Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред
В случае несжимаемой жидкости С·v=0 и вязкая сила в единице объема будет просто равна hС2v. Это и все, чем обычно пользуются; однако если вам понадобится вычислить поглощение звука в жидкости, то вам потребуется и второй член. Теперь мы можем закончить вывод уравнения движения реальной жидкости. Подставляя (41.15) в уравнение (41.1), получаем
Уравнение получилось, конечно, сложное, но ничего не поделаешь, такова природа.
Если мы введем W=СXv, как делали это раньше, то наше уравнение можно записать в виде
Мы снова предполагаем, что единственными объемными силами являются консервативные силы типа сил тяжести. Чтобы понять смысл нового члена, давайте рассмотрим случай несжимаемой жидкости. Если мы возьмем ротор уравнения (41.16), то получим
Это напоминает (40.9) с той только разницей, что в правой части имеется еще одно слагаемое. Когда правая часть была равна нулю, то имелась теорема Гельмгольца о том, что вихри всегда движутся вместе с жидкостью. Теперь же в правой части появилось довольно сложное выражение, из которого, однако, не сразу же следуют физические выводы. Если бы мы пренебрегли членом СX(WXv), то получили бы диффузионное уравнение. Новый член означает, что вихри диффундируют в жидкости. При большом градиенте вихри расползаются в соседние области жидкости.
Именно поэтому утолщаются кольца табачного дыма. С этим же связано красивое явление, возникающее при прохождении кольца «чистого» вихря (т. е. «бездымного» кольца, созданного с помощью описанной в предыдущей главе аппаратуры) через облако дыма. Когда оно выходит из облака, к нему «прилипает» некое количество дыма и мы видим полую оболочку из дыма. Какое-то количество завихренности W диффундирует в окружающий дым, продолжая свое движение вперед вместе с вихрем.
§ 3. Число Рейнольдса
Посмотрим теперь, как изменяется течение жидкости из-за нового члена с вязкостью. Рассмотрим несколько подробнее две задачи. Первая — обтекание жидкостью цилиндра; эту задачу мы пытались решить в предыдущей главе, используя теорию невязкой жидкости. Оказывается, что сегодня возможно найти решение вязких уравнений только для некоторых специальных случаев. Так что кое-что из того, что я расскажу вам, основано на экспериментальных измерениях, считая, конечно, что экспериментальная модель удовлетворяла уравнению (41.17).
Математически задача состоит в следующем: мы хотим найти решение для потока несжимаемой вязкой жидкости вблизи длинного цилиндра диаметром D. Поток должен определяться уравнением (41.17) и
W=СXv (41.18)
с условием, что скорость на больших расстояниях равна некоторой постоянной V (параллельной оси х), а на поверхности цилиндра равна нулю. Так что
vя=vу=vz=0 (41.19)
при
x2+y2=D2/4.
Это полностью определяет математическую задачу.
Если вы вглядитесь в эти выражения, то увидите, что в задаче есть четыре различных параметра: h, r, D и V. Можно подумать, что нам придется иметь дело с целой серией решений для разных V, разных D и т. д. Вовсе нет. Все возможные различные решения соответствуют разным значениям одного параметра. Такова наиболее важная общая вещь, которую мы можем сказать о вязком потоке. А чтобы понять, почему это так, заметьте сначала, что вязкость и плотность появляются в виде отношения h/r, т. е. удельной вязкости. Это уменьшает число независимых параметров до трех. Предположим теперь, что все расстояния мы измеряем в единицах той единственной длины, которая появляется в задаче: диаметра цилиндра D, т. е. вместо х, у, z мы вводим новые переменные х', у', z', причем
x=x'D, y=y'D, z=z'D.
