Ричард Фейнман - 6. Электродинамика
§ 3. Все о классической физике
В табл. 18.1 сведено все, что знала фундаментальная классическая, физика, т. е. та физика, которая была известна до 1905 г. В одной этой таблице есть все. С помощью этих уравнений можно понять все достижения классической физики.
Прежде всего, мы имеем уравнения Максвелла, записанные как в расширенном виде, так и в короткой математической форме. Затем есть сохранение заряда, которое даже записано в скобках, потому что сохранение заряда можно вывести из имеющихся полных уравнений Максвелла. Так что в таблице имеются даже небольшие излишки. Дальше мы записали закон для силы, поскольку все имеющиеся электрические и магнитные поля ничего не говорят нам до тех пор, пока мы не знаем, как они действуют на заряды. Однако, зная Е и В, мы можем найти силу, действующую на объект с зарядом q, который движется со скоростью v. Наконец, имеющаяся сила ничего не говорит нам, пока мы не знаем, что происходит, когда сила ускоряет что-то; нам необходимо знать закон движения, который говорит, что сила равна скорости изменения импульса. {Помните? Об этом говорилось в начале курса.) Мы даже включили эффекты теории относительности, записав импульс в виде р=m0vЦ(1-v2/c2).
Но если мы действительно хотим законченности, нам следует добавить еще один закон — закон тяготения Ньютона? и мы поставили его в конце.
Итак, в одной небольшой таблице мы собрали все фундаментальные законы классической физики, даже хватило места выписать их словами и еще с некоторым излишком. Это великий момент. Мы покорили большую высоту. Мы на вершине К-2, мы почти подготовлены покорить теперь Эверест, т. е. квантовую механику.
В основном мы пытались научиться понимать эти уравнения. А теперь, когда мы собрали их воедино, мы собираемся разобраться, что означают эти уравнения, что нового скажут они о том, чего мы еще не поняли. Мы много потрудились, чтобы вскарабкаться к этой точке. Это потребовало больших усилий, а теперь мы собираемся начать приятное путешествие — спуск с горы в долину, там мы увидим все, чего мы достигли.
§ 4. Передвигающееся поле
А теперь о новых следствиях. Они возникают из сопоставления всех уравнений Максвелла. Сначала давайте посмотрим, что произошло бы в особенно простом случае. Предположим, что изменяется только одна координата у всех величин, т. е. рассмотрим задачу одного измерения.
Случай этот показан на фиг. 18.3. Перед нами заряженный лист, помещенный на плоскости yz. Сначала он неподвижен, а затем мгновенно приобретает скорость и в направлении у и движется с этой постоянной скоростью. Вас может беспокоить присутствие такого «бесконечного» ускорения, но фактически это не имеет значения; просто представьте себе, что скорость достигает значения и очень быстро. Итак, мы внезапно получаем поверхностный ток J (J — ток на единицу ширины в z-направлении). Чтобы упростить проблему, предположим, что имеется еще неподвижный лист, заряженный противоположно и наложенный на плоскость yz, так что электростатические эффекты отсутствуют.
Фиг. 18.3. Бесконечная заряженная плоскость неожиданно приводится в поступательное движение.
Возникают магнитное и электрическое поля, распространяющиеся от плоскости с постоянной скоростью.
Представим себе также (хотя на фигуре мы показали лишь то, что происходит в конечной области), что лист простирается до бесконечности в направлениях ±у и ±z. Другими словами, здесь мы имеем случай, когда тока нет, а затем внезапно появляется однородный лист с током. Что же произойдет?
Мы знаем, что, когда имеется лист с током в положительном y-направлении, возникнет магнитное поле, направленное в отрицательном z-направлении при х>0 и в положительном z-направлении при х<0. Мы могли бы найти величину В, используя тот факт, что контурный интеграл от магнитного поля будет равен току на e0с2. Мы получили бы, что В-J/2e0с2 (поскольку ток I в полосе шириной w равен Jw, а контурный интеграл от В есть 2Вw).
Так мы определяем поле вблизи листа для малых значений х, но, поскольку мы считаем лист бесконечным, хотелось бы получить с помощью тех же рассуждений магнитное поле подальше (для больших значений х). Однако это означало бы, что в момент, когда мы включаем ток, магнитное поле внезапно изменяется повсюду от нуля до конечной величины. Но погодите! При внезапном изменении магнитного поля возникают огромные электрические эффекты. (Как бы оно ни менялось, электрические эффекты возникнут.) Так что в результате движения заряженного листа создается меняющееся магнитное поле и, следовательно, должны возникнуть электрические эффекты.
