Дмитрий Калюжный - Другая история науки. От Аристотеля до Ньютона
Книга шестая, «Пропорциональное распределение», начинается группой задач о справедливом (пропорциональном) распределении налогов. Математические методы здесь те же, что в книге третьей, где речь шла о распределении доходов между чиновниками различных классов, – пропорциональное деление, простое и сложное тройное правило. Кроме того, в шестую книгу входит серия задач на суммирование отдельных арифметических прогрессий и задач на совместную работу лиц с разной производительностью.
«Избыток-недостаток» – так называется седьмая книга. В ней подобраны задачи, приводящиеся к линейным уравнениям и их системам, и разработан способ их решения, совпадающий с методом двух ложных положений. Задачи и в этом случае накапливались в возрастающей степени трудности. Метод тоже еще не сформулирован четко и имеет много разновидностей частного характера.
Усовершенствование складывающихся в седьмой книге правил решения систем линейных уравнений и распространение их на системы с большим числом неизвестных изложены в правиле фан-чэн, которому посвящена вся восьмая книга. Задачи этой книги приводят к системам до пяти совместных уравнений линейных с положительными корнями. Для всех систем установлен единый алгоритм вычисления корней – упомянутый фан-чэн.
Дело в том, что в процессе преобразований матрицы системы китайские ученые ввели отрицательные числа. Для их сложения и вычитания и было введено специальное правило, которое можно перевести как правило «плюс-минус». Так как все вычисления, в том числе и преобразования матрицы, производились на счетной доске, то для обозначения отрицательных чисел применялись счетные палочки другого цвета или формы, а в случае записи применялись иероглифы разных цветов.
Расширение понятия числа в связи с нуждами обобщения созданного алгоритма является характерной особенностью развития математики. Те же стремления обеспечить общность решения в радикалах уравнений 2–4 степени привели в Италии к введению в XVI веке мнимых чисел. Что же касается приоритета китайских математиков относительно правила фан-чэн, то он был бы бесспорен, если бы мы не знали, что отрицательные числа в явном виде появились в Европе в конце XV века в сочинениях Н. Шюке и что очень много европейских новинок было привезено в Китай иезуитами в XVI веке.
Практическую основу последней книги «Математики в девяти книгах» составляют задачи определения недоступных расстояний и высот с помощью теоремы Пифагора и свойств подобных треугольников. Математически эта книга особенно интересна общей, алгебраической формулировкой правил. Помимо элементарных способов применения теоремы Пифагора, в ней имеется способ нахождения пифагорейских троек, то есть целочисленных решений уравнения x 2+y 2=z 2. Некоторые задачи приводят к полным квадратным уравнениям, а правила их решения эквивалентны общеупотребительным и ныне формулам.
Например, задача № 11 о размерах двери, относительно которой известны диагональ и разность между длиной и шириной, сводится к двум уравнениям. Выводов и доказательств, как уже было упомянуто, в рассматриваемом трактате нет.
Мы остановились так подробно на обзоре содержания «Математики в девяти книгах» потому, что это сочинение является самым значительным и даже, пожалуй, единственным крупным памятником древней китайской математики. И зная любовь китайцев к своим приоритетам и стремление все свое объявлять древним, полагаем, что он был создан позже прихода европейцев в Китай.
Сами же историки говорят, что с XIV века в Китае начинается длительный период застоя в развитии наук. Добытые ранее знания не развиваются и даже забываются. Математика существует преимущественно за счет усвоения иностранных знаний. И лишь потом науками вновь занялись, и сразу вспомнили свои древние открытия. Как же это произошло?
В 1583 году в Китай пришел иезуит-миссионер М. Риччи, а затем сюда потянулись и другие. Видимо, не без их содействия в 1606 году в Китае впервые появились издания «Начал» Евклида, в 1650 году – таблицы логарифмов Влакка. Оригинальное же развитие китайской науки все еще было «прекратившимся». Спрашивается, а было ли оно раньше? Математики-специалисты китайского происхождения всегда готовились к научной деятельности за границей, да в большинстве случаев оттуда в Китай и не возвращались.