При этом параметр D из (41.19) исчезает. Точно так же если будем измерять все скорости в единицах V, т. е. если мы положим v=v'V, то избавимся от V, а v' на больших расстояниях будет просто равно единице. Поскольку мы фиксировали наши единицы длины и скорости, то единицей времени теперь должно быть D/V, так что мы должны сделать подстановку;
t=t'D/V. (41.20)
В наших новых переменных производные в уравнении (41.18) тоже изменятся: так, д/дх перейдет в (1/D)(д/дх') и т. д., так что уравнение (41.18) превратится в
А наше основное уравнение (41.17) перейдет в
Все постоянные при этом собираются в один множитель, который мы, следуя традиции, обозначим через:
Если теперь мы просто запомним, что все наши уравнения должны выписываться для величин, измеряемых в новых единицах, то все штрихи можно опустить. Тогда уравнения для потока примут вид
и
с условиями ,
v=0 , для
х2+у2 =1/4 (41.24)
и
vx=1, vy=vz=0
для
x2+y2+z2>>1.
Что все это значит? Если, например, мы решили задачу для потока с одной скоростью V1и некоторого цилиндра диаметром D1 а затем интересуемся обтеканием цилиндра другого диаметра D2другой жидкостью, то ноток будет одним и тем же при такой скорости V2, которая отвечает тому же самому числу Рейнольдса, т. е. когда
В любых случаях, когда числа Рейнольдса одинаковы, поток при выборе надлежащего масштаба х', у', z' и t' будет «выглядеть» одинаково. Это очень важное утверждение, ибо оно означает, что мы можем определить поведение потока воздуха при обтекании крыла самолета, не строя самого самолета и не испытывая его. Вместо этого мы можем сделать модель и провести измерения, используя скорость, которая дает то же самое число Рейнольдса. Именно этот принцип позволяет нам применять результаты измерений над маленькой моделью самолета в аэродинамической трубе или результаты, полученные с моделью корабля, к настоящим объектам. Напомню, однако, что это можно делать только при условии, что сжимаемостью жидкости можно пренебречь. В противном случае войдет новая величина — скорость звука. При этом различные модели будут действительно соответствовать друг другу только тогда, когда отношение V к скорости звука тоже приблизительно одинаково. Отношение скорости V к скорости звука называется числом Маха. Таким образом, для скоростей, близких к скорости звука или больших, поток в двух задачах будет выглядеть одинаково, если и число Маха и число Рейнольдса в обеих ситуациях одинаковы.
§ 4. Обтекание кругового цилиндра
Вернемся теперь обратно к задаче об обтекании цилиндра медленным (почти несжимаемым) потоком. Я дам вам качественное описание потока реальной жидкости. О таком потоке нам необходимо знать множество вещей. Например, какая увлекающая сила действует на цилиндр? Сила, увлекающая цилиндр, показана на фиг. 41.4 как функция величины , которая пропорциональна скорости V, если все остальное фиксировано.
Фиг. 41.4. Коэффициент увлечения Сd кругового цилиндра как функция числа Рейнольдса.
Фактически на рисунке отложен коэффициент увлечения Сd — безразмерное число, равное отношению силы к 1/2rV2Dl (d — диаметр, l —длина цилиндра, а r —плотность жидкости):
Коэффициент увлечения изменяется довольно сложным образом, как бы намекая нам на то, что в потоке происходит нечто интересное и сложное. Свойства потока полезно описывать для различных областей изменения числа Рейнольдса. Прежде всего, когда число Рейнольдса очень мало, поток вполне стационарен, скорость в любой точке потока постоянна и он плавно обтекает цилиндр. Однако распределение линий потока не похоже на их распределение в потенциальном потоке. Они описывают решение несколько другого уравнения. Когда скорость очень мала или, что эквивалентно, вязкость очень велика, так что вещество по своей консистенции напоминает мед, можно отбросить инерционные члены и описать поток уравнением
Это уравнение впервые было решено Стоксом. Он также решил задачу для сферы. Когда маленькая сфера движется при малых числах Рейнольдса, то к ней приложена сила, равная 6phaV, где а — радиус сферы, a V — его скорость.
