Майкл Шермер - Магия чисел. Ментальные вычисления в уме и другие математические фокусы
Посмотрите на схему вычислений:
Попытайтесь самостоятельно умножить 68 х 11.
После того как вы освоите этот метод, вы никогда не станете умножать числа на 11 по-другому. Решите несколько задач, а затем сверьтесь с ответами в конце книги.
Следующую задачу вначале бывает очень трудно решить.
Попытайтесь умножить 89 х 72 в уме, подглядывая в случае необходимости в решение. Если вы справились с ней за две попытки, то все в порядке.
Если вы получили правильный ответ с первого или второго раза, похлопайте себя по плечу. В действительности не найдется задач на умножение типа «2 на 2» труднее этой.
Если вы не получили ответ сразу, не волнуйтесь. В следующих двух разделах я обучу вас более простым стратегиям для решения подобных задач. Но прежде чем продолжить чтение, попрактикуйтесь в методе сложения на следующих задачах на умножение.
Метод вычитания
Метод вычитания может пригодиться, когда одно из умножаемых чисел заканчивается на 8 или 9. Следующий пример показывает, что я имею в виду.
Хотя большинство людей находят, что сложение легче вычитания, порой удобнее отнять маленькое число, чем прибавить большое. (Если бы мы решали эту задачу методом сложения, то пришлось бы складывать 850 + 153 = 1003.)
Теперь рассмотрим сложную задачу, приведенную в конце предыдущего раздела.
Разве это не намного проще? А вот задача, где одно из чисел заканчивается на 8.
В данном случае следует поступить с числом 88 так: вычитаем 90 — 2, затем умножаем 90 х 23 = 2070. Но мы умножили с лишком. Каким? Он равен 2 х 23 = 46. Так что для получения ответа 2024 надо вычесть 46 из 2070.
Хочу подчеркнуть, что важно решать такие примеры в уме, а не просто изучать, как это делается. Пропускайте через себя эти задачи, проговаривайте выполняемые действия вслух, чтобы подкрепить свои размышления.
Я использую метод вычитания не только для чисел, оканчивающихся на 8 или 9, но и для чисел, близких и больших 90, поскольку 100 — очень удобное число для умножения. Например, если кто-то попросит меня умножить 96 на 73, я незамедлительно округлю 96 до 100.
Когда действие на вычитание внутри задачи на умножение требует держать числа в уме, использование дополнений (которые мы изучили в главе 1) ускорит получение ответа.
Вы поймете, о чем я говорю, когда поработаете над задачами, приведенными ниже. Например, вычтите из 340 число 78.
Нам известно, что ответ будет в области «200 плюс». Разность между 40 и 78 составляет 38. С помощью дополнения к 38, которое равно 62, получаем ответ 262!
Теперь следующая задача.
Есть два пути вычитания внутри данной задачи. Длинный путь состоит из вычитания 200 и прибавления 48.
Короткий путь заключается в понимании того, что ответ будет равен 6600 и «сколько-то еще». Для определения этого «сколько-то» вычитаем 52–40 = 12, а затем находим дополнение для 12, которое равно 88. Следовательно, ответ — 6688.
Попробуйте решить такой пример.
Снова идем коротким путем, взяв за основу ответ 3900 и сколько-то еще. Так как 67–20 = 47, а дополнение для 47 — это 53, ответ — 3953.
Как вы, наверное, поняли, использование данного метода возможно в любой задаче на вычитание, в которой требуется держать числа в уме, а не только тогда, когда она является частью решения задачи на умножение. Все это служит еще одним доказательством того (если вам нужны доказательства), что дополнение — очень мощный инструмент в математической магии. Освойте эту технику, и довольно скоро люди начнут рассыпать вам комплименты!
Метод разложения
Метод разложения — мой любимый метод умножения двузначных чисел, поскольку в нем совсем не используются сложение и вычитание. Его следует применять, когда один из сомножителей можно разложить на множители, состоящие из одной цифры, которые при перемножении дадут исходное число. Например, число 24 можно представить в виде 8 х 3 или 6 х 4. (Возможно также разложение в виде 12 х 2, но мы отдаем предпочтение использованию однозначных чисел.)
Вот еще несколько примеров разложения чисел:
42 = 7 х 6
63 = 9 х 7
84 = 7 х 6 х 2 или 7 х 4 х 3
Чтобы посмотреть, как разложение облегчает процесс умножения, рассмотрим следующий пример.
