Луи де Бройль - Революция в физике
Рождение волновой механики (1923 г.) немного опередило квантовую механику (1925 г.). Кроме того, первая оказалась лучше подготовленной к применению математического аппарата.
Прежде всего хотелось бы обрисовать причины, которые привели в 1923…1924 гг. к установлению основных идей волновой механики. Открытый к этому времени эффект Комптона и изучение фотоэффекта рентгеновских лучей лишний раз замечательно подтверждали представление Эйнштейна о световых квантах. Теперь уже едва ли можно было оспаривать дискретную природу излучения и существование фотонов. Следовательно, с еще большей остротой встала грозная дилемма: что такое свет – волны или частицы? Хочешь не хочешь, а для полного описания свойств излучения нужно было применять поочередно картину то волн, то частиц. Соотношение Эйнштейна между частотой и энергией, введенное им на основе его теории фотонов, ясно показало, что этот дуализм излучения неразрывно связан с самим существованием квантов. Тогда возникает законный вопрос, не связан ли этот странный дуализм волн и частиц, примером которого так замечательно и несомненно явился свет, с глубокой и скрытой природой кванта действия? Не следует ли ожидать, что двойственность такого типа обнаружится везде, где только появляется постоянная Планка. Но тогда почти сам собой возникает вопрос: поскольку свойства электрона в стационарном состоянии атома описываются с помощью кванта действия, не можем ли мы предположить, что и электрон так же двойствен, как и свет? На первый взгляд такая идея показалась очень дерзкой. Ведь мы всегда представляли себе электрон в виде электрически заряженной материальной точки, которая подчиняется законом классической динамики (улучшенным в некоторых случаях релятивистскими поправками, которые ввел Эйнштейн). Электрон никогда явно не проявлял волновых свойств, таких, скажем, какие проявляет свет в явлениях интерференции и дифракции. Попытка приписать волновые свойства электрону, когда этому нет никаких экспериментальных доказательств, могла выглядеть как ненаучная фантазия. И тем не менее, как только возникла идея, что электрон, возможно, обладает такими свойствами, и не только электрон, но и вообще материальные частицы, так в голову начали приходить разные беспокойные соображения.
Мы объяснили в первой главе, каким образом теория Якоби позволяет в классической динамике, сгруппировать возможные траектории материальных точек в заданном поле так, что траектории каждой группы напоминают лучи волн, распространяющихся по законам геометрической оптики. Этот замечательный параллелизм позволил рассматривать принцип наименьшего действия как одну из форм принципа Ферма. Несомненно, это формальное сходство между способами описания динамики и геометрической оптики не ускользнуло от такого блестящего математика, как Гамильтон. Однако, по-видимому, он не пытался придать этому физического смысла. Кроме того, этому препятствовали некоторые обстоятельства. Во-первых, и прежде всего, теория Якоби установила связь между распространением волны и группой возможных траекторий данной частицы. Однако согласно классическим представлениям частица в любом физически осуществляющемся случае описывает совершенно строго определенную траекторию. Группа же возможных траекторий – это абстракция, рассматривать которую математик, конечно, имеет полное право, физик же, казалось бы, не должен придавать ей какой-либо конкретный смысл.
Во-вторых, некоторое расхождение в математической форме, по-видимому, указывало на то, что движение частицы нельзя на деле физически сопоставить с распространением волны. Если приравнять скорость частицы и скорость волны, то мы столкнемся с неприятным фактом: эти две скорости по-разному войдут в формулировку принципов Мопертюи и Ферма соответственно. И хотя эти трудности были хорошо известны, но появление тех новых идей, о которых мы уже говорили, придавало волнующую остроту мысли о том, что в классической аналитической механике формальная аналогия между траекториями частиц и световыми лучами устанавливается через посредство понятия действия, т е. в точности того самого понятия, которое послужило основой для введения квантов. Не подтверждает ли это в самом деле ту мысль, что квант действия служит соединительным звеном между корпускулярным и волновым представлениями о материальных частицах?
И, наконец, еще одно указание. Если правда, что электрон в макроскопических процессах всегда ведет себя как обычная частица, какие есть основания при описании поведения электрона внутри атома навязывать чуждые ему условия квантования, в которых появляются целые числа? Такой способ ограничения классической динамики, когда она применяется к электрону, ясно говорит о ее неполноте и указывает на то, что свойства электрона не всегда такие, как у простой частицы. Если вдуматься, то привлечение целых чисел для характеристики стационарных состояний атомных электронов оказывается уже весьма симптоматичным.
