Сергей Валянский - Другая история науки. От Аристотеля до Ньютона
Используемая при этом система счисления — десятичная иероглифическая. Числа делятся на классы по 4 разряда в каждом. Особого знака нуля при такой системе записи, очевидно, не требуется. (Нуль действительно появился значительно позднее, только в XII веке.) Чтобы придать большую общность постановке основной задачи об измерении площадей, в первой книге введены простые дроби и арифметические действия над ними. Правила действий — обычные; особенностью является только то, что при делении дробей требуется предварительное приведение их к общему знаменателю.
Но вот что настораживает. Употребляемое в первой книге значение «пи» = 3 не соответствует китайской традиции не только Х, но и VI века. Считается, что китайские математики того времени умели и более точно вычислять значения «пи». Например, в I веке до н. э. у Лю Синя дается значение «пи» = 3,1547, во II веке н. э. у Чжан Хэна «пи» определено, как 10^1/2 (3,162). Чжан Хэн считал, что квадрат длины окружности относится к квадрату периметра описанного квадрата, как 5 к 8. В III веке при вычислении сторон вписанных многоугольников Лю Хуэй нашел, что «пи» = 3,14. Он исходил из предложения, что площадь круга аппроксимируется снизу площадями вписанных многоугольников. Для аппроксимации сверху площади этих многоугольников увеличиваются на сумму прямоугольников, описанных вокруг остаточных сегментов.
Дойдя до 192-угольника, Лю Хуэй получил, что «пи» = 3,14. Некоторые авторы утверждают, что Лю Хуэй продолжил вычисления далее до 3072-угольника и получил значение 3,14159. В V веке Цзу Чун-чжи, по свидетельству Вей Ши (643 год), дал для «пи» значение 3,1415927. Ну, и как все это согласовать с тем, что китайцы даже в Х веке не знали, как вычислять значение «пи»?
Книга вторая — «Соотношение между различными видами зерновых культур», отражает старинную практику взимания налогов зерном, измеряемым в объемных мерах, и расчетов при переработке этого зерна. Математические задачи, возникающие при этом, — это задачи на тройное правило и пропорциональное деление. Ко второй книге была позднее добавлена группа задач на определение стоимости предметов, число которых берется как целое, так и дробное.
Задачи на пропорциональное деление, деление пропорционально обратным значениям чисел, а также простое и сложное тройное правило составляют содержание и следующей, третьей книги — «Деление по ступеням». Правил суммирования арифметических прогрессий здесь еще нет, хотя, по утверждениям тех же историков науки, они известны китайцам с VI века (трактат Чжан Цзю-цзяна).
В четвертой книге вначале речь идет об определении стороны прямоугольника по данным площади и другой стороне. Затем излагаются правила извлечения квадратных и кубических корней, нахождения радиуса круга по его площади. Правила сформулированы специально для счетной доски. Подкоренное число делится на разряды соответственно по 2 или по 3 знака, затем последовательно подбирается очередное число корня и дается правило перестройки палочек на счетной доске.
В книге пятой, «Оценка работ», собраны задачи, связанные с расчетами при строительстве крепостных стен, валов, плотин, башен, ям, рвов и других сооружений. При этом вычисляются как объемы различных тел, так и потребности в рабочей силе, материале, транспортных средствах при различных условиях.
Книга шестая — «Пропорциональное распределение», начинается группой задач о справедливом (пропорциональном) распределении налогов. Математические методы здесь те же, что в книге 3, где речь шла о распределении доходов между чиновниками различных классов, — пропорциональное деление, простое и сложное тройное правило. Кроме того, в шестую книгу входит серия задач на суммирование отдельных арифметических прогрессий и задач на совместную работу лиц с разной производительностью.
«Избыток-недостаток» — так называется седьмая книга. В ней подобраны задачи, приводящиеся к линейным уравнениям и их системам, и разработан способ их решения, совпадающий с методом двух ложных положений. Задачи и в этом случае накапливались в возрастающей степени трудности. Метод тоже еще не сформулирован четко и имеет много разновидностей частного характера.
