Ричард Фейнман - 3a. Излучение. Волны. Кванты
Каким образом происходит расплывание изображения в ширину? Расплывание означает, что существует некая вероятность того, что частица отправится вверх или вниз, т. е. приобретет компоненту импульса, направленную вверх или вниз. (Мы говорим и о вероятности и о частице, потому что дифракционную картину можно обнаружить с помощью счетчика частиц, а когда счетчик регистрирует частицу, скажем, в точке С на фиг. 38.2, то он регистрирует частицу целиком. А это значит в классическом смысле, что частица имеет вертикальный импульс, направляющий ее из щели прямо в точку С.)
Чтобы примерно представить себе степень расплывания импульса, напишем, что вертикальный импульс ру размазан на р0Dq, где р0 — горизонтальный импульс. Чему же равно Dq в размазанной картине? Известно, что первый минимум наблюдается при угле Dq таком, что в этом направлении волна от дальнего края щели должна отстать на одну свою длину от волны от ближнего края (мы об этом уже говорили в гл. 30). Стало быть, Dq равно l/B, и тем самым Dpy в этом эксперименте равно р0l/В. Чем меньше будет В, чем точнее будет определяться положение частицы, тем шире будет дифракционная картина. Вспомните, что когда мы закрывали щели в эксперименте с микроволнами, то интенсивность в стороне от щели возрастала. Значит, чем уже щель, тем шире становится картина дифракции, тем правдоподобнее, что мы обнаружим у частицы импульс, направленный в сторону. И неопределенность в вертикальном импульсе, действительно, обратно пропорциональна неопределенности в у, потому что их произведение равно p0l.
Фиг. 38.3. Определение импульса с помощью дифракционной решетки.
Но l — это длина волны, а р0 — импульс, и в соответствии с квантовой механикой их произведение — это постоянная Планка h. Получается, что произведение неопределенностей в вертикальном импульсе и в вертикальной координате есть величина порядка h:
(38.3)
Мы не можем приготовить систему, в которой положение частицы по вертикали было бы известно, и в то же время предсказывать с определенностью, превышающей h/Dy, насколько ее движение отклонится от вертикали. Неопределенность в вертикальном импульсе всегда больше h/Dy, если Dy — неопределенность, с какой мы знаем положение частицы.
Некоторые люди утверждают, что в квантовой механике все неправильно. Когда, говорят они, частица приближалась слева, ее вертикальный импульс был равен нулю. А когда она прошла через щель, стало известно ее положение. И то, и другое может быть определено с любой точностью.
Совершенно верно. Мы можем зарегистрировать частицу и определить, каково ее положение и каким должен был быть ее импульс, чтобы она попала туда, куда она попала. Это все верно. Но соотношение неопределенностей (38.3) ничего общего с этим не имеет. Уравнение (38.3) относится к возможности предсказания, а не к замечаниям о том, что произошло в прошлом. Какая польза в том, что мы скажем: «Я знал, каков был импульс до прохода частицы сквозь щель, а теперь узнал к тому же и координату»? Ведь теперь-то знание об импульсе частицы уже утеряно. Раз она прошла сквозь щель, то мы уже не можем больше предсказывать ее вертикальный импульс. Речь идет о теории, способной к предсказаниям, а не об измерениях после того, как все завершилось. Мы и обсуждаем вопрос о том, что можно предвидеть.
Попробуем теперь по-иному подойти к этим вещам. Приведем другой пример того же явления, на этот раз с более подробными количественными оценками. Прежде мы измеряли импульс классическим способом: мы рассматривали направление, скорость, углы, и тому подобное; в этом заключался способ получения импульса путем классического анализа. Но раз импульс связан с волновым числом, то в природе существует и другой, совершенно иной путь измерения импульса частиц (все равно, фотона или любой другой), не имеющий классического аналога. В нем используется уравнение (38.2) и просто измеряется длина волны. Давайте попробуем таким способом измерить импульс.
