Ашот Григорьян - Механика от античности до наших дней
Даламберу (наряду с Д. Бернулли и Эйлером) принадлежат основополагающие работы по гидромеханике, следствием которых были обобщающие работы Лагранжа по механике идеальной жидкости. В 1744 г. выходит сочинение Даламбера «Трактат о равновесии движения жидкостей», в котором он применяет свой принцип к разнообразным вопросам движения жидкостей в трубах и сосудах. Даламбер исследовал также законы сопротивления при движении тел в жидкости. Процесс образования вихрей и разреженности за движущимся телом он объяснил вязкостью жидкости и ее трением о поверхность обтекаемого тела. В этом же сочинении Даламбер (почти одновременно с Эйлером) выдвинул положение об отсутствии сопротивления телу, движущемуся равномерно и прямолинейно в покоящейся идеальной жидкости (так называемый парадокс Эйлера — Даламбера). Этот факт доказывается математически как для сжимаемой, так и для несжимаемой жидкости. В действительности же тело при своем движении в жидкости или газе всегда испытывает сопротивление. Это объясняется тем, что в реальной среде не выполняются предположения, на которых построено доказательство парадокса, т. е. всегда проявляются и вязкость, и вихри, в результате чего возникает поверхность разрыва скоростей. Все это вызывает сопротивление жидкости движению тела со стороны жидкости.
В 1748 г. Берлинская академия наук объявила конкурс на лучшее исследование о сопротивлении жидкостей. Даламбер представил работу, озаглавленную «Опыт новой теории сопротивления жидкостей» (опубликована в 1752 г.), где, пользуясь своим принципом, выводит уравнения движения жидкостей как несжимаемых, так и сжимаемых и упругих. В гидростатике Даламбер использовал уравнения равновесия идеальной жидкости в частных производных, введенные Клеро. Однако его уравнения еще не обладали, по словам Лагранжа, «всей той общностью и простотой, которые им могут быть приданы» и которые столь характерны для результатов Эйлера. Оригинальным решением Даламбера здесь является введение комплексной скорости как функции комплексной координаты точки для плоского безвихревого течения несжимаемой жидкости. Труды Даламбера в области гидромеханики (вместе с трудами Эйлера, Д. Бернулли) в XIX в. послужили фундаментом для тех обобщений, в результате которых механика сплошной среды была выделена в самостоятельную дисциплину со своими специфическими понятиями и математическим аппаратом.
Даламбер занимался и экспериментальным исследованием сопротивления движению тел в жидкости в связи с запросами кораблестроения. В 1775—1777 гг. он вместе с А. Кондорсе (1743-1794) и Ш. Боссю (1730-1814) провел серию опытов над сопротивлением плавающих тел в безграничной жидкости и узких каналах.
Даламбер принимал активное участие в споре о «живой силе», начатом Декартом и Лейбницем и связанном с разработкой понятия о «мере силы», и в споре о принципе наименьшего действия. Спор о «живой силе» был полностью разрешен в «Трактате о динамике». Вопросу о принципе наименьшего действия Даламбер посвятил статью в «Энциклопедии». Отвергая претензии Мопертюи, считавшего этот принцип неким универсальным законом — непосредственным выражением могущества бога, Даламбер подчеркнул его чисто механическое значение: глубокую связь с принципом живых сил и возможность его применения для решения отдельных задач механики.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА
Жозеф Луи Лагранж родился в Турине 25 января 1736 г. в семье обедневшего чиновника. Семнадцатилетним юношей Лагранж увлекся математическими науками, а в 1754 г. он уже профессор артиллерийской школы в Турине. Здесь он объединяет своих слушателей и образует научное общество, в дальнейшем превратившееся в знаменитую Туринскую академию.
Эйлер и Даламбер высоко оценили работы Лагранжа. В 1759 г. по их представлению Лагранж был избран членом Берлинской академии наук. С 1776 по 1787 г. он был директором физико-математического класса Берлинской академии наук. В этот период сборники Берлинской академии обогатились целым рядом блестящих работ Лагранжа как по математике, так и по общей и небесной механике.
В 1787 г. Лагранж переехал в Париж, где он в 1788 г. издал свою знаменитую книгу «Аналитическая механика». Элегантность и внутренняя гармоничность методов «Аналитической механики» вполне оправдывает мнение У.Р. Гамильтона, называвшего эту книгу научной поэмой (a kind of scientific poem).
