Александр Филиппов - Многоликий солитон
(φ')2/ω02 + φ2 Е/Е0, Е0 = 1/2mω02 l2. (4.4)
Полную энергию удобно выразить через амплитуду φM. В крайней точке, где φ = φM, угловая скорость равна нулю. Из уравнения (4.3) поэтому следует, что
Е/Е0 = 4 sin2(φM/2) φM2,
где приближенное равенство, как всегда, относится к малым колебаниям.
С законом сохранения энергии связаны два новых способа наглядного графического изображения движений и других механических систем. Обычный способ — это изображение зависимости φ(t). Например, график простого гармонического колебания φ = φMsin(ω0t) позволяет наглядно представить положение грузика в разные моменты времени (рис. 4.6).
С помощью этого графика можно также найти скорость грузика в любой заданный момент. Она определяется углом наклона касательной BА к кривой в точке А с координатами (t, φ(t)), т. е. φ' = tg α. На графике, однако, не видно, как распределяется полная энергия при движении и как она связана с амплитудой. Для наглядного представления изменения кинетической и потенциальной энергий грузика нарисуем энергетическую диаграмму.
Нарисуем зависимость потенциальной энергии грузика U(φ) от его положения. В формуле (4.4) потенциальную энергию представляет слагаемое φ2, а кинетическую Т — слагаемое (φ')2/ω02. На графике удобнее откладывать отношения U/Е0, Т/Е0, Е/Е0.
Отложим по горизонтальной оси отрезок ОА, длина которого равна φ(t), а в направлении вертикальной оси отложим отрезок (АА2) = Е/Е0, причем (АА1) = U/Е0, (А1А2) = Т/Е0 (рис. 4.7, б). Так как полная энергия постоянна, то точка А2 при изменении t будет двигаться по прямолинейному отрезку А2М, а точка А' — по параболе (U(φ)/Е0) = φ2. На энергетической диаграмме видно, как перераспределяется полная энергия между кинетической и потенциальной составляющими при различных значениях φ и как амплитуда связана с полной энергией. Если нарисовать над энергетической диаграммой график φ(t) (рис. 4.7, α), то можно наглядно увидеть зависимость кинетической и потенциальной энергии от времени. Когда маятник движется из нижнего положения к крайнему правому, где φ = φM, изображающая точка А2 движется направо до точки М, а затем возвращается налево. Как при этом меняются кинетическая и потенциальная энергия, видно достаточно ясно, но скорость определять не очень удобно (нужно вычислять квадратный корень из длины отрезка А1А2). Чтобы следить также и за положением и скоростью грузика, удобно представить движение еще одним способом.
Нарисуем под нашими двумя диаграммами еще одну, на которой по оси абсцисс по-прежнему будем откладывать значения φ, а по оси ординат отложим значения φ'/ω0 в тот же момент времени (рис. 4.7, в). Тогда при движении грузика точка А3 будет описывать окружность с радиусом, равным φM = . Это видно из уравнения (4.4), так как (ОА) = φ(t) и (АА3) = φ'(t)/ω0. В случае простого гармонического колебания (ОА) = φMsin(ω0t), (АА3) = φMcos(ω0t), и ясно, что точка А3 вращается по окружности равномерно.
В этом месте внимательный, но нетерпеливый читатель воскликнет: «Но ведь это же очевидно! С этого начиналось описание гармонического колебания. Более того, мы вернулись просто к определению тригонометрических функций. Всем известно, что если точка равномерно движется по окружности единичного радиуса с угловой скоростью ω0, то ее проекции на прямые, проходящие через центр, определяют тригонометрические функции. В данном случае сразу ясно, что (ОА) = φMsin(ω0t)».
Все это, конечно, верно. Но дело в том, что нарисовать зависимость скорости φ' от положения φ можно, не только не решая уравнения маятника, но даже и забыв о его существовании. Достаточно знать закон сохранения энергии и выражение для энергии через координату и скорость, а это можно сделать не только для малых качаний маятника и не только для маятника! Пользуясь диаграммой зависимости скорости от положения, можно, наоборот, приближенно найти, как меняется положение точки со временем.