В самом деле, мы часто встречаемся с целыми числами в тех разделах физики, где рассматриваются волны: в теории упругости, акустике, оптике. Они появляются при описании стоячих волн, интерференции, резонанса. Поэтому вполне допустимо предположить, что интерпретация условий квантования может привести к волновой точке зрения на электроны внутри атома. Таким образом, попытаться приписать электрону или вообще всем частицам, подобно фотонам, двойственную природу, наделить их волновыми и корпускулярными свойствами, связанными между собой квантом действия, – такая задача представлялась крайне необходимой и плодотворной.
2. Частица и волна, связанная с ней
В чем же в основном заключалась задача? По существу в установлении определенного соответствия между распространением некоей волны и движением частицы, причем величины, описывающие волну, должны быть связаны с динамическими характеристиками частицы соотношением, которое содержит постоянную Планка h. При том желательно установить это соответствие таким образом, чтобы общие правила, выражающие связь волны и частицы, примененные к фотону, давали хорошо известные и проверенные соотношения Эйнштейна между фотоном и световой волной.
Прежде чем приступить к решению этой задачи, было естественно рассмотреть самый простой случай: задачу о равномерном и прямолинейном движении частицы с заданными постоянными значениями энергии и импульса. Из соображений симметрии следовало сопоставить ей волну, распространяющуюся в том же направлении. Теперь оставалось только определить, как связаны между собой частота и длина этой волны с динамическими характеристиками частицы. Аргументы, основанные на общих принципах теории относительности, приводят к следующему результату: частота волны, связанной с движущейся частицей, равна энергии частицы, деленной на постоянную Планка, а длина волны – частному от деления постоянной Планка на импульс частицы. Такая связь между частицей и соответствующей ей волной обладает еще и тем большим преимуществом, что она в точности совпадает с соотношением Эйнштейна для фотона и световой волны. Так был осуществлен знаменитый синтез, ибо оказалось, что для частиц материи и для света установлен один и тот же вид дуализма.
Есть еще один, совершенно независимый путь, который ведет к такому же способу установления связи между частицей и соответствующей ей волной. Мы уже говорили, что теория Якоби очень прозрачно намекает на идею о сходстве траекторий частиц с лучом некоей волны, отождествляя интеграл действия частицы с волновым интегралом Ферма, так что принцип наименьшего действия совпадает с принципом минимального времени. Если выполнить эту операцию, то мы снова тут же находим, что, с одной стороны, энергия пропорциональна частоте, с другой стороны, импульс обратно пропорционален длине волны. Остается только положить коэффициент пропорциональности равным h(что совершенно естественно и согласуется с идеей объединения этих двух сторон дуализма посредством кванта действия), чтобы снова получить соотношение, уже установленное с помощью теории относительности. Эта новая цепочка рассуждений нигде явно не обращается к понятиям теории относительности. Поэтому она может быть целиком развита в рамках ньютоновой динамики.
Из этих основных результатов легко вывести самое важное следствие, касающееся соотношения между скоростью частицы и скоростью связанной с ней волны. В волновой теории наряду с монохроматическими волнами данной частоты рассматриваются также волновые пакеты, представляющие собой совокупность различных монохроматических волн. Среди этих пакетов интересно рассмотреть те, которые образовались наложением монохроматических волн с частотами, лежащими внутри небольшого спектрального интервала вблизи основной частоты. В действительности, монохроматические волны – это абстракция, никогда не реализующаяся на практике. То, что мы называем монохроматическими волнами, всегда представляет собой группу волн, заполняющих небольшой спектральный интервал. Если изучать распространение волнового пакета в таких условиях, когда скорость распространения монохроматических волн есть функция их частоты, то оказывается, что группа волн в целом обладает скоростью, отличной от скорости распространения отдельных волн, составляющих эту группу. Эта групповая скорость определяется средней частотой группы волн и зависит от изменения индивидуальных волновых скоростей с изменением частоты. Указанная зависимость дается формулой Рэлея – знаменитого английского физика, впервые указавшего на это свойство. Можно попытаться применить эту теорию групповой скорости к волне, связанной с частицей, а затем установить соответствие между движущейся прямолинейно и равномерно частицей, обладающей заданной энергией, и распространением в том же направлении группы волн, средняя частота которых равна этой энергии, деленной на h. Применяя формулу Рэлея, мы видим тогда, что скорость волнового пакета равна скорости, которую классическая механика приписывает рассматриваемой частице. Это замечательное совпадение знаменательно, ибо оно означает, что частица в процессе движения остается связанной со своей группой волн. Но сверх того, общая теория колебаний гласит, что групповая скорость есть не что иное, как скорость переноса энергии волнами. Поскольку в нашей дуалистической концепции энергия приписывается частице, то естественно, что групповая скорость связанных с частицей волн должна быть равна скорости частицы.