В развитии механики появление «Аналитической механики» Лагранжа было выдающимся событием. В 1813— 1815 гг. этот труд вышел вторым, дополненным изданием и с тех пор несколько раз в течение XIX столетия переиздавался с дополнениями и примечаниями других ученых. Русский перевод в двух томах появился в 1950 г.{172}
Жозефу Лагранжу принадлежат многие выдающиеся работы по механике. С его именем до первого издания «Аналитической механики» связаны исследования о задаче трех тел, о применении в механике принципа наименьшего действия, о задаче вращения твердого тела вокруг неподвижной точки («гироскоп Лагранжа»), по теории волн на поверхности жидкости и др.
Как в этот период, так и после первого издания своего трактата Лагранж занимался небесной механикой и получил в этой области немало важных результатов: по расчету орбит планет и комет, по общим методам решения уравнений, определяющих движение тел Солнечной системы. В «Аналитическую механику» включены многие замечательные достижения Лагранжа, но она вошла бы в историю науки даже без них, благодаря оригинальности системы изложения и единству метода, использованного ее автором. В предисловии к первому изданию Лагранж с полным основанием писал, что «существует уже много трактатов по механике, но план настоящего трактата является совершенно новым. Я поставил себе целью свести теорию механики и методы решения связанных с нею задач к общим формулам, простое развитие которых дает все уравнения, необходимые для решения каждой задачи». И с законным удовлетворением Лагранж добавил к этому: «Я надеюсь, что способ, каким я постарался этого достичь, не оставляет желать чего-либо лучшего». Поэтому особенно поучительно познакомиться с тем, на основе каких исходных положений и какими средствами Лагранж создал стройную систему своей (аналитической) механики.
Сам Лагранж характеризовал свои методы таким образом: они «не требуют ни построений, ни геометрических или механических рассуждений; они требуют только алгебраических операций, подчиненных планомерному и однообразному ходу. Все, любящие анализ (подразумевается математический анализ, анализ бесконечно малых. — А. Г.), с удовольствием убедятся в том, что механика становится новой отраслью анализа, и будут мне благодарны за то, что этим путем я расширил область его применения»{173}. Эта характеристика, если принять ее безоговорочно, означает, что аналитическая механика Лагранжа является ветвью анализа, что она механика, лишенная «механических рассуждений», так как в ней указаны общие методы для составления уравнений любой задачи механики, после чего решение становится чисто математической проблемой.
Изданием в 1736 г. «Механики» Эйлер заложил основы аналитической механики, которой затем много занимались он сам, Клеро, Даламбер, Д. Бернулли и другие ученые XVIII в. Но у Эйлера задачи механики хотя pi решаются средствами анализа бесконечно малых, однако каждая сводится к решению уравнений по-своему. Кроме того сочинение Эйлера 1736 г. — это механика материальной точки. В своих дальнейших трудах, как мы уже знаем, Эйлер и другие ученые развили динамику твердого тела. Лагранж охватил механику системы материальных точек и тел и создал единообразный и общий метод сведения механических задач к решению соответствующих математических задач. Но ясно, что при этом ему приходилось исходить из каких-то физических, экспериментальных положений. Каковы эти положения? И насколько общими являются методы Лагранжа, действительно ли они охватывают все задачи механики?
ЖОЗЕФ ЛУИ ЛАГРАНЖ (1736-1813)Французский математик и механик. Он заложил основы аналитической механики. Ему принадлежат выдающиеся исследования во многих областях математики
Ответы на эти вопросы познакомят нас с тем, что действительно можно назвать механикой Лагранжа. Эта механика делится на две части: статику и динамику. Статика у Лагранжа основана на принципе виртуальных (возможных) скоростей. «Под виртуальной скоростью следует понимать скорость, которую тело, находящееся в равновесии, готово принять в тог момент, когда равновесие нарушено, т. е. ту скорость, какую тело фактически получило бы в первое мгновение своего движения». Принцип виртуальных скоростей формулируется так: «Если какая-либо система любого числа тел, или точек, на каждую из которых действуют любые силы, находится в равновесии и если этой системе сообщить любое малое движение, в результате которого каждая точка пройдет бесконечно малый путь, представляющий ее виртуальную скорость, то сумма сил, помноженных каждая соответственно на путь, проходимый по направлению силы точкой, в которой она приложена, будет всегда равна нулю, если малые пути, проходимые в направлении сил, считать положительными, а проходимые в противоположном направлении считать отрицательными»{174}.