Фиг. 18.4. Зависимость величины В (или E) от х. а — спустя время t после начала движения заряженной плоскости; б — поля от заряженной плоскости, начавшей двигаться в момент t= Т в сторону отрицательных у; в — сумма а и б.
Если электрические поля образовались, они должны начинаться с нуля и меняться к какому-то значению. Возникнет некая производная dE/dt, которая будет вносить вклад вместе с током J в создание магнитного поля. Так разные уравнения зацепляются друг за друга, и мы должны попытаться найти решения для всех полей сразу.
Рассматривая уравнения Максвелла порознь, нелегко сразу получить решение. Поэтому сначала мы сообщим вам ответ, а затем уже проверим, действительно ли оно удовлетворяет уравнениям. Ответ: Поле В, которое мы вычислили, на самом деле создается прямо вблизи листа с током (для малых х). Так и должно быть, потому что если мы проведем крошечную петлю вокруг листа, то в ней не будет места для прохождения электрического потока. Но поле В подальше (для больших х) сначала равно нулю. Оно в течение некоторого времени остается нулевым, а затем внезапно включается. Короче говоря, мы включаем ток и немедленно вблизи него включается магнитное поле с постоянным значением В; затем включенное поле В распространяется от области источника. Через некоторое время появляется однородное магнитное поле всюду, вплоть до некоторого значения х, а за ним оно равно нулю. Вследствие симметрии оно распространяется как в положительном, так и в отрицательном x-направлении.
Фиг.18.5. То же, что на фиг. 18.3 (вид сверху).
Поле Е делает то же самое. До момента t=0 (когда мы включаем ток) поле повсюду равно нулю. Затем, спустя время t, как Е, так и В постоянны вплоть до расстояния х = vt, а за ним равны нулю. Поля продвигаются вперед, подобно приливной волне, причем фронт их движется с постоянной скоростью, которая оказывается равной с, но пока мы будем называть ее v. Изображение зависимости величины Е или В от х (как они кажутся в момент t) показано на фиг. 18.4, а. Если снова посмотреть на фиг. 18.3 в момент t, то мы увидим, что область между x=±vt «занята» полями, но они еще не достигли области за ней. Мы снова подчеркиваем — мы предполагаем, что лист заряжен, а следовательно, поля Е и В простираются бесконечно далеко в у- и z-направлениях. (Мы не можем изобразить бесконечный лист, поэтому мы показываем лишь то, что происходит в конечной области.)
Теперь мы хотим проанализировать количественно то, что происходит. Чтобы сделать это, рассмотрим два поперечных разреза: вид сверху, если смотреть вниз вдоль оси у (фиг. 18.5), и вид сбоку, если смотреть назад вдоль оси z (фиг. 18.6). Начнем с вида сбоку. Мы видим заряженный лист, движущийся вверх; магнитное поле направлено внутрь страницы для +x и от страницы для -х, а электрическое поле направлено вниз всюду, вплоть до x=± vt.
Посмотрим, согласуются ли такие поля с уравнениями Максвелла. Сначала нарисуем одну из тех петель, которыми мы пользовались для вычисления контурного интеграла, скажем прямоугольник Г2 на фиг. 18.6.
Фиг. 18.6. То же, что на фиг. 18.3 (вид сбоку).
Заметьте, что одна сторона прямоугольника проходит в области, где есть поля, а другая — в области, до которой поля еще не дошли. Через эту петлю проходит какой-то магнитный поток. Если он изменяется, должна появиться э. д. с. вдоль петли. Если волновой фронт движется, мы будем иметь меняющийся магнитный поток, поскольку поверхность, внутри которой существует поле В, непрерывно увеличивается со скоростью v. Поток внутри Г2 равен произведению В на ту часть поверхности внутри Г2) где есть магнитное поле. Скорость изменения потока (поскольку величина В постоянна) равна величине поля, умноженной на скорость изменения поверхности. Скорость изменения поверхности найти легко. Если ширина прямоугольника Г2 равна L, то поверхность, в которой В существует, меняется как LvDt за отрезок времени Dt (см. фиг. 18.6). Скорость изменения потока тогда равна BLv. По закону Фарадея она должна быть равна контурному интегралу от Е вокруг Г2, который есть просто EL. Мы получаем равенство
