Ричард Фейнман - Фейнмановские лекции по физике 1. Современная наука о природе, законы механики
Перейдем теперь к следующему вопросу. Что произойдет, если тело с массой m и скоростью v столкнется с покоящимся телом с массой 2m? Воспользовавшись принципом относительности Галилея, можно легко ответить на этот вопрос. Попросту говоря, нам нужно опять садиться в машину, идущую со скоростью–v/2 (фиг. 10.7), и наблюдать за только что описанным процессом.
Фиг. 10.7. Неупругое соударение между телами с массами m и 2m.
Скорости, которые мы при этом увидим, будут равны
После соударения масса 3m покажется нам движущейся со скоростью v/2. Таким образом, мы получили, что отношение скоростей до и после соударения равно 3:1, т. е. образовавшееся тело с массой 3m будет двигаться в три раза медленней; И в этом случае снова выполняется общее правило: сумма произведений массы на скорость остается той же как до, так и после соударения: то + 0 равно 3m•v/3. Вы видите, как постепенно шаг за шагом устанавливается закон сохранения импульса.
Итак, мы рассмотрели столкновение одного тела с двумя. Используя те же рассуждения, можно предсказать результаты столкновения одного тела с тремя телами, двух тел с тремя телами и т. д. На фиг. 10.8 как раз показан случай разлета масс 2m и 3m из состояния покоя.
Фиг. 10.8. Разлет тел с массами 2m и 3m.
В каждом из этих случаев выполняется одно и то же правило: масса первого тела, умноженная на его скорость, плюс масса второго тела, умноженная на его скорость, равны произведению полной массы на скорость ее движения. Все это – примеры сохранения импульса. Итак, начав с простого случая симметричных равных масс, мы установили закон сохранения для более сложных случаев. В сущности это можно сделать для любого рационального отношения масс, а поскольку любое число может быть со сколь угодно большой точностью заменено рациональным, то закон сохранения импульса справедлив для любых масс.
§ 4. Импульс и энергия
Во всех предыдущих примерах мы рассматривали только случаи, когда два тела сталкиваются и слипаются или с самого начала были скреплены вместе, а потом разделяются взрывом. Однако существует множество примеров соударений, в которых тела не сцепляются, как, например, столкновение двух тел равной массы и одинаковой скорости, которые затем разлетаются в разные стороны. На какой–то краткий миг они соприкасаются и сжимаются. В момент наибольшего сжатия они останавливаются и их кинетическая энергия полностью переходит в энергию упругого сжатия (они как две сжатые пружины). Эта энергия определяется из кинетической энергии, которой обладали тела до столкновения и которая равна нулю в момент их остановки. Однако кинетическая энергия теряется только на одно мгновение. Сжатое состояние, в котором находятся наши тела, – это все равно что заряд в предыдущих примерах, который при взрыве выделяет энергию. В следующее мгновение происходит нечто подобное взрыву – тела разжимаются, отталкиваются друг от друга и разлетаются в стороны. Эта часть процесса вам тоже хорошо знакома: тела полетят в разные стороны с одинаковыми скоростями. Однако скорости отдачи, вообще говоря, будут меньше тех начальных скоростей, при которых они столкнулись, ибо для взрыва используется не вся энергия, а только какая–то ее часть, но это уже зависит от свойств материала, из которого сделаны тела. Если это мягкий материал, то кинетическая энергия почти не выделяется, но если это что–то более упругое, то тела более охотно отскакивают друг от друга. Неиспользованный остаток энергии превращается в тепло и вибрацию, тела нагреваются и дрожат; впрочем, энергия вибрации тоже вскоре превращается в тепло. В принципе можно сделать тела из столь упругого материала, что на тепло и вибрацию не будет расходоваться никакой энергии, а скорости разлета в этом случае будут практически равны начальным. Такое соударение мы называем упругим.
Тот факт, что скорости до и после соударения равны, – заслуга не закона сохранения импульса, а закона сохранения энергии, но то, что скорости разлета после симметричного соударения равны друг другу, в этом уже повинен закон сохранения импульса.