Ранее мы решали его путем умножений 46 х 40 и 46 х 2 и последующего сложения сумм. Чтобы использовать метод разложения, представим 42 как 7 х 6 и начнем с умножения 46 х 7, что равняется 322. Затем умножим 322 х 6 и получим ответ 1932. Вы знаете, как решать задачи на умножение типа «2 на 1» и «3 на 1», так что решить этот пример для вас не составит труда.
46 х 42 = 46 х (7 х 6) = (46 х 7) х 6 = 322 х 6 = 1932.
Конечно, множители при разложении числа 42 можно поменять местами:
46 х 42 = 46 х (6 х 7) = (46 х 6) х 7 = 276 х 7 = 1932.
В данном примере легче умножить 322 х 6, чем 276 х 7. Чаще всего я предпочитаю использовать больший множитель при решении исходной задачи типа «2 на 1» и сохраняю меньший множитель для его применения в случае задачи «3 на 1». Разложение упрощает задачу на умножение типа «2 на 2» до более легкой задачи типа «3 на 1» (иногда даже до «2 на 1»).
Преимущество этого метода разложения для устных вычислений состоит в том, что вам не приходится слишком многое держать в памяти. Рассмотрим другой пример 75 х 63.
75 х 63 = 75 х (9 х 7) = (75 х 9) х 7 = 675 х 7 = 4725.
Как и прежде, вы упрощаете этот пример типа «2 на 2» путем разложения 63 на 9 х 7 и затем умножаете 75 на эти числа.
(Кстати, мы можем переставить скобки во втором шаге вычислений по ассоциативному, или сочетательному, закону умножения.)
63х75 = 63х(5х5х3) = (63х5)х5х3 = 315x5x3 = 1575x3 = 4725.
Потренируйтесь на следующем примере:
57 х 24 = 57 х 8 х 3 = 456 х 3 = 1368.
Здесь можно разложить 24 как 6 х 4 для перехода к другому простому варианту вычислений:
57 х 24 = 57 х 6 х 4 = 342 х 4 = 1368.
Сравните данный подход с методом сложения.
В рамках метода сложения необходимо решить две задачи на умножение типа «2 на 1», а затем суммировать результаты.
При использовании метода разложения вам нужно выполнить только два действия на умножение типа «2 на 1» и «3 на 1». Метод разложения обычно снисходителен к вашей памяти.
Помните ту трудную задачу на умножение из предыдущей части этой главы? Вот она:
Мы решили ее достаточно легко с помощью метода вычитания, но разложение работает еще быстрее:
89 х 72 = 89 х 9 х 8 = 801 х 8 = 6408.
Задача существенно облегчается тем, что в середине числа 801 находится 0. Следующий пример показывает, что поиск варианта разложения чисел, позволяющего воспользоваться подобной ситуацией (когда есть 0 в середине числа), часто бывает оправданным. Рассмотрим два способа вычисления 67 х 42.
67 х 42 = 67 х 7 х 6 = 469 х 6 = 2814.
67 х 42 = 67 х 6 х 7 = 402 х 7 = 2814.
Обычно 42 раскладывают как 7 х 6, следуя правилу «используй больший множитель в первую очередь». Но задачу легче решить, разложив 42 как 6 х 7, поскольку это приводит к созданию числа с 0 в середине, что облегчает умножение.
Я называю такие числа дружелюбными произведениями.
Ниже поиск дружелюбного произведения проведен в процессе умножения двумя способами.
43 х 56 = 43 х 8 х 7 = 344 х 7 = 2408.
43 х 56 = 43 х 7 х 8 = 301 х 8 = 2408.
Не показался ли вам второй вариант более легким?
Применяя метод разложения, выгодно отыскивать дружелюбные произведения везде, где только можно. Следующий список должен в этом помочь. Я жду от вас не столько его запоминания, сколько простого ознакомления с ним.
Практикуясь, вы научитесь интуитивно определять дружелюбные произведения, и этот список станет для вас хорошим подспорьем.
Числа с дружелюбными произведениями
12: 12 х 9 = 108.
13: 13 х 8 = 104.
15: 15 х 7 = 105.
17: 17 х 6 = 102.
18: 18 х 6 = 108.
21: 21 х 5 = 105.
23: 23 х 9 = 207.
25: 25 х 4 = 100, 25 х 8 = 200.
26: 26 х 4 = 104, 26 х 8 = 208.
27: 27 х 4 = 108.
29: 29 х 7 = 203.
34: 34 х 3 = 102, 34 х 6 = 204, 34 х 9 = 306.
35: 35 х 3 = 105.
36: 36 х 3 = 108.
38: 38 х 8 = 304.
41: 41 х 5 = 205.
43: 43 х 7 = 301.
