Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред
§ 6. Волны в металлах
Теорию, которая в этой главе развивалась для твердых материалов, после очень небольшой модификации вполне можно применить и к хорошим проводникам типа металлов. На некоторые из электронов в металлах не действует сила, привязывающая их к какому-то частному атому; это так называемые «свободные» электроны, ответственные за проводимость. Там есть и другие электроны, которые связаны в атомах, и изложенная выше теория непосредственно приложима именно к ним. Однако их влияние обычно «забивается» эффектами электронов проводимости. Поэтому сейчас мы рассмотрим только эффекты
свободных электронов.
Если на электрон не действует никакая восстанавливающая сила, но сопротивление его движению все же остается, то уравнение движения электрона отличается от (32.1) только отсутствием члена w20х. Так что единственное, что нам нужно сделать,— это положить w20=0 во всей остальной части наших выводов. Но есть еще одно отличие. В диэлектриках мы должны различать среднее и локальное поля и вот почему: в изоляторе каждый из диполей занимает фиксированное положение по отношению к другим диполям. Но в металле из-за того, что электроны проводимости движутся и меняют свое место, поле, действующее на них, в среднем как раз равно среднему полю Е. Так что поправка, которую мы сделали к формуле (32.5), не годится, т. е. применение формулы (32.28) для электронов проводимости недопустимо. Следовательно, выражение для показателя преломления в металле должно выглядеть подобно выражению (32.27), в котором следует положить w0=0, именно:
Это только вклад от электронов проводимости, которые, как мы думаем, играют в металлах главную роль.
Но теперь мы даже знаем, какой нам взять величину g, ибо она связана с проводимостью металла. В гл. 43 (вып. 4) мы обсудили связь проводимости металлов с диффузией свободных электронов в кристалле. Электроны движутся по ломаному пути от одного соударения до другого, а между этими толчками они летят свободно, за исключением ускорения из-за какого-то среднего электрического поля (фиг. 32.2).
Фиг. 32.2. Движение свободного электрона.
Там же, в гл. 43 (вып. 4), мы нашли, что средняя скорость дрейфа равна просто произведению ускорения на среднее время между соударениями t. Ускорение равно qeE/m, так что
vдрейф=(qeE/m)t. (32.39)
В этой формуле поле Есчитается постоянным, так что скорость vдрейф тоже постоянна. Поскольку в среднем ускорение отсутствует, сила торможения равна приложенной силе. Мы определили g через силу торможения, равную gmv [см. (32.1)], или qeE, поэтому получается, что
g=1/t (32.40)
Несмотря на то что мы не можем с легкостью измерять непосредственно t, можно определять его, измеряя проводимость металла. Экспериментально обнаружено, что электрическое поле Е порождает в металлах ток с плотностью j, пропорциональной Е (для изотропного материала, конечно):
причем постоянная пропорциональности s называется проводимостью.
В точности то же самое мы ожидаем из выражения (32.39),
если положить
j=Nqevдрейф,
тогда
Таким образом, t, а следовательно, и g могут быть связаны с наблюдаемой электрической проводимостью. Используя (32.40] и (32.41), можно переписать нашу формулу (32.38) для показателя преломления в виде
где
Это и есть известная формула для показателя преломления в металлах.
§ 7. Низкочастотное и высокочастотное приближения; глубина скин-слоя и плазменная частота
Наш результат для показателя преломления в металлах —формула (32.42) — предсказывает для распространения волн с разными частотами совершенно различные характеристики. Прежде всего давайте посмотрим, что получается при низких частотах. Если величина w достаточно мала, то (32.42) можно приближенно записать в виде
Возведением в квадрат можно проверить, что
таким образом, для низких частот
Вещественная и мнимая части n имеют одну и ту же величину. С такой большой мнимой частью n волны в металлах затухают очень быстро. В соответствии с выражением (32.36) амплитуда волны, идущей в направлении оси z, уменьшается как
Запишем это в виде
е-z/d, (32.47)
где d — это то расстояние, на котором амплитуда волны уменьшается в е=2,72 раза, т. е. приблизительно в 3 раза. Амплитуда такой волны, как функция от z, показана на фиг. 32.3.
