Ричард Фейнман - 6a. Электродинамика
Идею эту можно обобщить на схемы, в которые входят как генераторы, так и импедансы. Представьте, что мы глядим на эту схему «с точки зрения» одного из импедансов, который мы обозначим zn (фиг. 22.16, а). Если бы решить уравнение для тока, мы бы увидели, что напряжение Vnмежду зажимами а и b есть линейная функция I, которую можно записать в виде
(22.22)
Здесь А и В зависят от генераторов и импедансов в цепи слева от зажимов. Например, в схеме, показанной на фиг. 22.13, мы находим V1=I1zl. Это можно переписать [используя (22.20)] в виде
(22.23)
Тогда полное решение мы получаем, комбинируя это уравнение с уравнением для импеданса z1 т. е. с V1=I1z1, или в общем случае комбинируя (22.22) с
Если мы рассмотрим теперь случай, когда zn подключается к простой цепи из последовательно соединенных генератора и импеданса (см. фиг. 22.15, б), то уравнение, соответствующее (22.22), примет вид
что совпадает с (22.22), если принять Sэфф=A и zэфф=B. Значит, если нас интересует лишь то, что происходит направо от выводов а и b, то произвольную схему фиг. 22.16 можно всегда заменить эквивалентным сочетанием генератора, последовательно соединенного с импедансом.
§ 5. Энергия
Мы видели, что для создания в индуктивности тока I надо из внешней цепи доставить энергию U=1/2LI2. Когда ток спадает до нуля, эта энергия уводится обратно во внешнюю цепь.
В идеальной индуктивности механизма потерь энергии нет. Когда через индуктивность течет переменный ток, энергия перетекает то туда, то сюда — от индуктивности к остальной части цепи и обратно, но средняя скорость, с какой энергия передается в цепь, равна нулю. Мы говорим, что индуктивность — недиссипативный элемент, в ней не растрачивается (не «диссипирует») электрическая энергия.
Точно так же возвращается во внешнюю цепь и энергия конденсатора U=1/2СV2, когда он разряжается. Когда он стоит в цепи переменного тока, то энергия течет то в него, то из него, но полный поток энергии за каждый цикл равен нулю. Идеальный конденсатор — тоже недиссипативный элемент.
Мы знаем, что э. д. с.— это источник энергии. Когда ток I течет в направлении э.д.с., то энергия поставляется во внешнюю цепь со скоростью dU/dt=eI. Если электричество гонят против э.д.с. (с помощью других генераторов), то э. д. с. поглощает энергию со скоростью eI; поскольку I отрицательно, то и dU/dt отрицательно.
Если генератор подключен к сопротивлению R, то ток через сопротивление равен I=e/R. Энергия, поставляемая генератором со скоростью eI, поглощается сопротивлением. Эта энергия тратится на нагрев сопротивления и для электрической энергии цепи фактически уже потеряна. Мы говорим, что электрическая энергия рассеивается, диссипирует в сопротивлении. Скорость, с какой она рассеивается, равна dU/dt=RI2.
В цепи переменного тока средняя скорость потерь энергии в сопротивлении — это среднее значение RI2 за цикл. Поскольку I=I'eiwt (что, собственно, означает, что I меняется как coswt), то среднее значение I2 за цикл равно |I'|2/2, потому что ток в максимуме — это |I'[, а среднее значение cos2 cat равно 1/2.
Фиг. 22.17. Любой импеданс эквивалентен последовательному соединению чистого сопротивления и чистого реактанса.
А что можно сказать о потерях энергии, когда генератор подключен к произвольному импедансу z? (Под «потерями» мы, конечно, понимаем превращение электрической энергии в тепловую.) Всякий импеданс z может быть разбит на действительную и мнимую части, т. е.
z = R + iX, (22.24)
где R и X — числа действительные. С точки зрения эквивалентных схем можно сказать, что всякий импеданс эквивалентен сопротивлению, последовательно соединенному с чисто мнимым импедансом, называемым реактансом
(фиг. 22.17).
Мы уже видели раньше, что любая цепь, содержащая только L и C, обладает импедансом, выражаемым чисто мнимым числом. А раз в любом из L и С в среднем никаких потерь не бывает, то и в чистом реактансе, в котором имеются только L и С, потерь энергии не бывает. Можно показать, что это должно быть верно для всякого реактанса.
