Юрий Петров - Расследование и предупреждение техногенных катастроф. Научный детектив
4x = 2y (3)
2x = у (4)
и имеет, например, решения: х = 1; у = 2 или х = 2; у = 4 и многие другие. А вот при λ = 1 система (1)-(2) не нулевых решений не имеет. Это можно установить кропотливой проверкой, проверив все возможные значения параметра λ .
Заметим сразу, что задача вычисления собственных значений (разумеется, для систем гораздо более сложных, чем простейшая система (1) и (2)) имеет очень важное значение в технике. От величин собственных значений зависит устойчивость того или иного технического объекта, здания, сооружения, зависят частоты его колебаний и т. п.
Поэтому задаче вычисления собственных значений, различным методам их расчета, посвящены целые книги (например книга: Х. Д. Икрамов. Несимметричная проблема собственных значений, издательство «Наука», 1991 г., 240 страниц или: Уилкинсон Д. Х. Алгебраическая проблема собственных значений, издательство «Наука», 1970 г., 564 страницы и многие другие). И все методы используют эквивалентные преобразования. А то, что может произойти при эквивалентных преобразованиях, мы покажем на простейшем примере системы (1)-(2).
Вместо громоздкого перебора всех возможных значений λ , собственное значение легко найти эквивалентным преобразованием — подстановкой. Подставив значение переменной у из уравнений (2) в уравнение (1), мы получим:
(2λ2 + 2)х = 2(λ2 + λ)χ, (5)
Приведя подобные члены, получим:
(2λ - 2)χ = 0. (6)
Из уравнения (6) сразу следует, что не нулевые решения для х возможны лишь, если λ = 1.
Таким образом, эквивалентные преобразования позволили легко и просто найти (как и следовало ожидать) правильную величину собственных значений. Здесь все верно.
А теперь посмотрим, что получается при проверке корректности, при проверке зависимости собственных значений от малых изменений коэффициентов. После эквивалентных преобразований мы имеем дело с уравнением (6). В него входят два одинаковых коэффициента: двойка при λ и двойка как свободный член. Пусть свободный член изменился на 1% и стал равен 1,98. Тогда и собственное значение изменится на 1% и станет равным 1,01. То же самое произойдет, если на 1% изменится коэффициент при λ . Общий вывод: малым изменениям коэффициентов соответствуют малые изменения решения. Решение корректно.
А теперь (внимание!) исследуем корректность решения той же задачи до эквивалентных преобразований. Обратимся к исходным уравнениям (1) и (2) и посмотрим, что будет, если, например, коэффициент при λ2 в уравнении (1) изменится на 1% и станет равным 1,98, а система (1)-(2) перейдет в систему:
(1,98λ2 + 2)х = 2у (7)
(λ2+λ) = γ (8)
Отыскивая собственные значения для системы (7)-(8), мы убедимся, что их два: λ1 = 0,99019; λ2 =-100,99019 (с точностью до пятого знака после запятой). Можно проверить, что у системы (7)-(8) и при λ1 =0,99019, и при λ2 =—100,99019 действительно будут не нулевые решения х и у. Таким образом, для системы (1)-(2) решение задачи отыскания собственных значений — не корректно: уже при изменении одного из коэффициентов на 1% решение меняется коренным образом — вместо одного собственного значения появляется два, причем второе собственное значение резко отличается от первого (и даже имеет другой знак). Можно проверить, что если в системе (1)-(2) коэффициент при λ в уравнении (1) изменить не на 1%, а на 0,1% или даже на 0,01%, то все равно вместо одного собственного значения появятся два. Для системы (1)-(2) решение задачи о собственных значениях на самом деле не корректно — но мы не увидим этого, если будем исследовать корректность решения после эквивалентных преобразований системы, как это рекомендуют традиционные методы. Система (1)-(2) является особой системой — системой, у которой корректность решения изменяется после эквивалентных преобразований.
