Ричард Фейнман - 6a. Электродинамика
Как можно найти закон преобразования полей? Нам известны законы преобразования j и А, и мы знаем, как выражаются поля через j и А, так что отсюда нетрудно найти преобразования для Е и В. (Вы можете подумать, что у каждого вектора есть нечто, дополняющее его до четырехвектора, так что, например, с вектором Е можно связать некую величину, которая сделает его четырехвектором. То же самое относится и к В. Увы, это не так. Все оказывается совершенно непохожим на то, что можно было бы ожидать.) Для начала возьмем магнитное поле В, которое, конечно, равно СXА. Теперь мы знаем, что х -, у- и z-компоненты векторного потенциала — это только одна часть, помимо них есть еще и t-компонента. Кроме того, мы знаем, что у аналога оператора С наряду с производными по х, у и z есть также производная по t. Давайте же попытаемся найти, что получится, если мы произведем замену у на t, или z на t, или еще что-нибудь в этом духе.
Прежде всего обратите внимание на форму слагаемых, образующих компоненты В:
В слагаемые, образующие x-компоненту В, входят только z- и y-компоненты А. Предположим, мы назвали эту комбинацию производных и компонент «zy-штукой», или сокращенно Fzy . Мы просто имеем в виду, что
(26.15)
Подобной же «штуке» равна и компонента В, но на сей раз это будет «xz-штука», а Вz, разумеется, равна «yx-штуке». Таким образом,
(26.16)
Посмотрим теперь, что получится, если мы попытаемся смастерить «штуки» типа «t», т. е. Fxtили Ftz(ведь природа должна быть красива и симметрична по х, у, z и t). Что такое, например, Ftz? Разумеется, она равна
Но вспомните, ведь At=j, поэтому предыдущее выражение равно
Такое выражение нам уже встречалось раньше. Это почти z-компонента поля Е. Почти, за исключением неверного знака. Впрочем, мы забыли, что в четырехмерном градиенте производная по t идет со знаком, противоположным производным по х, у и z. Так что на самом деле нам следует взять более умное обобщение, т. е. считать
(26.17)
Теперь она в точности равна — Ег. Так же можно построить Ftxи Ftvи получить три выражения:
А что, если оба индекса внизу будут t? Или оба будут х? Тогда мы получим выражения типа
т. е. просто нуль.
Итак, у нас есть шесть таких «F-штук». Кроме них, есть еще шесть полученных перестановкой индексов, но они не дают ничего нового, ибо
Fxy= -Fyx
и т. п. Таким образом, из шести возможных попарных комбинаций четырех значений индексов мы получили шесть различных физических объектов, которые представляют компоненты В и Е.
Чтобы записать члены F в общем виде, мы воспользуемся обобщенными индексами m и v, каждый из которых может быть 0, 1, 2 или 3, обозначающих соответственно (как и в обычных четырехвекторах) t, x, у или z. Кроме того, все будет прекрасно согласовываться с нашими четырехмерными обозначениями, если Fmvопределить как
Fmv =СmAv-СvAm, (26.19)
помня при этом, что
То, что мы нашли, можно сформулировать так: в природе существуют шесть величин, которые представляют различные стороны чего-то одного. Электрическое и магнитное поля, которые в нашем обычном медленно движущемся мире (где нас не беспокоит конечность скорости света) рассматривались как совершенно отдельные векторы, в четырехмерном пространстве уже не будут ими. Они — часть некоторой новой «штуки».
Наше физическое «поле» на самом деле шестикомпонентный объект Fmv . Вот как обстоит дело в теории относительности. Полученные результаты для Fmvсобраны в табл. 26.1.
Таблица 26.1 · компоненты fmv
Вы видите, что мы сделали фактически обобщение векторного произведения. Мы начали с ротора и с того факта, что его свойства преобразования в точности такие же, как свойства преобразования двух векторов — обычного трехмерного вектора А и оператора градиента, который, как нам известно, ведет себя подобно вектору. Возвратимся на минуту к обычному векторному произведению в трехмерном пространстве, например к моменту количества движения частицы. При движении частицы в плоскости важной характеристикой оказывается комбинация (xvy—yvx), а при движении в трехмерном пространстве появляются три подобные величины, которые мы назвали моментом количества движения:
Затем (хотя сейчас вы, может быть, об этом и забыли) мы сотворили в гл. 20 (вып. 2) чудо: эти три величины превратились в компоненты вектора. Чтобы сделать это, мы приняли искусственное соглашение: правило правой руки. Нам просто повезло. И повезло потому, что момент Ltj (i и j равны х, у или z) оказался антисимметричным объектом, т. е.
Lij= - Lji, Lii=0.
Из девяти возможных его величин независимы лишь три. И вот оказалось, что при изменении системы координат эти три оператора преобразуются в точности, как компоненты вектора.
То же свойство позволяет записать в виде вектора и элемент поверхности. Элемент поверхности имеет две части, скажем dx и dy, которые можно представить вектором da, ортогональным к поверхности. Но мы не можем сделать этого же для четырех измерений. Что будет нормалью к элементу dxdy? Куда она направлена — по оси z или по t?
Короче говоря, для трех измерений оказывается, что комбинацию двух векторов типа Lij, к счастью, снова можно представить в виде вектора, поскольку возникают как раз три члена, которые, выходит, преобразуются подобно компонентам вектора. Для четырех измерений это, очевидно, невозможно, поскольку независимых членов шесть, а шесть величин вы никак не представите в виде четырех.
Однако даже в трехмерном пространстве можно составить такую комбинацию векторов, которую невозможно представить в виде вектора. Предположим, мы взяли какие-то два вектора a=(ах, ay, az) и b=(bx, by, bz) и составили всевозможные различные комбинации компонент типа axbx, axbyи т. д. Всего получается девять возможных величин:
Эти величины можно назвать Т' ij.
Если теперь перейти в повернутую систему координат (скажем, относительно оси z), то при этом компоненты а и b изменяются. В новой системе ахдолжно быть заменено на
Аналогичные вещи происходят и с другими компонентами. Девять компонент изобретенной нами величины Tij., разумеется, тоже изменяются. Например, Txy =ахbупереходит в
или
Каждая компонента Tij — это линейная комбинация компонент tij.
Итак, мы обнаружили, что из векторов можно сделать не только векторное произведение aXb, три компоненты которого преобразуют подобно вектору. Искусственно мы из двух векторов tij . можем сделать «произведение» другого сорта. Девять его компонент преобразуются при вращении по сложным правилам, которые можно выписать. Подобный объект, требующий для своего описания вместо одного индекса два, называется тензором. Мы построили тензор «второго ранга», но так же можно поступить и с тремя векторами и получить тензор третьего ранга, а из четырех векторов — тензор четвертого ранга и т. д. Тензором первого ранга является вектор.
