Александр Петров - Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор
Продолжая сравнение с электродинамикой, вспомним, что электромагнитное излучение генерируется переменным дипольным моментом. А при каких условиях возникает гравитационное излучение? Чтобы ответить на этот вопрос, объясним, что такое дипольный момент и моменты других порядков массивного тела.
Вспомним, что потенциал точечной массы в теории Ньютона
Если вместо точки взять сферическое тело (однородный шар) той же массы M с центром, где раньше была точка, то значение потенциала вне тела не изменится.
При несферичности рассматриваемого тела выражение для потенциала изменится, и изменения будут связаны непосредственно с отклонениями от сферичности. Величину отклонения можно представить так. Если сферическую составляющую принять за исходную симметрию, то первая степень отклонения (грубая) – дипольная, следующая (более «тонкая») – квадрупольная, и т. д. Тогда значение потенциала в выбранной точке можно представить в виде:
Здесь d – дипольный момент, а D – квадрупольный. Формула является символической: в ней не учтены коэффициенты, а также векторный и тензорный характер некоторых величин. Но она показывает, что при удалении от источника каждый из последующих членов ряда дает все меньший вклад в формирование потенциала.
В электродинамике излучение определяется изменением дипольнного момента (рис. 10.1) В гравитации дипольный момент, который является вектором, определяется следующим образом: из начала координат к каждому элементу массы ΔM проводится радиус-вектор R, после чего величины ΔM·R векторно суммируются по всем элементам массы. Ясно, что выбрав начало координат в центре масс, мы получим дипольный момент тождественно равный нулю. Это можно сделать всегда, поскольку в гравитации, в отличие от электромагнетизма, нет противоположных зарядов (нет отрицательных масс). Следовательно, не может быть и гравитационного излучения, связанного с дипольным моментом.
Гравитационное излучение возникает при изменении квадрупольного момента – D. Вспомним о моменте инерции, который является мерой инертности тела во вращательном движении, точно так же, как инертная масса – мерой инерции в поступательном движении. Квадрупольный момент – это момент инерции из которого исключена шаровая составляющая, определяющая основной (симметричный) вклад в потенциал.
Если в электродинамике мощность электромагнитного излучения пропорциональна квадрату второй производной по времени от дипольного момента, то в ОТО гравитационное излучение возникает из-за переменной асимметрии, определяемой квадрупольным моментом D, и мощность излучения пропорциональна квадрату третьей производной по времени от D. Значит, как бы тело не было деформировано, оно не излучает, если покоится.
Проиллюстрируем на простых примерах, какие системы излучают гравитационные волны, а какие – нет.
Рассмотрим сначала однородный шар, который пульсирует без изменения сферичности. Излучает ли гравитационные волны такой объект? Ответ – нет. Действительно, если сферичность не нарушена, то из наших рассуждений о потенциале следует, что на любой стадии пульсации квадрупольный момент просто не возникает. Приведем другой пример. Пусть любое аксиально симметричное однородное тело типа дыни вращается, а ось вращения совпадает с осью симметрии. Хотя «дыня» и имеет квадрупольный момент, но при таком вращении он не будет меняться. Значит, снова не будет излучения.
Теперь приведем простые примеры излучающих систем. Рассмотрим два тела одинаковой массы m и незначительных габаритов, соединенные пружинкой длины l. Выберем направление одной из осей координат, скажем 0х, вдоль пружины, а середину пружины – за начало координат. У такой системы будет единственная независимая ненулевая компонента D. В состоянии покоя это Dxx = ml 2. Через нее определяются Dyy = Dzz = —Dxx/2. Теперь заставим грузы колебаться относительно своих положений равновесия с амплитудой L и частотой. Тогда компоненты квадрупольного момента станут переменными:
Dхх (t) = ml 2 + 4mL (l cos ωt + L cos2ω t).
Соотношение Dyy = Dzz = —Dxx/2 сохранится. Производная по времени третьего порядка этих величин ненулевая, значит, система излучает гравитационные волны.
