Яков Перельман - Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета
Обзор книги Яков Перельман - Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета
БЫСТРЫЙ СЧЕТ
Тридцать простых приемов устного счета
Ленинград.
От составителя
В настоящее время в продаже нет руководств, содержащих наставления к быстрому выполнению счетных операций в уме. Мы сочли поэтому полезным собрать в краткой брошюре наиболее простые и легко усваиваемые приемы быстрого устного счета, Они рассчитаны на средние способности имеют в виду не публичные выступления на эстраде, а потребности повседневной жизни. Пользующиеся книжечкой должны помнить, что успешное овладение ее указаниями предполагает не механическое, а вполне сознательное распоряжение приемами и, кроме того, более или менее продолжительную тренировку. Зато, усвоив рекомендуемые приемы, можно выполнять быстрые расчеты в уме с безошибочностью письменных вычислений.
Умножение на однозначное число
§ 1.
Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 27 X 8) выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20X8 = 160), затем единицы (7*8 =56) и оба результата складывают.
Еще примеры:
34*7=30*7+4*7=210+28=238
17*6=40*6+7*6=240+42=282
§ 2.
Полезно знать на память таблицу умножения до 19*9:
Зная эту таблицу, можно умножение например, 147*8 выполнить в уме так: 147*8-140*8+7*8= 1120 + 56= 1176
§ 3
Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например: 225*6=225*2*3=450*3=1350
Умножение на двузначное число
§ 4
Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.
Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют действие, как указано в § 1. Например:
6*28=28*6=120+48=168
§ 5.
Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:
29*12=29*10+29*2=290+58= 348
41*16=41*10+41*6 = 410+246 =656
(или 41*16=16*41 = 16*40+16*1=640+16=656
Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.
§ 6.
Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 14 = 2*7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз (ср. § 3). Например:
45*14 =90*7=630
Умножение на 4 и на 8
§ 7.
Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:
112*4 =224*2=448
335*4 = 670*2 =1340
§ 8.
Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:
217*8 = 434*4=868*2=1736
(Eще удобнее: 217*8=200*8 +17*8= 1600*13=1736.
Деление на 4 и на 8
§ 9.
Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например:
76:4 =38:2=19
236:4=118:2=59
§ 10.
Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например:
464:8=232:4=116:2=58
516:8=258:4=129:2= 64 1/2
Умножение на 5 и на 25
§ 11.
Чтобы устно умножить число на 5 умножают его на 10/2, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Например:
74*5= 740:2= 370
243*5=2430:2=1215
При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. Например:
74*5 = 74/2*10=370
§ 12.
Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на 100/4 , т. е.—если число кратно 4-х —делят на 4 и к частному приписывают два ноля. Например:
72*25=72/4*100= 1800
Если же число при делении на 4 дает остаток, то прибавляют
при остатке: к частному
1 25
2 50
3 75
Основание приема ясно из того, что
100:4=25;
200:4=50;
300:4=75
Умножение на 11/2, на 1 1/4, на 21/2, на 3/4
§ 13.
Чтобы устно умножить число на 11/2 прибавляют к множимому его половину. Например:
34*11/2 = 34 + 17=51
23*11/2=23 + 111/2 = 341/2 (или 34,5)
§ 14.
Чтобы устно умножить число на 11/4 Прибавляют к множимому его четверть. Например:
48*11/4 =48 +12=60
58*11/4 = 58+14 1/2=721/2 или 72,5
§ 15
Чтобы устно умножить число на 21/2. к удвоенному числу прибавляют половину множимого.
Например: 18*21/2.=36+9= 45;
39*21/2.= 78 + 191/2.= 971/2 (или 97,5)
Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам:
18*21/2 = 90:2 = 45
§ 16.
Чтобы устно умножить число на 3/4 (т. е. чтобы найти 3/4 этого числа), умножают число на 11/2 и делит пополам. Например:
30 * 3/4 = (30+15)/2= 221/2 (или 22,5)
Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины.
Умножение на 15, на 125, на 75
§ 17
Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 11/2, (потому что 10*11/2 =15) Например:
18*15=18*11/2*10=270
45*15=450+225=675
§ 18.
Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 11/4 (потому что 100*11/4=125). Например:
26*125 = 26*100*11/4 = 2600 + 650 = 3250
47*125 = 47*100*11/4 = 4700+4700/4= 4700+1175 = 5875
§ 19.
Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на 3/4 (потому что 100*3/4=75). Например:
18*75= 18*100*3/4 =1800* 3/4 =(1800 + 900)/2=1350
Примечание. Некоторые из приведенных примеров удобно выполняются также приемом § 6
18*15 = 90*3 = 270
26*125 = 130*25 = 3250
Умножение на 9 и на 11
§ 20.
Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое. Например:
62*9=620-62=600—42=558
73*9=730-73=700—43=657
§ 21
Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. Например:
87*11=870+87=957
Деление на 5, на 11/2,на 15
§ 22
Чтобы устно разделить число на 5, отделяют запятой в удвоенном числ-последнюю цифру. Например:
68:5=136:10=13,6
237:5 =474:10=47,4
§ 23
Чтобы устно разделить число на 11/2 делят удвоенное число на 3. Например:
36:11/2=72:3=24
53:11/2=106:3=351/3
§ 24.
Чтобы устно разделить число на 15, делят удвоенное число на 30. Например
240:15=480:30=48:3=16
462:15=924:30=3024/30=304/5=30,8 (или 924:30 =308:10=30,8)
Возвышение в квадрат
$ 25.
Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (8*9=72) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225). Еще примеры:
252; 2*3=6; 625
452; 4*5= 20; 2025
1452; 14*15 = 210; 21025
Прием этот вытекает из формулы (10х+5)2 = 100х2+100х+25=100х(х+1)+25
§ 26.
Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5:
8,52 = 72,25
14,52=210,25
0,352 = 0,1225f и т. п.
§ 27.
Так как 0,5= ½, а 0,25 = ¼, то приемом § 25 можно пользоваться также и для возвышения в квадрат чисел, оканчивающихся дробью ½:
(8½ )2 =72 ¼
(14½)2 = 210 ¼ и т п.
§ 28.
При устном возвышении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (a +-b)2 = a2 +b2+- 2ab.
Например: 412=402 +1+2*40= 1601+80= 1681
692=702+1-2*70=4901-140=4761
362 =(35+1)2=1225+1+ 2*35=1296
Прием удобен для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 и 9.
Вычисления по формуле
(а+b) (а-b) = а2 — b2
§ 29.
Пусть требуется выполнить устно умножение 52*48
Мысленно представляем эти множители в виде (50 + 2)*(50—2)
и применяем приведенную в заголовке формулу:
(50+2)*(50—2)=502-22= 2496
Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел, другой — в виде разности тех же чисел:
69*71=(70—1)*(70+1)=4899