Для простой системы (1)-(2) все ясно и понятно: в уравнениях (1) и (2) коэффициенты при λ2 после эквивалентного преобразования взаимно сокращаются и исчезают, хотя именно их малые изменения в исходной системе приводят к большим изменениям собственных значений. В более сложных системах все сложнее, распутать причины и следствия очень не просто, но главное заключается в другом: даже на примере очень простой системы (1)-(2) мы показали, что эквивалентные преобразования могут изменять многие важные свойства математических моделей. Могут изменять корректность решения, могут изменять запасы устойчивости и т. д. Впервые все это было опубликовано в 1987 году, в книге [1] (номер в квадратных скобках соответствует номеру в списке литературы в конце брошюры), а более подробно — в книгах [2], [3].
§ 6. Следствия. Методы предотвращения катастроф
Теперь рассмотрим — какие следствия вытекают из открытий, сделанных с СПбГУ. Прежде всего — сразу получаем простое и логичное объяснение тайны катастрофы аквапарка «Трансвааль». Вполне возможно, что купол аквапарка оказался особым объектом, математическая модель которого изменяет корректность решений при эквивалентных преобразованиях — подобно математической модели в виде системы (1)-(2), которую мы рассмотрели в предыдущем разделе. Купол аквапарка проектировал Н. Канчели примерно в 2000 году. Он проводил расчет критических нагрузок по преобразованной модели, поскольку в 2000 году все методики строительных расчетов рекомендовали поступать именно так. В 2000 году никто из строителей еще не подозревал о существовании особых объектов, не понимал истинных свойств эквивалентных преобразований. Поэтому Н. Канчели с чистой совестью правильно и добросовестно применял общепринятые тогда методы расчета, а руководитель Мосгосэкспертизы А. Воронин, проверяя его расчеты, подтвердил, что они сделаны правильно и в полном соответствии с общепринятыми нормами и правилами, существующими в 2000 году. А то, что для особых объектов эти общепринятые нормы и правила неизбежно ведут к катастрофам и гибели людей — об этом в 2000 году никто из архитекторов и строителей еще не знал. Поэтому предъявление уголовных обвинений Н. Канчели и А. Воронину не поможет делу.
Ну хорошо, посадят их в тюрьму, и что — наша жизнь станет безопаснее? Нет, не станет. Если не уточнить методы и правила расчетов, то у другого архитектора, который на свою беду встретится с «особым» объектом, неизбежно все обрушится, и люди снова погибнут.
Для того чтобы избежать катастроф, нужно в правила расчетов внести дополнения — дополнения, вытекающие из открытий, сделанных в СПбГУ. Тогда аварий и катастроф — по крайней мере, тех, которые возникают из-за неполноты привычных методов расчета — больше не будет. Усовершенствованные методы расчета, позволяющие избежать аварий и катастроф, известны. Они опубликованы в книгах [1], [2], [3] (применительно к задачам строительной механики — в статье [12]). Да, эти методы немного сложнее привычных, поскольку требуют небольшой дополнительной проверки — не изменилась ли корректность решения при использованных эквивалентных преобразованиях. Необходимость дополнительных проверок, небольшой дополнительной работы расчетчика привела к тому, что усовершенствованные методы расчета до сих пор применяются мало. Дополнительную работу обычно делать не хочется, а «особые» объекты встречаются редко, что и позволяет легкомысленно надеяться на то, что все пронесет.
Надо еще отметить, что на рубеже 2000 года, когда проектировался аквапарк «Трансвааль», усовершенствованные методы расчета в области строительства еще не были разработаны — разработка их началась с систем автоматики. Поэтому упреков в том, что усовершенствованные методы не использовали
H. Канчели и А. Воронин, предъявить нельзя. К 2004 — 2005 годам архитекторы, строители и те, кто производит строительные расчеты, уже могли бы пользоваться методами, изложенными в книгах [1], [2], [3] и страхующими от аварий, но они совсем не спешат этого делать.
Не спешат они и проверить еще раз расчеты уже возведенных зданий и сооружений. Между тем — пользуясь методикой, изложенной в уже упомянутых книгах — можно было проверить — нет ли среди возведенных зданий «особых» объектов, для которых расчеты запасов устойчивости, выполненные традиционными методами, ненадежны. Если бы «особые» объекты были выявлены, то можно было принять срочные меры. Но этого не было сделано, несмотря на то, что книги [1, 2, 3] были изданы довольно большими тиражами и вполне доступны для инженеров.
