он совместится сам с собой. Разумеется, мы не принимаем в расчет, какой стороной он к нам повернут. Равносторонний треугольник симметричен не только относительно высоты, но относительно каждой из своих высот (они же медианы и биссектрисы). Аналогично мы рассуждаем и о телах…
— 453 —
— Бабочка симметрична!
— Ну конечно! Это уже касается тела в пространстве.
Одним словом, явление симметрии — вещь понятная. Здесь преобразование — во всех наших случаях — сводится к повороту, но самым «процессом поворота» мы но интересуемся (этим делом механика занимается), а смотрим только на то, что из этого поворота получилось. Кроме поворота, еще возможно зеркальное отображение — симметрия относительно плоскости (с настоящим зеркалом) либо относительно прямой (как для сопряженных комплексных векторов) и параллельный перенос в плоскости или вместе со всей плоскостью. Это все геометрическая симметрия. Но возможна еще и симметрия в алгебраическом смысле, симметрия многочленов. Вот как раз в этом-то случае к нам и приходит на помощь понятие перестановки, с помощью которой мы можем уяснить и записать алгебраическую симметрию. Хотя, конечно, на первый взгляд перестановки непосредственно симметрией и не обладают, но, например, мы обнаружили, что все шесть перестановок из трех элементов разделяются на две части (по три), связанные между собой зеркальной симметрией. Если мы теперь возьмем формулы Виеты, известные нам по квадратному уравнению, но которые легко написать и для кубического уравнения, начиная с того, что свободный член всегда равен произведению всех корней, то…
— Значит, — перебил мальчик, — мы получим для уравнения:
х3 + ах2 + bх + с = 0,
если начать с такой записи уравнения:
(x — x1) (х — х2) (х — х3) = 0,
такие выражения для его коэффициентов через его корни:
— c = x1x2x3
b = x1x2 + x1x3 + x2x3
— а = х1 + x2 + х3.
Знаки меняются.
— Так-с… Так вот, именно эти выражения Виеты обладают очень важным свойством: они не меняются, если переставлять в них корни. Проверьте!
— Насчет а3 и с, конечно, верно, потому что это сумма и произведение. А как быть с b? Если поменять местами икс-первый и икс-третий?.. Верно! То же самое получается.
— Поэтому математики называют эти функции корней
— 454 —
из формул Виеты симметрическими функциями. Для алгебраических уравнений любых степеней они строятся по одному и тому же правилу, которое вы уже указали. А у кубического уравнения есть еще одно общее свойство с Дразнилкой Малым. Когда мы разбирали пример Рафаэля Бомбелли, вы ведь заметили, что кубические корни, им полученные, суть сопряженные комплексные числа, то есть величины неравные, хотя и геометрически зеркально симметричные. Свойство это заключается в том, что существует такая функция корней кубического уравнения, которая при всех перестановках может принять только два значения — это и будут подкоренные величины кубических корней в Кардановой формуле.
