Александр Петров - Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор
Рис. Д4. Расслоение пространства-времени на пространственные сечения
На рис. Д4 такое расслоение произвольного пространства-времени изображено символически, каждый слой – это 3-мерное пространство в данный момент времени. Для вселенной Фридмана каждое такое 3-мерное пространство и однородно, и изотропно. Но это произошло потому, что для поиска решений Фридман специально выбрал такую удобную систему координат именно с этим определением времени. На самом деле можно выбрать другую систему координат, для которой сечения одновременности уже не будут ни однородными, ни изотропными. В неоднородной же Вселенной подобрать однородные пространственные сечения вообще невозможно.
Теперь можно дать строгое определение: Вселенная однородна, если через каждую мировую точку (событие) проходит пространственное сечение однородности. В каждой точке на таком сечении плотность ρ, давление p и кривизна пространства должны быть одинаковы.
Теперь определим изотропию Вселенной. Рост масштабного фактора означает и расширение материи, заполняющей Вселенную. На каждую частицу расширяющегося вещества можно мысленно «посадить» сопутствующего наблюдателя. Вселенная изотропна если, каждый сопутствующий наблюдатель не может отличить одно направление от другого.
Если Вселенная изотропна, то она автоматически однородна. Действительно, если это не так, то будут какие-то ее части с разной плотностью, давлением и т. п. Но тогда, найдутся выделенные направления к областям с разными характеристиками, а это нарушение изотропии. А вот однородная Вселенная может быть анизотропной. Но для всех сопутствующих наблюдателей эта анизотропия будет одинаковой. Таких моделей Вселенной существуют целые семейства, они до сих пор активно исследуются. Поскольку изотропия Вселенной подтверждена с определенной точностью, то модели с меньшей величиной анизотропии имеют право на жизнь.
В качестве наглядного и простого примера рассмотрим однородную, но анизотропную космологическую модель, предложенную американским математиком Эдвардом Каз-нером (1878–1955) в 1922 году. Эта вселенная, в отличие от фридмановской, без материи, хотя ее можно заполнить веществом, но «пробным», так что оно не влияет на геометрию. Решение Казнера, метрика которого имеет вид
ds2 =c2dt2=t2p1dx2=t2p2dy2=t2p3dz2,
не выдумано, а является решением уравнений Эйнштейна. Параметры p1, p2, p3 удовлетворяют двум соотношениям p1 + p2 + p3 = 1 и p12 + p22 + p32 = 1. Отсюда следует, что все числа не могут быть равными одновременно, мало того, одно из них всегда отрицательно. Исключение составляют два вырожденных случая.
Поскольку модель пустая, то пространство характеризуется только значениями кривизны в каждой точке. Эти значения определяются только моментом времени и одинаковы во всех точках пространства, так как метрические коэффициенты не зависят от пространственных координат, то есть пространство однородно. Из ограничений на параметры можно сделать вывод, что эта вселенная расширяется. Действительно, элемент объема
dV = tp1+p2+p3dxdydz = tdxdydz увеличивается пропорционально времени. Однако увеличивается такая вселенная довольно странно – по двум координатам расширяется (тем, которым соответствуют положительные параметры), а по третьей – сжимается (ей соответствует отрицательный параметр). Очевидно, что это анизотропное поведение.
Казнеровский режим расширения, конечно, не соответствует современному расширению – слишком очевидна его анизотропия, которая не наблюдается. Однако, вблизи сингулярности t = 0, которая имеет место, так же, как и во фридмановском сценарии, решение Казнера представляется интересным космологам. Оказывается, при приближении к сингулярности возникает осциллирующий режим Казнера, когда отрицательный параметр начинает переходить от одного пространственного измерения к другому с возрастающей частотой. Это дает дополнительные возможности «подобраться» к пониманию физики космологической сингулярности. Связь с вселенной Фридмана, в которой мы живем, в одном из вариантов осуществляется следующим образом. Анизотропная часть модели Казнера трактуется как эффективная материя, которая с расширением распадается с образованием обычной материи. Если и остается анизотропия, то она не наблюдается из-за слабости эффекта.
