Ричард Фейнман - 5. Электричество и магнетизм
(4.24)
(4.25)
Не забывайте, что потенциал j имеет физический смысл: это потенциальная энергия, которую имел бы единичный заряд, если его перенести в указанную точку пространства из некоторой отправной точки.
§4. E = -Сj
С какой стати нас заинтересовал потенциал j? Силы, действующие на заряды, даются величиной Е — электрическим полем. Вся соль в том, что Е из j очень легко получить, не труднее, чем вычислить производную. Рассмотрим две точки с одинаковыми у и z, но с разными х: у одной х, у другой x+Dx;; поинтересуемся, какую работу надо совершить, чтобы перенести единичный заряд из одной точки в другую. Путь переноса — горизонтальная линия от хдо х+Dx.Работа равна разности потенциалов в двух точках
Но работа против действия силы на том же отрезке равна
Мы видим, что
(4.26)
Равным образом, Еу=-дj/ду, Ez=-dj/dz; все это в обозначениях векторного анализа можно подытожить так:
4.27)
Это дифференциальная форма уравнения (4.22). Любую задачу, в которой заряды заданы, можно решить, вычислив по (4.24) или (4.25) потенциал и рассчитав по (4.27) поле. Уравнение (4.27) согласуется также с тем, что получается в векторном анализе: с тем, что для любого скалярного поля
(4.28)
Согласно уравнению (4.25), скалярный потенциал j представляется трехмерным интегралом, подобным тому, который мы писали для Е. Есть ли какая выгода в том, что вместо Е вычисляется j? Да. Для вычисления j нужно взять один интеграл, а для вычисления Е—три (ведь это вектор). Кроме того, обычно 1/r интегрировать легче, чем x/r3. Во многих практических случаях оказывается, что для получения электрического поля легче сперва подсчитать j, а после взять градиент, чем вычислять три интеграла для Е. Это просто вопрос удобства.
Но потенциал j имеет и глубокий физический смысл. Мы показали, что Е закона Кулона получается из Е=-gradj, где j дается уравнением (4.22). Но если Е—это градиент скалярного поля, то, как известно из векторного исчисления, ротор Е должен обратиться в нуль:
(4.29)
Но это и есть наше второе основное уравнение электростатики — уравнение (4.6). Таким образом, мы показали, что закон Кулона дает поле Е, удовлетворяющее этому условию. Так что до сих пор все в порядке.
На самом деле то, что СXЕ равно нулю, было доказано еще до того, как мы определили потенциал. Мы показали, что работа обхода по замкнутому пути равна нулю, т. е. по любому пути.
Мы видели в гл. 3, что в таком поле СXЕ должно быть всюду равно нулю. Электрическое поле электростатики — это поле без роторов.
Вы можете потренироваться в векторном исчислении, доказав равенство нулю вектора СXЕ другим способом, т. е. вычислив компоненты вектора СXЕ для поля точечного заряда по формулам (4.11). Если получится нуль, то принцип наложения обеспечит нам обращение СXЕ в нуль для любого распределения зарядов.
Следует подчеркнуть важный факт. Для любой радиальной силы выполняемая работа не зависит от пути и существует потенциал. Если вы вдумаетесь в это, то увидите, что все наши доказательства того, что интеграл работы не зависит от пути, сами определялись только тем, что сила от отдельного заряда была радиальна и сферически симметрична. То, что зависимость силы от расстояния имела вид 1/r2, не имело никакого значения, при любой зависимости от r получилось бы то же самое. Существование потенциала и обращение в нуль ротора Е вытекают на самом деле только из симметрии и направленности электростатических сил. По этой причине уравнение (4.28) или (4.29) может содержать в себе только часть законов электричества.
§ 5. Поток поля Е
Теперь мы хотим вывести уравнение, которое непосредственно и в лоб учитывает тот факт, что закон силы — это закон обратных квадратов. Кое-кому кажется «вполне естественным», что поле меняется обратно пропорционально квадрату расстояния, потому что «именно так, мол, все распространяется». Возьмите световой источник, из которого льется поток света; количество света, проходящее через основание конуса с вершиной в источнике, одно и то же независимо от того, насколько основание удалено от вершины. Это с необходимостью следует из сохранения световой энергии. Количество света на единицу площади — интенсивность — должно быть обратно пропорционально площади, вырезанной конусом, т. е. квадрату расстояния от источника. Ясно, что по той же причине и электрическое поле должно изменяться обратно квадрату расстояния!