Диаграмму, на которой изображена зависимость скорости от координаты при различных значениях энергии, называют фазовой диаграммой. «Фаза» здесь означает состояние частицы, определяемое ее координатой и скоростью.
По фазовой диаграмме можно приближенно найти и график движения. Читателю полезно обдумать, как это сделать.
Язык фазовых диаграмм
Математика — тоже язык!
Приписывается Дж. У. ГиббсуЯзык для всех равно чужой,
И внятный каждому...
Ф. ТютчевОсновная ценность всего этого длинного, не самого простого и не самого красивого способа решения задачи о малых колебаниях маятника состоит, конечно, в том, что этим же способом можно изучить любые колебания. При этом на новом языке «большие» (нелинейные) колебания выглядят ненамного сложнее малых. Иными словами, новый язык лучше приспособлен для решения сложных задач, и его нужно изучать. Свободное владение языком означает, что при чтении вам не нужно переводить с него на родной. Поначалу этого достичь нелегко, и приходится заниматься переводом. С течением времени, попрактиковавшись в применениях этого языка, вы вдруг замечаете, что начинаете на нем думать, и необходимость в переводе возникает все реже и реже.
Чем же отличается новый язык от обычного? Главное, разумеется, не в том, что мы изобразили движение другим способом, а в том, что мы сумели совсем по-новому подойти к проблеме. Действительно, нарисовать фазовую диаграмму можно, не решая никаких дифференциальных уравнений. Изобразив на одном и том же графике в плоскости (φ, φ'/ω0) кривые, соответствующие разным значениям энергии, легко сразу находить максимальные значения отклонения маятника и его скорости. Нетрудно также составить общее представление о характере движения с данной энергией. Чтобы понять, как движется маятник, вовсе не нужно знать его точное положение в любой момент времени, гораздо важнее знать общий характер его движений, который и дается фазовой диаграммой. К тому же любое конкретное движение можно восстановить по известной зависимости φ' от φ при данной энергии, которая называется фазовой траекторией. Нетрудно указать приближенный способ восстановления обычной траектории по фазовой траектории, но соответствующее вычисление можно сделать сколь угодно точным, затратив соответственно большее время. Для ЭВМ решение любой такой конкретной задачи вообще не проблема.
Язык фазовых диаграмм и фазовых траекторий — очень современный, и систематически применять его начали сравнительно недавно. Закон сохранения энергии применялся значительно раньше. В особенно ясной форме это сделал знаменитый немецкий математик Карл Вейерштрасс (1815—1897) *). Он рассматривал выражение для энергии (4.3) как дифференциальное уравнение для функции φ(t) и выражал его решения с помощью так называемых эллиптических функций, теории которых он, после Абеля и Якоби, придал законченный современный вид. Обобщения этой глубокой математической теории и сегодня применяются математиками и физиками для решения сложных нелинейных уравнений и играют очень важную роль в математической теории солитонов. Мы с сожалением должны пройти мимо этих прекрасных зданий, построенных математиками. Для описания их конструкций требуется слишком сложный математический язык. К счастью, основные свойства движений маятника и других не очень сложных систем можно описать на более простом и наглядном языке фазовых диаграмм и фазовых траекторий.
*) См. о нем в книге: Замечательные ученые. — М.: Наука, 1980. — Библиотечка «Квант», вып. 9, в очерке о Софье Васильевне Ковалевской, талант которой он высоко ценил.
Впервые для этих целей его применил в 1885 г. французский математик, преподаватель Политехнической школы **) в Париже Анри Леоте (1847—1916). Он в основном занимался различными проблемами механики и использовал фазовые диаграммы для изучения работы некоторых автоматических регуляторов. Леоте не пытался создать какую-либо общую математическую теорию, и его подход к фазовым диаграммам был, скорее, физическим. Он не знал, что за три года до этого были уже заложены основы более общей математической теории. В 1882 г. 28-летний французский математик Анри Пуанкаре (1854—1912) начал публиковать серию работ под названием «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями», в которых он разработал качественный и геометрический подход к изучению решений дифференциальных уравнений.