Фиг. 32.3. Амплитуда поперечной электромагнитной волны в металле как функция расстояния.
Поскольку электромагнитные волны проникают в глубь металла только на это расстояние, величина d называется глубиной скин-слоя и определяется выражением
Но что все-таки мы понимаем под «низкими» частотами? Взглянув на уравнение (32.42), мы видим, что его можно приближенно заменить уравнением (32.44), только когда wt много меньше единицы и когда we0/s также много меньше единицы, т. е. наше низкочастотное приближение применимо при
w<<1/t
и
w<<s/e0. (32.49)
Давайте посмотрим, какие частоты соответствуют этому приближению для такого типичного металла, как медь. Для вычисления t воспользуемся уравнением (32.43), а для вычисления s/e0 — известными значениями s и e0. Справочник дает нам такие данные:
s=5,76·107 (ом·м)-1,
Атомный вес = 63,5 г,
Плотность = 8,9 г/см3,
Число Авогадро=6,02·1023.
Если мы предположим, что на каждый атом приходится по одному свободному электрону, то число электронов в кубическом метре будет равно
N=8,5·1028 м-3.
Используя далее
qe=1,6·10-19 кулон,
e0=8,85·10-12 ф/м,
m=9,11·10-31 кг,
получаем
t=2,4·10-14 сек,
1/t=4,l·1013 сек-1,
s/e0 = 6,5·1018 сек-1.
Таким образом, для частот, меньших чем приблизительно 1012 гц, медь будет иметь описанное нами «низкочастотное» поведение. (Это будут волны с длиной, большей 0,3 мм, т. е. очень короткие радиоволны!)
Для таких волн глубина скин-слоя равна
Для микроволн с частотой 10 000 Мгц (3-сантиметровые волны)
s=6,7·10-4 см,
т. е. волны проникают на очень малое расстояние.
Теперь вы видите, почему при изучении полостей (и волноводов) нам нужно беспокоиться только о полях внутри полости, а не о волнах в металле или вне полости. Кроме того, мы видим, почему серебрение или золочение полости уменьшает потери в ней. Ведь потери происходят благодаря токам, которые ощутимы только в тонком слое, равном глубине скин-слоя.
Рассмотрим теперь показатель преломления в металле типа меди при высоких частотах. Для очень высоких частот сот много больше единицы, и уравнение (32.42) очень хорошо аппроксимируется следующим:
Для высокочастотных волн показатель преломления в металлах становится чисто вещественным и меньшим единицы! Это следует также из выражения (32.38), если пренебречь диссипативным членом с 7, что может быть сделано при очень больших значениях w. Выражение (32.38) дает при этом
что, разумеется, эквивалентно уравнению (32.50). Раньше нам
уже встречалась величина (Nq2e/e0m)1/2, которую мы назвали
плазменной частотой (см. гл. 7, § 3, вып. 5);
Таким образом, (32.50) или (32.51) можно переписать в виде
Эта плазменная частота является своего рода «критической». Для w<wр показатель преломления металла имеет мнимую часть и происходит поглощение волн, но при w>>wp показатель становится вещественным, а металл — прозрачным. Вы знаете, конечно, что металлы в достаточной мере прозрачны для рентгеновских лучей. Но некоторые металлы прозрачны даже для ультрафиолета. В табл. 32.3 мы приводим для некоторых металлов экспериментально наблюдаемые длины волн, при которых эти металлы начинают становиться прозрачными. Во второй колонке дана вычисленная критическая длина волны lp =2pc/wp . Учитывая, что экспериментальная длина волны определена не очень хорошо, согласие с теорией следует признать замечательным.
