Эдуардо Арройо - Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики
Открытие к Лоренцу пришло случайно: в его распоряжении был компьютер, с помощью которого ученый мог смоделировать погоду на неделю. При данном метеорологическом состоянии в определенный момент времени компьютер вычислял давление и температуру на следующую неделю. Однажды Лоренц решил сэкономить время и начал моделирование, пользуясь лишь частью данных, полученных за предыдущий день. К его удивлению, оказалось, что при вводе одних и тех же начальных величин компьютер делает абсолютно разные прогнозы. Каким-то образом одни и те же алгоритмы, примененные почти к одним и тем же начальным условиям, давали другие результаты.
Лоренц пришел к выводу, что система настолько чувствительна к начальным условиям, что даже небольшие различия в двоичном представлении чисел заставляют сделать абсолютно разные прогнозы. Сегодня известно, что предсказать погоду более чем за две недели невозможно, какой бы мощный компьютер мы ни использовали. Это явление будет подробнее рассмотрено в главе 5.
Динамические системы
Изучение хаотических систем, как и проблема трех тел с взаимным притяжением, требует введения нового понятия — динамической системы. Введение динамических систем следует из уравнений Гамильтона, но эти системы могут использоваться в самых разных областях, от метеорологии до социологии. Динамические системы применяются в физике, но представляют собой не физическую теорию, а отрасль математики. Понять, как работают динамические системы, очень важно для возможности прогнозировать поведение газа, как будет видно в следующей главе.
Идея динамической системы появляется, если с новой точки зрения посмотреть на гамильтониан. Вспомним, что уравнения Гамильтона говорят нам, как изменяются импульсы и положения во времени, то есть при заданных начальных положении и импульсе мы можем сделать вывод о движении частицы для любого момента в будущем.
Возьмем очень маленький промежуток времени. Если мы знаем положение и импульс нашей частицы в определенный момент, то уравнения Гамильтона дадут нам положение и импульс этой частицы в последующий момент. Как только мы узнаем эти положение и импульс, мы снова можем применить уравнения Гамильтона, и так далее. То есть эти уравнения можно понимать как ряд инструкций для поиска клада: исходные положение и импульс показывают нам, где мы должны начинать искать.
На карте сказано: «Два шага вправо», — и мы двигаемся туда. В случае с частицей именно уравнения Гамильтона указывают нам, куда двигаться. Затем мы снова смотрим инструкции: «Два шага вперед», — и получаем наше новое положение, и так далее.
Это можно проиллюстрировать следующим образом.
Итак, уравнения Гамильтона — это серия инструкций для поиска следующей точки траектории при заданном начальном положении, только траектории живут не в привычном пространстве, а в фазовом, которое, как мы помним, включает в себя как положения, так и импульсы. Таким образом, уравнения Гамильтона — это просто правило для описания изменения определенной системы в каждый промежуток времени, если заданы начальные условия.
Теперь пойдем немного дальше. У нас есть два элемента: положение частицы в абстрактном пространстве из N измерений и правило для нахождения ее следующего положения. В нашем случае пространство — это пространство положений и импульсов, а правило задано уравнениями Гамильтона. Что произошло бы, если бы мы воспользовались другим правилом? И другим пространством? Мы бы получили другую систему, более общую, которая называется динамической системой.
Итак, динамическая система — это некое абстрактное пространство, также известное как фазовое пространство, и правило для получения следующего положения исходя из начального. Любая система, которую можно описать таким образом, — динамическая. Это необязательно должны быть физические системы: любой объект, развивающийся во времени, может быть описан как динамическая система. Все выводы, которые мы сможем сделать о динамических системах, будут справедливы для любой системы, которую можно выразить таким же образом. Поскольку количество проявлений, которые можно выразить как динамическую систему, огромно, мы получим мощную теорию с удивительно большим количеством видов применения. Даже человеческий мозг может быть смоделирован подобным образом: состояние каждого нейрона определяет положение в абстрактном пространстве, а правила взаимодействия между нейронами представляют изменение системы. Практически любой процесс, который подразумевает изменение во времени, может быть рассмотрен как динамическая система.
Некоторые динамические системы демонстрируют поведение, которое кажется стихийным, но это справедливо не всегда. Например, камень, брошенный ребенком, описывает параболическую траекторию, и его движение представляет собой динамическую систему, которая при этом полностью предсказуема. Даже динамические системы высокой сложности могут порождать очень простые модели. В целом хаотичное или нехаотичное поведение системы задано как законами, управляющими ею, так и начальными условиями движения.
Теория хаоса изучает динамические системы, поведение которых непредсказуемо, причем хаотичное поведение могут демонстрировать даже простые системы.
Рассмотрим функцию под названием логистическое отображение, которое описывает движение только в одном измерении, с единственной координатой х. Предположим, что мы начинаем с некоторого числа х: логистическое отображение дает нам правило для получения следующего х с помощью простых умножений и вычитаний.
Математическая формула для его нахождения следующая:
xn + 1 = r·xn·(1 — xn),
где r — некий параметр, который мы можем произвольно изменить.
Предположим, что мы берем r = 4 и начинаем с х1 = 0,5. Тогда х2 равно:
х2 = 4·0,5·(1 – 0,5) = 1.
Следуя тому же правилу, х3 равно:
х3 = 4·1·(1 – 1) = 0.
И так далее.
Оказывается, что если выбирать значения r от 3,56995 до 4, то поведение логистического отображения оказывается непредсказуемым: малейшие изменения первого значения х порождают абсолютно разные значения последующих значений х. Это хаотическое поведение можно проиллюстрировать бифуркационной диаграммой, изображенной ниже, которая показывает возможные конечные значения х для каждого значения r. На диаграмме видно, как диапазон возможных значений х становится огромным при некотором значении r, а это признак хаотического поведения.
Изучение хаотических систем стало возможным благодаря прогрессу в вычислениях в последние десятилетия. Компьютерное моделирование позволило классифицировать все траектории системы и, следовательно, сделать качественный прогноз их поведения. Возможно, если бы в конце XIX века уже существовали компьютеры, изучение газовой динамики пошло бы по пути, сильно отличающемуся от того, который привел к развитию статистической механики. Однако ограниченные вычислительные возможности заставили физиков и математиков искать другие способы прогнозирования для объектов высокой сложности.
Применение динамических систем
Изучение динамических систем — крайне актуальная область, необходимая для решения множества проблем, начиная от создания искусственного интеллекта до решения биологических задач. Идея состоит в том, чтобы смоделировать систему, развитие которой в абстрактном пространстве задано рядом правил. Затем изучаются различные возможные траектории развития и выводятся их общие характеристики.
Любой газ можно считать динамической системой. Его положение в фазовом пространстве определяется положениями и импульсами всех его частиц, а изменение его состояния определяется уравнениями Гамильтона. Теория динамических систем может быть применена для вывода некоторых общих характеристик поведения газов, к которым затем можно будет применить другие инструменты, такие как вероятность или статистика. При изучении газовой динамики нужно различать два режима газа: в состоянии равновесия или вне него. Анализировать газ в состоянии равновесия, то есть газ, состояние которого не меняется, относительно просто, и эта задача была решена Людвигом Больцманом (1844–1906) в конце XIX века без применения инструментов, связанных с динамическими системами. Его работу подробнее мы рассмотрим в главе 3. Проблема газа вне равновесия намного сложнее и до сих пор полностью не решена, хотя начиная с 70-х годов прошлого века в ее решении произошел значительный прогресс именно благодаря применению теории динамических систем. Более подробно об этом мы расскажем в главе 5.