Но здесь ведь нет ничего похожего на «ту же причину». Ведь никто не может сказать, что электрическое поле есть мера чего-то такого, что похоже на свет и что поэтому должно сохраняться. Если бы у нас была такая «модель» электрического поля, в которой вектор поля представлял бы направление и скорость (ну, например, был бы током) каких-то вылетающих маленьких «дробинок», и если бы эта модель требовала, чтобы число дробинок сохранялось и ни одна не могла пропасть после вылета из заряда, вот тогда мы могли бы говорить, что «чувствуем» неизбежность закона обратных квадратов. С другой стороны, непременно должен был бы существовать математический способ выражения этой физической идеи. Если бы электрическое поле было подобно сохраняющимся дробинкам, то оно менялось бы обратно пропорционально квадрату расстояния и мы могли бы описать такое поведение некоторым уравнением, т. е. чисто математическим путем. Если мы не утверждаем, что электрическое поле сделано из дробинок, а понимаем, что это просто модель, помогающая нам прийти к правильной математической теории, то ничего плохого в таком способе рассуждений нет.
Предположим, что мы на мгновение представили себе электрическое поле в виде потока чего-то сохраняющегося и текущего повсюду, за исключением того места, где расположен сам заряд (должен же этот поток откуда-то начинаться!).
Фиг. 4.5. Поток E из поверхности S равен нулю.
Представим что-то (что именно — неважно), вытекающее из заряда в окружающее пространство. Если бы Е было вектором такого потока (как h — вектор теплового потока), то вблизи от точечного источника оно обладало бы зависимостью 1/r2. Теперь мы желаем использовать эту модель для того, чтобы глубже сформулировать закон обратных квадратов, а не просто говорить об «обратных квадратах». (Вам может показаться удивительным, почему вместо того, чтобы сходу, прямо и открыто сформулировать столь простой закон, мы хотим трусливо протащить то же самое, но с заднего хода. Немного терпения! Это окажется небесполезным.) Спросим себя: чему равно «вытекание» Е из произвольной замкнутой поверхности в окрестности точечного заряда? Для начала возьмем простенькую поверхность — такую, как показано на фиг. 4.5. Если поле Е похоже на поток, то суммарное вытекание из этого ящика должно быть равно нулю. Это и получается, если под «вытеканием» из этой поверхности мы понимаем поверхностный интеграл от нормальной составляющей Е, т. е. поток Е в том смысле, который был установлен в гл. 3. На боковых гранях нормальная составляющая Е равна нулю. На сферических гранях нормальная составляющая Е равна самой величине Е, с минусом на меньшей грани и с плюсом на большей. Величина Е убывает как 1/r2, а площадь грани растет как r2, так что их произведение от r не зависит. Приток Е через грань а в точности гасится оттоком через грань b. Суммарный поток через S равен нулю, а это все равно, что сказать, что
(4.30)
на этой поверхности.
Теперь покажем, что две «торцевые» поверхности могут быть без ущерба для величины интеграла (4.30) перекошены относительно радиуса. Хотя это верно всегда, но для наших целей
Фиг. 4.6. Поток Е из поверхности S равен нулю.
достаточно только показать, что это справедливо тогда, когда «торцы» малы и стягивают малый угол с вершиной в источнике, т. е. в действительности бесконечно малый угол. На фиг. 4.6 показана поверхность S, «боковые грани» которой радиальны, а «торцы» перекошены. На рисунке они не малы, но надо представить себе, что на самом деле они очень малы. Тогда поле Е над поверхностью будет достаточно однородным, так что можно взять его значение в центре. Если торец наклонен на угол q, то его площадь возрастает в 1/cosq раз, а Еn — компонента Е, нормальная к поверхности торца, убывает в cosq раз, так что произведение ЕnDа не меняется. Поток из всей поверхности S по-прежнему равен нулю.