Точно таким же способом можно разобрать случай соударения тел с различными массами, различными начальными скоростями, различными упругостями и определить конечные скорости и потерю кинетической энергии; но мы не будем сейчас подробно разбирать эти явления.
Упругое соударение особенно часто встречается между системами, у которых нет никаких внутренних механизмов, никаких «шестеренок, маховиков или других частей». В таких случаях кинетическая энергия не может ни на что растратиться: ведь разлетающиеся тела находятся в тех же условиях, что и налетающие. Поэтому между элементарными объектами соударение всегда или почти всегда упругое. Говорят, например, что соударение между атомами и молекулами абсолютно упругое. Хотя это действительно очень хорошее приближение, но и эти соударения не абсолютно упругие; в противном случае трудно было бы понять, откуда у газа берется энергия на излучение тепла и света. Иногда при столкновениях молекул газа испускаются инфракрасные лучи, однако это случается крайне редко и к тому же излученная энергия очень мала, так что для многих целей столкновения молекул газа можно рассматривать как абсолютно упругие.
Давайте разберем интересный пример упругого столкновения двух тел равных масс. Если такие тела ударяются друг о друга с какой–то равной скоростью, то по соображениям симметрии они должны разлететься в стороны с той же скоростью. Но давайте посмотрим на этот процесс в несколько другой ситуации, когда одно из тел движется со скоростью v, а другое покоится. Что произойдет в этом случае? Такая задача не нова для нас. Нужно посмотреть из автомобиля, движущегося рядом с одной из частиц, на симметричное соударение. Мы увидим, как движущееся тело столкнется с покоящимся и остановится, а то, которое раньше покоилось, полетит вперед, причем в точности с той же скоростью, с которой двигалось первое. Тела попросту обменяются своими скоростями. Это легко можно подтвердить экспериментально. Вообще если два тела движутся навстречу друг другу с различными скоростями, то при упругом соударении они просто обмениваются скоростями.
Другой пример почти абсолютно упругого взаимодействия дает нам магнетизм. Положите пару U–образных магнитов на наши скользящие бруски в воздушном желобе так, чтобы они отталкивались друг от друга. Если теперь потихоньку подтолкнуть один из брусков к другому, то он, не касаясь, оттолкнет его, а сам остановится. Второй же брусок полетит вперед.
Закон сохранения импульса – очень полезная штука. Он позволяет решить многие проблемы, не входя в детали процесса. Нас, например, совершенно не интересовали детали движения газа при взрыве заряда, но тем не менее мы могли предсказать, во сколько раз одно тело будет двигаться быстрее второго при их разлете. Другой интересный пример – это ракетный двигатель. Ракета большой массы М с огромной скоростью V (относительно самой ракеты) извергает сравнительно небольшое количество m газа. Чтобы сохранить импульс, ракета начинает двигаться с небольшой скоростью v. Используя закон сохранения импульса, можно подсчитать, что v=(m/M)V. Однако по мере извержения скорость ракеты становится все больше и больше. Механизм действия ракетного двигателя в точности сходен с явлением отдачи ружья; здесь не нужен воздух, чтобы отталкиваться от него.
§ 5. Релятивистский импульс
Уже на нашей памяти закон сохранения импульса претерпел некоторые изменения. Они, однако, не коснулись самого закона как такового, просто изменилось понятие импульса. В теории относительности, как оказалось, импульс уже не сохраняется, если его понимать так же, как и прежде. Дело в том, что масса не остается постоянной, а изменяется в зависимости от скорости, а потому изменяется и импульс. Это изменение массы происходит по закону
где m0– масса покоящегося тела, c – скорость распространения света. Из этой формулы видно, что при обычных скоростях (если v не очень велико) m очень мало отличается от m0, а импульс поэтому с очень хорошей точностью выражается старой формулой.
Компоненты импульса для одной частицы можно записать в виде
где v2=v2x+v2y+v2z. Если просуммировать x–компоненты импульсов всех взаимодействующих частиц, то эта сумма как до столкновения, так и после окажется одной и той же. Это и есть закон сохранения импульса в направлении оси х. То же можно сделать и в любом другом направлении.