Если генератор с э. д. с. e подсоединен к импедансу z (см. фиг. 22.17), то его
э. д. с. должна быть связана с током I из генератора соотношением
e = I(R + iX). (22.25)
Чтобы найти, с какой средней скоростью подводится энергия, нужно усреднить произведение eI. Но теперь следует быть осторожным. Оперируя с такими произведениями, надо иметь дело только с действительными величинами e(t) и I(t). (Действительные части комплексных функций изображают настоящие физические величины только тогда, когда уравнения линейны; сейчас же речь идет о произведении, а это, несомненно, вещь нелинейная.)
Пусть мы начали отсчитывать t так, что амплитуда I' оказалась действительным числом, скажем I0; тогда истинное изменение I во времени дается формулой
I=I0coswt.
.
Входящая в уравнение (22.25) э.д.с.— это действительная часть
или
(22.26)
Два слагаемых в (22.26) представляют падение напряжений на R и X (см. фиг. 22.17). Мы видим, что падение напряжения на сопротивлении находится в фазе с током, тогда как падение напряжения на чисто реактивной части находится с током в противофазе.
Средняя скорость потерь энергии <Р>ср, текущей от генератора, есть интеграл от произведения eI за один цикл, деленный на период Т; иными словами,
Первый интеграл равен 1/2I20R, а второй равен нулю. Стало быть, средняя потеря энергии в импедансе z—R+iX зависит лишь от действительной части z и равна I20R/2. Это согласуется с нашим прежним выводом о потерях энергии в сопротивлении. В реактивной части потерь энергии не бывает.
§ 6. Лестничная сеть
А теперь мы рассмотрим интереснейшую цепь, которую можно выражать через параллельные и последовательные сочетания. Начнем с цепи, изображенной на фиг. 22.18, а. Сразу видно, что импеданс между зажимами а и b просто равен z1+z2. Возьмем теперь цепь потруднее (фиг. 22.18, б). Ее можно проанализировать с помощью правил Кирхгофа, но нетрудно обойтись и последовательными и параллельными комбинациями. Два импеданса на правом конце можно заменить одним z3=z1+z2 (см. фиг. 22.18, в). Тогда два импеданса z2 и z3 можно заменить их эквивалентным параллельным импедансом z4 (фиг. 22.18, г). И наконец, z1и z4 эквивалентны одному импедансу z5 (фиг. 22.18, д).
А теперь можно поставить забавный вопрос: что произойдет, если к цепи, показанной на фиг. 22.18, б, бесконечно подключать все новые и новые звенья (штриховая линия на фиг. 22.19, а)? Можно ли решить задачу о такой бесконечной цепи? Представьте, это совсем не трудно. Прежде всего мы замечаем, что такая бесконечная цепь не меняется, если новое звено подключить к «переднему» концу. Ведь если к бесконечной цепи добавляется одно звено, она остается все той же бесконечной цепью.
Фиг. 22.18. Эффективный импеданс лестницы.
Пусть мы обозначили импеданс между зажимами а и b бесконечной цепи через z0; тогда импеданс всего того, что справа от зажимов с и d, тоже равен z0. Поэтому если смотреть с переднего конца, то вся цепь представляется в виде, показанном на фиг. 22.19, б. Заменяя два параллельных импеданса z2 и z0 одним и складывая его с z1? сразу же получаем импеданс всего сочетания
Но этот импеданс тоже равен z0. Получается уравнение
Найдем из него z0:
(22.27)
Фиг. 22.19. Эффективный импеданс бесконечной лестницы.
Таким образом, мы нашли решение для импеданса бесконечной лестницы повторяющихся параллельных и последовательных импедансов. Импеданс z0называется характеристическим импедансом такой бесконечной цепи.
Рассмотрим теперь частный пример, когда последовательный элемент — всегда индуктивность L, а шунтовой элемент — емкость С (фиг. 22.20, а). В этом случае импеданс бесконечной сети получается, если положить z1=iwL и z2=1/iwС. Заметьте, что первое слагаемое z1/2 в (22.27) равно просто половине импеданса первого элемента. Естественнее было бы поэтому (или по крайней мере проще) рисовать нашу бесконечную сеть так, как показано на фиг. 22.20, б. Глядя на бесконечную сеть из зажима a', мы бы увидали характеристический импеданс