О математике Индии
В средневековой математике Индии преобладали вычислительно-алгоритмические методы и отсутствовали попытки построения дедуктивных систем. Геометрия индийцев – также практическая. И это неудивительно, так как в основном все сюда приносилось из других мест, в том числе и наука – сначала вместе с религиозными эмигрантами из Византии, а потом с деятелями мусульманской экспансии. Соединение здесь различных потоков знания дало свои результаты, и весьма неплохие.
Индийские математики ввели понятие нуля и широко использовали отрицательные числа, проводили исследования по комбинаторике (Ариабхатта, якобы V век). Они создали десятичную систему записи натуральных чисел и разработали правила операций над записанными так числами. Эту запись чисел стали применять математики многих восточных стран, откуда она попала в Европу. Индусы начали оперировать с иррациональными количествами так же, как с рациональными, без геометрического их представления, в отличие от византийских греков. У них были специальные обозначения для алгебраических действий, включая извлечение корня. Именно благодаря тому, что индусские и среднеазиатские ученые не смутились различием иррациональных и рациональных количеств, они смогли преодолеть «засилье» геометрии и открыли путь развитию алгебры.
Но и в Индии есть мифический период в развитии математики. Согласно традиции, самыми ранними памятниками математической культуры индийцев являются религиозные книги: сутры и веды. Их происхождение относят к VIII–VII векам до н. э. В них приводились геометрические построения, составляющие важную часть ритуальных условий при постройке культовых сооружений: храмов, алтарей и прочего, а потому в них можно найти первые способы квадрирования кругов и применение теоремы Пифагора. Видимо, как следствие архитектурных требований решалась и арифметическая задача о нахождении пифагоровых троек натуральных чисел.
Числовая система с древних времен определилась как десятичная. Столь же рано сложилась склонность к оперированию большими числами, нашедшая отражение в легендах. Будда, например, отличался феноменальным умением считать; он строил числовые десятичные системы до 1054, давая наименования каждому разряду. Женихи прекрасной богини Земли, добиваясь ее руки, обязаны были соревноваться в письме, арифметике, борьбе и стрельбе из лука. Победитель соревнования Сарватасидда придумал, в частности, шкалу чисел, идущих в геометрической прогрессии со знаменателем 100, до числа с 421 нулем. Пристрастие к операциям с большими числами сохранялось в течение всей истории математики в Индии. Но мы не знаем, к какому реально периоду времени эти труды относятся.
Появление позиционного принципа в индийской математике относят к V веку.[23] Отныне числовое значение каждой цифры определялось ее местом влево от конца цифрового ряда. Передвижение цифры на одно место увеличивало ее числовое значение в 10 раз. В соответствии с десятичным принципом индийцы разработали знаки для 9 цифр и десятый знак, нуль. Знак нуля (шунья – пустой) сначала обозначался точкой, потом кружком. И кстати, по некоторым другим сведениям, первые записи с нулем датируются 876 годом.
Арабы (раньше всего в Багдадском халифате) узнали о математических открытиях индийцев в VIII веке благодаря торговым и дипломатическим сношениям. Подхваченная арабами цифровая система пришла в Западную Европу под названием арабской к XII веку, по-видимому, через арабские владения в Испании. Слово сифр, впоследствии принятое в европейских странах для обозначения цифр вообще, исходно значило по-арабски нуль. В английском языке до сих пор слово cipher означает нуль, цифру, шифр.
Наиболее яркий период развития, оставивший самые значительные образцы математической литературы это V–XII века. В это время трудились выдающиеся индийские ученые, математики и астрономы: Ариабхатта (считается, что он жил в конце V века), Брахмагупта (считается, что он родился в 598 году), Магавира (IX век), Бхаскара Акарья (родился в 1114 году) и другие.
Ариабхатта дал наиболее точное в то время определение числа «пи» – 3,1416, вычислил значение корней 2-й и 3-й степени. Для понятия корень он использовал перевод греческого слова basis, обозначавшего одновременно основание и корень. В XII веке это понятие было переведено на латынь словом radix (корень), из которого во многие языки вошли понятия корень и радикал.
