Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред
Но это снова уравнение (33.48)! Мы напрасно потратили время и получили то, что уже давно нам известно.
Можно было бы обратиться к (33.30) Bz2=Вz1, но у вектора В отсутствует z-компонента! Осталось только одно условие — (33.31) Ву2=Ву1. Для наших трех волн
Подставляя вместо Ei,Erи Etволновые выражения при x=0 (ибо дело происходит на границе), мы получаем следующее граничное условие:
Учитывая равенство всех w и ky , снова приходим к условию kxE0 + k'xE'0=k"xE"0. (33.50)
Это дает нам уравнение для величины Е, отличное от (33.48). Получившиеся два уравнения можно решить относительно E'0 и Е"0. Вспоминая, что k’x=-kx, получаем
Вместе с (33.45) или (33.46) для k”xэти формулы дают нам все, что мы хотели узнать. Следствия полученного результата мы обсудим в следующем параграфе.
Если взять поляризованную волну с вектором Е, параллельным плоскости падения, то Е, как это видно из фиг. 33.7, будет иметь как x-, так и y-компоненту. Вся алгебра при этом будет менее хитрая, но более сложная. (Можно, правда, несколько уменьшить работу в этом случае, выражая все через магнитное поле, которое целиком направлено по оси z.)
Фиг. 33.7. Поляризации волн, когда поле Е в падающей волне параллельно плоскости падения.
При этом мы найдем
и
Давайте посмотрим, будет ли наш результат согласовываться с тем, что мы получали раньше. Выражение (33.3) мы вывели в вып. 3, когда находили отношение интенсивностей отраженной и падающей волн. Однако тогда мы рассматривали только вещественный показатель преломления. Для вещественного показателя (или вещественных k) можно записать:
kx=kcosqi=(wn1/c)cosqi,
k"x=k"cosqt=(wn2/c)cosqt.
Подставляя это в уравнение (33.51), получаем
что нисколько не похоже на уравнение (33.3). Если, однако, мы воспользуемся законом Снелла и избавимся от всех n, то сходство будет восстановлено. Подставляя n2=n1(sinqi/sinqt) и умножая числитель и знаменатель на sinqt, получаем
Обратите внимание, что в числителе и знаменателе стоят просто синусы (qi-qt) и (qi+qt), поэтому
Поскольку амплитуды E'0 и E0 измеряются в том же самом материале, интенсивности пропорциональны квадратам электрических полей и мы получаем тот же результат, что и раньше. Подобным же образом формула (33.53) тоже аналогична формуле (33.4).
Для волн, падающих перпендикулярно, qi=0 и qt=0. Формула (33.56) выглядит как 0/0, от чего нам пользы мало. Однако мы можем вернуться назад к формуле (33.55), согласно которой
Этот результат, естественно, применим для «любой» поляризации, поскольку для перпендикулярного луча нет никакой особой «плоскости падения».
§ 5. Отражение от металлов
Теперь мы можем использовать наши результаты для понимания интересного явления — отражения от металлов. Почему металлы блестят? В предыдущей главе мы видели, что показатель преломления металлов для некоторых частот имеет очень большую мнимую часть. Давайте посмотрим, какова будет интенсивность отраженной волны, когда свет падает из воздуха (с показателем n=1) на материал с n=- inI. При этом условии уравнение (33.55) дает (для нормального падения)
Для интенсивности отраженной волны нам нужны квадраты абсолютных величин Е'0и Е0:
или
Для материала с чисто мнимым показателем преломления получается стопроцентное отражение!
Металлы не отражают 100% света, но все же многие из них хорошо отражают видимый свет. Другими словами, мнимая часть их показателя очень велика. Однако мы видели, что большая мнимая часть показателя означает сильное поглощение. Итак, имеется общее правило: если какой-то материал оказывается очень хорошим поглотителем при какой-то частоте, то отражение волн от его поверхности очень велико и очень мало волн попадает внутрь. Этот эффект вы можете наблюдать на сильных красителях. Чистые кристаллы самых сильных красителей имеют «металлический» блеск. Вероятно, вы замечали, что на краях бутылки с фиолетовыми чернилами засохший краситель имеет золотистый металлический блеск, а засохшие красные чернила имеют иногда зеленоватый металлический оттенок. Красные чернила поглощают из проходящего света зеленые лучи, так что, если концентрация чернил очень велика, они будут давать сильное поверхностное отражение при частоте зеленого света.
Вы можете очень эффектно продемонстрировать это. Намажьте стеклянную пластинку красными чернилами и дайте им высохнуть. Если вы направите пучок белого света на обратную сторону пластинки (фиг. 33.8), то сможете наблюдать проходящий красный свет и отраженный зеленый свет.
Фиг. 33.8. Материал, который сильно поглощает свет с частотой w, отражает его с той же частотой.
§ 6. Полное внутреннее отражение
Если свет идет из материала, подобного стеклу, с вещественным показателем преломления n, большим единицы, в воздух с показателем n2, равным единице, то, согласно закону Снелла,
sinqt=nsinqi.
Угол qt преломленной волны становится равным 90° при угле падения qiравном некоторому «критическому углу» qc, определяемому равенством nsinqc= l. (33.59)
Что происходит при qi, большем, чем критический угол? Вы уже знаете, что здесь возникает полное внутреннее отражение. Но откуда оно все-таки берется?
Вернемся назад к уравнению (33.45), которое дает волновое число k"xдля преломленной волны. Из него получилось
Но так как ky=ksinqi, a k=wn/с, то
Если nsinqi больше единицы, то k"2х становится отрицательным, a k"x — чисто мнимым, скажем ±ik. Однако теперь вы знаете, что это значит! «Преломленная» волна при этом будет иметь вид [см. (33.34)]
т. е. с увеличением х амплитуда волны будет либо экспоненциально расти, либо падать, но сейчас, разумеется, нам нужен только отрицательный знак. При этом амплитуда волны справа от границы будет вести себя, как показано на фиг. 33.9.
Фиг. ЗЗ.9. Полное внутреннее отражение.
Обратите внимание, что k1по порядку величины равно а/с, т. е. l0 равна длине волны света в пустоте. Когда свет полностью отражается от внутренней поверхности стекло — воздух, то в воздухе возникают поля, но они не выходят за пределы расстояний, равных по порядку величины длине волны света.
Теперь нам ясно, как нужно отвечать на такой вопрос: если световая волна в стекле падает на поверхность под достаточно большим углом, то она полностью отражается; если же придвинуть к поверхности другой кусок стекла (так что «поверхность» фактически исчезает), то свет будет проходить. В какой точно момент происходит этот переход? Ведь наверняка должен существовать непрерывный переход от полного отражения к полному его отсутствию! Ответ, разумеется, состоит в том, что если прослойка воздуха настолько мала, что экспоненциальный «хвост» волны в воздухе имеет еще ощутимую величину во втором куске стекла, то он будет «трясти» электроны и порождать новую волну (фиг. 33.10).
Фиг. 33.10. Для очень маленькой щели внутреннее отражение не будет «полным», за щелью появляется прошедшая волна.
Некоторое количество света будет проходить через систему. (Конечно, наше решение неполно; нам следовало бы заново решить все уравнения для случая тонкого слоя воздуха между двумя областями стекла.)