Пусть имеется решетка со множеством линий (фиг. 38.3), на которую направлен пучок частиц. Мы неоднократно рассматривали эту задачу: когда у частиц есть определенный импульс, то вследствие интерференции в некотором направлении возникает очень резкий максимум. Мы также говорили о том, насколько точно можно определить этот импульс, т. е. какова разрешающая сила решетки. Мы не будем заново это все выводить, а сошлемся на гл. 30; там мы выяснили, что относительная неопределенность в длине волны, связанная с данной решеткой, равна 1/Nm, где N — количество линий решетки, а т — порядок дифракционного максимума. Иначе говоря,
(38.4)
Перепишем эту формулу в виде
(38.5)
где расстояние L показано на фиг. 38.3. Это — разность двух расстояний: расстояния, которое должна пройти волна (или частица), отразившись от нижней части решетки, и расстояния, которое нужно пройти, отразившись от верха решетки.
Другими словами, волны, образующие дифракционный максимум,— это волны, приходящие от разных частей решетки. Первыми прибывают волны, вышедшие снизу — это начало цуга волн, а потом следуют дальнейшие части цуга, от средних частей решетки, пока не придут волны от верха: точка цуга, удаленная от его начала на расстояние L. Значит, чтобы получить в спектре резкую линию, отвечающую определенному импульсу [с неопределенностью, даваемой формулой (38.4)], для этого нужен цуг волн длиной L. Если цуг чересчур короток (короче L), то не вся решетка будет действовать. Волны, образующие спектр, будут отражаться при этом только от небольшого куска решетки, и решетка не будет хорошо работать — получится сильное размытие по углу. Чтобы его сузить, надо использовать всю ширину решетки так, чтобы хотя бы на одно мгновение весь цуг волн улегся одновременно на решетке и рассеялся ото всех ее частей. Потому-то длина цуга должна быть равна L; тогда только неопределенность в длине волны окажется меньше, чем указано формулой (38.5). Заметим, что
(38.6)
поэтому
(38.7)
где L — длина цуга волн.
Это означает, что когда цуг волн короче L, то неопределенность в волновом числе превосходит 2p/L. Иначе говоря, неопределенность в волновом числе, умноженная на длину волнового цуга (назовем ее на минутку Dx), больше 2p. Мы назвали ее Dx потому, что это как раз неопределенность в положении частицы. Если цуг волн тянется только на конечном промежутке, то лишь там мы и можем обнаружить частицу с неопределенностью Dx;. Это свойство волн (тот факт, что произведение длины цуга волн на неопределенность в волновом числе, связанном с этим цугом, не меньше 2p) опять-таки хорошо знакомо всем, кто занимался волнами. И никакого отношения к волновой механике оно не имеет. Просто нельзя очень точно подсчитать число волн в конечной их веренице.
Объяснить это можно и по-другому. Пусть длина цуга волн L. Так как на концах цуга волны спадают (как на фиг. 38.1), то количество волн на длине L известно с точностью порядка ± 1. Но число волн на длине L равно kL/2p. Значит, неопределенность в k равна 2p/L . Опять получилась формула (38.7) как простое свойство всяких волн. Это остается верным всегда: и для волн в пространстве, когда k есть количество радиан на 1 см, a L — длина цуга, и для волн во времени, когда w есть число колебаний в 1 сек, а Т — «длина» во времени того же цуга. Иначе говоря, если цуг волн длится только конечное время Т, то неопределенность в частоте дается формулой
(38.8)
Мы все время старались подчеркнуть, что это свойство самих волн, что все это хорошо известно, например в теории звука. А квантовомеханические применения этих свойств опираются на толкование волнового числа как меры импульса частицы по правилу р=hk, так что (38.7) уже утверждает, что Dp»h/Dx. Это устанавливает предел классическому представлению об импульсе. (Естественно, оно и должно быть как-то подвергнуто ограничению, если мы собираемся изображать частицы как волны!) И очень хорошо, что мы нашли правило, которое каким-то образом берется указать, где нарушаются классические представления.
§ 3. Дифракция на кристалле
Теперь рассмотрим отражение волн вещества от кристалла. Кристалл — это твердое тело, состоящее из множества одинаковых атомов, расположенных стройными рядами. Как можно расположить этот строй атомов, чтобы, отражая в данном направлении данный пучок света (рентгеновских лучей), электронов, нейтронов, чего угодно, получить сильный максимум? Чтобы испытать сильное отражение, лучи, рассеянные от всех атомов, должны быть в фазе друг с другом. Не может быть так, чтобы точно половина волн была в фазе, а половина — в противофазе, тогда все волны исчезнут. Нужно, стало быть, найти поверхности постоянной фазы; это, как мы уже объясняли раньше, плоскости, образующие равный угол с начальным и конечным направлениями (фиг. 38.4).
