Александр Филиппов - Многоликий солитон
Между прочим, известны случаи, когда «микроцунами» возникали от движения корабля. В начале века, когда стали появляться быстроходные военные суда, их капитаны время от времени сталкивались со «спутной волной», которая образуется при движении судна со скоростью, близкой к . Оторвавшаяся от судна спутная волна и солитон Рассела это одно и то же. Отличие лишь в том, что в мелком канале спутная волна возникает при небольшой скорости движения *). Если судно, образовавшее спутную волну, внезапно замедлит ход или если глубина внезапно изменится, спутная волна оторвется от судна и, отправившись в самостоятельное путешествие, может наделать бед. Один такой несчастный случай, произошедший в 1912 г. в Финском заливе, расследовал академик А. Н. Крылов. Он подробно описал его в своих интереснейших воспоминаниях. К сожалению, Крылов не знал о работах Рассела и Кортевега и де Фриза; подробно изучив это явление, он ограничился лишь выработкой практических рекомендаций для капитанов.
*) Рассел приписывает первое наблюдение отрыва баржи от спутной волны при увеличении скорости и вызванное этим уменьшение сопротивления движению баржи «Уильяму Хаустону, эсквайру», который, однако, осознал лишь «коммерческое значение этого факта для компании канала, с которой он был связан». Научное значение этого явления первым понял Рассел.
В океане рождаются и путешествуют самые разные солитоны. Безгранично разнообразный и сложный океан — естественная «среда обитания» для них. Некоторые океанские солитоны неплохо изучены, о существовании иных мы, может быть, пока и не подозреваем. Волны и солитоны могут возникать не только на поверхности воды, но и в глубине. Океанские глубины очень неоднородны, в них существуют слои воды с разной температурой, плотностью, соленостью. Зачастую граница между этими слоями оказывается довольно резкой. Она, как говорят, образует поверхность раздела. По такой поверхности, как и по поверхности раздела воды и воздуха, тоже путешествуют волны и солитоны, которые могут оказаться довольно опасными. Не исключено, что подобные солитоны ответственны за случаи загадочных аварий подводных лодок.
Ты волна моя морская,
Своенравная волна,
Как, покоясь иль играя,
Чудной жизни ты полна.
Ф. Тютчев
Перейдем теперь к солитону, который был на глазах у людей с незапамятных времен, но в науку проник совсем недавно. Речь идет о группах («стаях») волн, вызванных ветром на глубокой воде (рис. 7.8).
Нельзя сказать, что ученые совсем не пытались выяснить, почему волны собираются в такие стаи, но к реальному ответу на этот вопрос удалось приблизиться лишь после того, как в 1967 г. Т. Бенжамен и Дж. Фейр показали теоретическими расчетами и опытами, что простая периодическая волна на глубокой воде неустойчива. Иными словами, она склонна разбиваться на группы волн. Уравнения, описывающие такие группы, в следующем году нашел В. Е. Захаров, а вскоре было доказано, что они обладают всеми свойствами настоящих солитонов. Эти солитоны составляют новую разновидность, с которой мы еще не встречались. Они внешне похожи на модулированные радиоволны или оптические импульсы. Однако электромагнитные группы волн могут распространяться в пустоте без искажений, а группы волн на глубокой воде очень быстро расплылись бы из-за сильной дисперсии (v = ), если бы этому не препятствовала нелинейность.
И эти солитоны имеют непростую историю. Физики сталкивались с такими солитонами в нелинейной оптике, а уравнения, описывающие их, еще раньше изучались в теориях сверхтекучести и сверхпроводимости.
Солитон, изображенный на рис. 7.8, обычно называют «солитоном огибающей», мы будем также называть его «групповым» солитоном. Название это напоминает о том, что привычную солитонную форму имеет штриховая линия, огибающая верхушки волн. Сами эти волны движутся с иной скоростью, чем их огибающая, так что под ней идет бурная жизнь. Волны, на которых «сидит» солитон, приблизительно монохроматичны. Форма огибающей описывается выражением
причем размер солитона 2l определяется его амплитудой y0, а скорость v от амплитуды не зависит. Этим «групповые» солитоны существенно отличаются от солитонов Рассела — КдФ, а в остальном они весьма сходны. Обычно под огибающей может спрятаться не более 14—20 волн, причем средняя — самая высокая. Это и объясняет давно известное морякам правило, что самая высокая волна в группе седьмая — десятая (отсюда и «девятый вал»). Солитоны c большим числом гребней несущей волны неустойчивы и распадаются на меньшие.