8. Модели Фридмана и критическая плотность
В основном тексте было сказано, что каждой из моделей Фридмана: открытой, плоской и закрытой, соответствуют свои значения плотности энергии ε или плотности массы ρ в соответствии с определением ε = ρс 2. Плоской модели соответствует критическая плотность εкр = ρкрс 2, открытой – ε < εкр, а закрытой – ε > εкр. Напрашивается очевидный вопрос: в каком мире мы живем?
Рассмотрим ситуацию несколько подробнее. Одно из уравнений Фридмана можно привести к виду:
Здесь ρM означает плотность массы всей материи Вселенной, которую обычно записывают в виде суммы ρM = ρm + ρdm + ρde, где вклад представлен обычной материей (барионы, излучение), темной материей и темной энергией. Величина k называется знаком кривизны и определяет тип модели Фридмана: гиперболическому пространству соответствует k = –1, плоскому – k = 0, замкнутому – k = +1. В ходе эволюции Вселенной знак кривизны не меняется.
Теперь вспомним, что постоянная Хаббла H= a /a, и нормируем это уравнение на ρкр = 3H 2/8πG. Тогда оно приобретет форму:
ΩM = 1 + Ωc.
Здесь ΩM = ρM/ρкр и Ωc = kc 2/(a 2H 2).
Как видно, величина Ωc описывает отклонение от единицы в ту либо другую сторону отношения ΩM, а конкретное значение Ωc определяет знак и величину кривизны пространства. Если отклонения нет, то кривизна пространства нулевая. Таким образом, вопрос о геометрии пространства решается, если известно значение ρM.
Однако определить ρM напрямую эмпирически невозможно. Поэтому, наоборот, сначала с помощью наблюдений определяют кривизну пространства. Это делается различными способами. Наибольшим доверием пользуется анализ анизотропии реликтового излучения. Другой способ основан на изучении видимой светимости (блеска) сверхновых известного типа в далеких галактиках, независимом определении расстояний до них и сопоставлении этих данных. Также информацию о типе и величине кривизны получают, исходя из картины крупномасштабной структуры Вселенной.
Кривизна трехмерного пространства оказывается весьма малой, радиус кривизны, по крайней мере, в 10 раз превышает размеры наблюдаемой части Вселенной. Это соответствует отклонению плотности всей материи от критической | Ωc | < 0,01. Если плотность массы обычной материи ρm и темной материи ρdm известны из эмпирических данных, то плотность темной энергии ρde не известна. Фактически она определяется расчетным путем из соотношения ρM ≈ ρкр. И, наконец, поскольку оценка кривизны приблизительна, то пока нельзя сказать какая именно из моделей Фридмана соответствует реальному миру.
Примечания
1
«Посох Якова» – один из первых инструментов для астрономических наблюдений, служивший для измерения углов. Появился он в IV веке до н. э. и был известен на Ближнем Востоке, в Китае, Индии и Европе. Этот инструмент представлял собой стержень с делениями, по которому перемещалась поперечная планка с отверстиямм или щелями – диоптрами (см. рис. 1.5). Стержень приставляли к глазу и направляли на линию горизонта. Затем передвигали планку до тех пор, пока та или иная звезда не совмещалась с диоптром. Наблюдатель отмечал положение подвижной планки на стержне и с помощью специальной таблицы определял угол между горизонтом и светилом.
2
Постановлением Международного астрономического союза, возвышенностям на Венере решено давать имена богинь, а низменностям и другим понижениям рельефа (каньонам и бороздам) – имена прочих мифологических женских персонажей или просто женские имена. Из этого правила существует три исключения: области «Альфа» и «Бета» и «Горы Максвелла».
