Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
8.7. В уравнении
x4 + аx³ + bx² + 6x + 2 = 0
один из корней равен √3 + 1. Найдите остальные корни уравнения, если а и b — рациональные числа.
8.8. При каких значениях а оба корня уравнения
x² − (а + 1)x + а + 4 = 0
отрицательны?
8.9. Найдите соотношение между а, b и с, если корни уравнения
x³ + аx² + bx + с = 0
образуют геометрическую прогрессию.
8.10. Известно, что уравнение x³ + px + q = 0 имеет корни α1, α2, α3. Выразите сумму α1² + α2² + α3² через p и q.
8.11. При каких а и α трехчлен х³ + ax + 1 делится на двучлен x − α без остатка и частное от деления при всех x больше нуля?
8.12. Остатки от деления многочлена относительно x на x − 2 и x − 3 равны соответственно 5 и 7. Найдите остаток от деления этого многочлена на (x − 2)(x − 3).
8.13. Найдите все действительные значения p и q, при которых х4 + 1 делится на x² + рх + q.
8.14. Докажите, что многочлен
x²n + 1 − (2n + 1)хn + 1 + (2n + 1)хn − 1,
где n — натуральное число, делится на (x − 1)³.
8.15. Определите p и q так, чтобы многочлен
6х4 − 7х³ + рх² + 3х + 2
делился без остатка на x² − x + q.
Глава 9
Алгебраические уравнения и системы
Равенства. Тождества. Два математических выражения, соединенных знаком =, образуют равенство.
Примеры равенств:
а² + b² = с², 3 = 3, 3 = 5,
sin² x + cos² x = 1, , sin x = 3.
Числовое равенство может быть истинным (верным) или ложным (неверным). Равенство 3 = 3 истинное, равенство 3 = 5 ложное.
Буквенное равенство при различных значениях входящих в него букв также принимает одно из двух значений: «истина» или «ложь». Например, равенство а² + b² = с² при а = 3, b = 4, с = 5 истинно, а при а = 3, b = 4, с = 6 ложно. Равенство sin² x + cos² x = 1 истинно при всех действительных значениях x, а равенство sin x = 3 всегда ложно.
Если какая-либо часть равенства (или обе части одновременно) перестает существовать, то равенство становится ложным. Равенство ложно при , где k — любое целое число, так как для четных k не существует ctg x, а для нечетных k не существует tg x. Равенство ложно при x = −1, так как его левая часть теряет смысл при этом значении x (обратите внимание, что правая часть существует всегда). Обе части равенства sin x = 3 всегда имеют смысл, однако это равенство всегда ложно.
Для любого математического выражения можно указать множество систем (наборов) значений входящих в него букв, при которых это выражение существует, т. е. принимает некоторое числовое значение. Такое множество мы будем называть областью определения (областью существования) рассматриваемого математического выражения.
Для выражения областью определения является числовая ось с «выколотой» точкой x = −1.
Для выражения logу √x найти область определения уже несколько сложнее. Во-первых, из числа x извлекается квадратный корень. Эта операция возможна, если x ≥ 0. Чтобы затем можно было найти логарифм от √x, необходимо √x > 0. Оба условия выполняются при x > 0. В основании логарифма может стоять лишь положительное число, отличное от единицы. Таким образом, получаем область определения: x > 0, у > 0, у ≠ 1.
Два математических выражения называются тождественными, если
1) их области определения совпадают;
2) они принимают одинаковые числовые значения при подстановке в каждое выражение одного и того же набора значений входящих в него букв, произвольно выбранного из области определения.
Равенство, в котором правая и левая части являются тождественными выражениями, называется тождеством.
Для обозначения тождественного равенства иногда используется символ ≡.
Примеры тождеств: (а − b)² = а² − 2аb + b², sin² x + cos² x = 1,
Первые два тождества общеизвестны. Последнее равенство тоже является тождеством. В самом деле, область определения левой части не содержит ни одной точки, область определения правой части тоже не содержит ни одной точки. Поскольку области определения правой и левой частей — пустые множества, то требования 1) и 2) в определении тождества удовлетворяются. Равенство , как мы видели, истинно при всех x, кроме x = −1. Оно не является тождеством, так как требование 1) не удовлетворено. Однако нарушение происходит только в одной точке.
Введем понятие неабсолютного тождества.
Пусть в нашем распоряжении есть два математических выражения, имеющих разные области определения. Обозначим через U их общую часть. Если на множестве U значения обоих математических выражений совпадают, то говорят, что они неабсолютно тождественны, а соответствующее равенство называют неабсолютным тождеством.
Характерным примером неабсолютного тождества является соотношение
lg ху = lg x + lg у.
Область определения правой части: x > 0, у > 0, т. е. все точки плоскости, лежащие внутри I квадранта. Область определения левой части: x > 0, у > 0; x < 0, у < 0; это уже будут внутренние точки I и III квадрантов. Общая часть областей определения: x > 0, у > 0. На этой общей части приведенное соотношение превращается в истинное равенство.
Напомним определение тождества, которым обычно пользуются в средней школе.
Тождеством называется равенство, справедливое при всех значениях входящих в него букв, при которых обе его части имеют смысл.
Нетрудно заметить, что это определение объединяет понятия тождества и неабсолютного тождества в одно. Чтобы подчеркнуть, что мы пользуемся другим определением тождества, будем иногда вместо термина тождество употреблять термин абсолютное тождество.
Упражнения[2]Какие из следующих равенств являются абсолютными тождествами, а какие — неабсолютными? Приведите доказательство сделанного вами вывода.
1. sin² x + cos² x = 1,
2. tg x = sin x/cos x
3. tg x = 1/ctg x
4. sec x = 1/cos x
5. sec x cos x = 1,
6. sec x − 1/cos x = 0,
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. lg xy = lg |x| + lg |y|,
15. lg x² = 2 lg x,
16. lg x² = 2 lg |x|.
Уравнение, корни уравнения, равносильность. Когда мы говорим, что равенство
аx² + bx + с = 0 (1)
является уравнением относительно буквы x, то подразумеваем, что для фиксированных а, b и с (эти буквы являются параметрами уравнения) нужно отыскать значения x, обращающие (1) в истинное числовое равенство.
Другими словами, предполагают, что для букв а, b и с выбраны определенные, хотя и произвольные, значения, в то время как буква x, которой обозначено неизвестное, остается «свободной». Вместо нее можно подставлять различные числа, в результате чего возникнут либо истинные, либо ложные числовые равенства. Равенство (1) выполняет роль «формы» (или «схемы») уравнений, которая превращается в уравнение, как только мы остановим свой выбор на конкретных значениях параметров. Если выбор значений параметров уже сделан, то полученное уравнение можно рассматривать как «форму» числовых равенств — ложных или истинных.