На этом мы и закончим знакомство с океанскими волнами и солитонами. То, что было рассказано, разумеется, лишь карикатура, но эта карикатура позволила нам разглядеть очень важные и простые явления. Волны в реальном океане гораздо более сложны, многообразны и хаотичны *).
*) О реальных морских волнах можно прочесть в популярной книге: Кадомцев Б. Е., Рыдник В. И. Волны вокруг нас. — М.: Знание, 1981.
Передо мною волны моря.
Их много. Им немыслим счет.
Волна подаст свой голос в хоре
И новой очереди ждет.
Б. Пастернак
Нам хотелось бы рассказать еще о нескольких солитонах, но сначала подведем предварительные итоги, вспомним самые главные свойства истинных солитонов.
Три солитона
В «клубе многоликих солитонов», многие из которых уже успели стать знаменитыми, выделяются три наиболее важных типа настоящих солитонов. Это солитоны КдФ, ФК и «групповые». Они замечательны своими математическими свойствами, поддаются точному и строгому математическому описанию и имеют наибольшее число физических воплощений. Между ними много общего, но есть и существенные отличия.
Солитоны Рассела — КдФ рождаются в физических системах, в которых волны слабо нелинейны и слабо диспергируют. Если первоначальный импульс распался на некоторое число солитонов, то все они бегут в одном и том же направлении со скоростями, пропорциональными их высотам, а ширина каждого солитона обратно пропорциональна квадратному корню из его высоты. При столкновениях солитоны обмениваются энергией подобно упругим мячам.
Отвлекаясь от несущественных деталей, можно сказать, что примерно так же ведут себя и другие истинные солитоны. Солитон огибающей это плавно модулированная монохроматическая волна в слабо нелинейных и сильно диспергирующих средах. Его ширина обратно пропорциональна амплитуде, но скорость от амплитуды не зависит. Форма КдФ-солитона и его скорость определяются условиями компенсации эффектов нелинейности и дисперсии. Для «группового» солитона о такой компенсации можно говорить лишь условно, во всяком случае наглядно все это довольно трудно представить. На самом деле групповой солитон очень сложный, необычный и непривычный объект, и на качественном физическом языке его поведение пока до конца не понято.
В некоторых случаях КдФ-солитоны и групповые солитоны можно считать частицами, которые подчиняются обычным законам движения ньютоновой механики. Так можно поступать, если одиночный солитон движется в слабо неоднородной среде, в которой эффекты затухания, вызванного трением, достаточно малы. При столкновениях с другими солитонами или с резкими неоднородностями среды становится существенным внутреннее устройство солитона. Даже при столкновениях с малой неоднородностью среды (например, с небольшим местным изменением глубины дна) солитон не только ускоряется или замедляется, но и слегка деформируется. Однако, проскочив неоднородность, он восстанавливает прежнюю форму и скорость, так что его движение можно приближенно описать как движение частицы, встретившей на своем пути слабо притягивающий или отталкивающий центр.
Более существенное воздействие оказывает на эти солитоны трение. КдФ-солитон под действием трения постепенно замедляет движение, одновременно уменьшая высоту и расплываясь. Эта деградация солитона происходит по экспоненциальному закону — скорость и амплитуда убывают пропорционально ехр(-t/τ), а ширина растет пропорционально ехр(t/2τ). Время распада (или время жизни) солитона τ обратно пропорционально силе трения. При малом трении солитон хотя и деформируется, но достаточно долго остается солитоном. При большом трении само понятие солитона теряет смысл. Столь же бренно существование группового солитона. Правда, в первом приближении его скорость остается неизменной, но амплитуда убывает как ехр(-t/τ), а ширина растет как ехр(t/τ).