Усовершенствование складывающихся в седьмой книге правил решения систем линейных уравнений и распространение их на системы с большим числом неизвестных изложены в правиле фан-чэн, которому посвящена вся восьмая книга. Задачи этой книги приводят к системам до пяти совместных уравнений линейных с положительными корнями. Для всех систем установлен единый алгоритм вычисления корней — упомянутый фан-чэн.
Дело в том, что в процессе преобразований матрицы системы китайские ученые ввели отрицательные числа. Для их сложения и вычитания и было введено специальное правило, которое можно перевести как правило «плюс-минус». Так как все вычисления, в том числе и преобразования матрицы, производились на счетной доске, то для обозначения отрицательных чисел применялись счетные палочки другого цвета или формы, а в случае записи применялись иероглифы разных цветов.
Расширение понятия числа в связи с нуждами обобщения созданного алгоритма является характерной особенностью развития математики. Те же стремления обеспечить общность решения в радикалах уравнений 2–4 степени привели в Италии к введению в XVI веке мнимых чисел. Что же касается приоритета китайских математиков относительно правила фан-чэн, то он был бы бесспорен, если бы мы не знали, что отрицательные числа в явном виде появились в Европе в конце XV века в сочинениях Н. Шюке, и что очень много европейских новинок было привезено в Китай иезуитами в XVI веке.
Практическую основу последней книги «Математики в девяти книгах» составляют задачи определения недоступных расстояний и высот с помощью теоремы Пифагора и свойств подобных треугольников. Математически эта книга особенно интересна общей, алгебраической формулировкой правил. Помимо элементарных способов применения теоремы Пифагора, в ней имеется способ нахождения пифагорейских троек, то есть целочисленных решений уравнения x^2+y^2=z^2. Некоторые задачи приводят к полным квадратным уравнениям, а правила их решения эквивалентны общеупотребительным и ныне формулам.
Например, задача № 11 о размерах двери, относительно которой известны диагональ и разность между длиной и шириной, сводится к двум уравнениям. Выводов и доказательств, как уже было упомянуто, в рассматриваемом трактате нет.
Мы остановились так подробно на обзоре содержания «Математики в девяти книгах» потому, что это сочинение является самым значительным и даже, пожалуй, единственным крупным памятником древней китайской математики. И зная любовь китайцев к своим приоритетам, и стремление всё свое объявлять древним, полагаем, что он был создан позже прихода европейцев в Китай.
Сами же историки объявляют, что с XIV века в Китае начинается длительный период застоя в развитии наук. Добытые ранее знания не развиваются и даже забываются. Математика существует преимущественно за счет усвоения иностранных знаний. И лишь потом науками вновь занялись, и сразу вспомнили свои древние открытия. Как же это произошло?
В 1583 году в Китай пришел иезуит-миссионер М. Риччи, а затем сюда потянулись и другие. Видимо, не без их содействия в 1606 году в Китае впервые появились издания «Начал» Евклида, в 1650 году — таблицы логарифмов Влакка. Оригинальное же развитие китайской науки все еще было «прекратившимся». Спрашивается, а было ли оно раньше? Математики-специалисты китайского происхождения всегда готовились к научной деятельности за границей, да в большинстве случаев оттуда в Китай и не возвращались.
О математике Индии
В средневековой математике Индии преобладали вычислительно-алгоритмические методы и отсутствовали попытки построения дедуктивных систем. Геометрия индийцев — также практическая. И это не удивительно, так как в основном всё сюда приносилось из других мест, в том числе и наука — сначала вместе с религиозными эмигрантами из Византии, а потом с деятелями мусульманской экспансии. Соединение здесь различных потоков знания дало свои результаты, и весьма неплохие результаты.
Индийские математики ввели понятие нуля и широко использовали отрицательные числа, проводили исследования по комбинаторике (Ариабхатта, якобы V век). Они создали десятичную систему записи натуральных чисел и разработали правила операций над записанными так числами. Эту запись чисел стали применять математики многих восточных стран, откуда она попала в Европу. Индусы начали оперировать с иррациональными количествами так же, как с рациональными, без геометрического их представления, в отличие от византийских греков. У них были специальные обозначения для алгебраических действий, включая извлечение корня. Именно благодаря тому, что индусские и среднеазиатские ученые не смутились различием иррациональных и рациональных количеств, они смогли преодолеть «засилие» геометрии, и открыли путь развитию алгебры.