Другой пример ближе к жизни, и мы рассмотрим его подробнее. Пусть две звезды одинаковой массы m, вращаются по одной и той же окружности вокруг общего центра масс. Они все время находятся друг против друга на расстоянии 2R (рис. 10.3). Пусть плоскость орбиты совпадает с плоскостью x0y, а угловая частота вращений равна ω, она связана с орбитальным периодом как T = 2π/ω. Тогда ненулевыми компонентами квадрупольного момента являются:
Dxx = 2mR2 (3 cos2ωt – 1), Dyy = 2mR 2 (3 sin2 ωt – 1),
Dxy = 3mR2 sin2ωt, D zz = – 2mR2
Рис. 10.3. Модель двух звезд
Начальное состояние соответствует t = 0, массы расположены на оси 0x. В данный момент компоненты квадруполя будут такими же, как в модели с пружинкой, т. е. независимой является только одна компонента.
Конечно, и такая система должна излучать. Поскольку движение обусловлено гравитационным взаимодействием, то и R связаны уравнением m2R = Gm2/4R 2. Тогда, после усредненияя по периоду и представления через R, мощность гравитационного излучения выражается формулой:
Система излучает тем интенсивнее, чем меньше R (или чем больше частота вращения, как следует из их уравнения связи).
Чтобы проиллюстрировать насколько мало гравитационное излучение, приведем следующий пример. В Солнечной системе, наибольшая мощность гравитационного излучения возникает в паре Солнце + Юпитер. Это излучение можно рассчитать по аналогичной формуле. В результате получим примерно 5 кВт (это всего лишь мощность пяти больших бытовых кипятильников советских времен). Энергия, теряемая Солнечной системой на гравитационное излучение за год, совершенно ничтожна по сравнению с кинетической энергией этих тел.
Необходимо сказать несколько слов о направленности гравитационного излучения. В случае с грузами на пружинке по ее оси вообще нет излучения, а максимум – в направлении перпендикулярном пружинке. В случае кругового движения интенсивность излучения в направлении перпендикулярном плоскости орбиты в несколько раз больше, чем в направлениях, лежащих в плоскости. Связаны эти особенности с тем, что излучаемая гравитационная волна является поперечной.
Источники гравитационного излучения
– Возьмем две звезды, разгоним почти до скорости света и столкнем. Что произойдет?
– Нехилый коллайдер получится…
Из форумаСлабость гравитационного излучения оставляет мало шансов для его регистрации. Где же искать подходящие источники? Наш соотечественник, замечательный физик-теоретик Владимир Фок (1898–1974), рис. 10.4, был первым, кто в 1948 году обратил внимание на возможность детектирования гравитационного излучения, возникающего при астрофизических катастрофах. Детальный анализ позволяет сделать вывод, что наиболее перспективными источниками гравитационных волн будут компактные объекты, размеры которых сравнимы с гравитационным радиусом, а скорости сравнимы со скоростью света. Согласно расчетам, при слиянии двух нейтронных звезд излучается около 1045 Дж в виде всплеска гравитационного излучения, т. е. около 1 % от их полной энергии.
Теперь подробнее о космических источниках. Вспышки сверхновых. Итак, наиболее перспективные источники гравитационных волн должны быть компактными и иметь большие скорости движения масс, формирующих ненулевой квадрупольный момент.
Такие экстремальные физические условия могут сопутствовать рождению нейтронных звезд или черных дыр во время коллапсов ядер массивных звезд. Эту модель эволюции звезд мы вкратце рассмотрели выше. Невозможно дать надежный расчет этого процесса, хотя и можно ожидать значительной несферичности коллапса. Современная приблизительная оценка энергии, излученной в виде гравитационных волн за время коллапса, – 10–9–10–3 М⊙c2, где М⊙ – масса Солнца. Такой импульс от сверхновой в нашей Галактике (пусть с расстояния порядка 10 кпк) дошел бы до нас с амплитудой h ~ 10–21. Вспышки сверхновых в нашей Галактике происходят в среднем 1 раз в 30–50 лет, поэтому вероятность зарегистрировать такое событие не очень велика.
