Ричард Фейнман - 4a. Кинетика. Теплота. Звук
Вернемся теперь к общему движению струны. Оказывается, что любое возможное движение можно рассматривать как одновременное действие некоторого числа собственных колебаний. На самом деле для описания наиболее общего движения должно быть одновременно возбуждено бесконечное число собственных гармоник. Чтобы получить некоторое представление о том, что происходит при таком сложении, давайте посмотрим, что получится при одновременном колебании двух первых собственных гармоник. Пусть первая из них колеблется так, как это показано в ряде схематических чертежей фиг. 49.3, где изображены отклонения струны через равные промежутки времени на протяжении полуцикла низшей частоты.
Предположим теперь, что одновременно с первой собственной гармоникой работает и вторая. Последовательные положения струны при возбуждении этой собственной гармоники показаны тоже на фиг. 49.3 пунктирной линией. По отношению к первой гармонике они сдвинуты по фазе на 90°. Это означает, что в начальный момент никакого отклонения не было, но скорости двух половинок струны направлены в противоположные стороны. Вспомним теперь общий принцип линейных систем: если взять любые два решения, то сумма их тоже будет решением. Поэтому перемещения, полученные сложением двух решений, показанных на фиг. 49.3, будут третьим возможным решением
Фиг. 49.3. Две гармоники, напоминающие при сложении бегущую волну.
На этом же рисунке показан и результат сложения, который начинает напоминать горб, пробегающий взад и вперед по струне от одного конца до другого, хотя с помощью только двух собственных гармоник нельзя построить достаточно хорошей картины такого движения; их нужно гораздо больше. Этот результат представляет на самом деле частный случай основного принципа линейных систем, который гласит:
Любое движение можно рассматривать как составленное из различных собственных гармоник, взятых с надлежащими амплитудами и фазами.
Значение этого принципа обусловлено тем фактом, что каждое собственное колебание — очень простая вещь — это просто синусоидальное движение во времени. По правде говоря, даже общее движение струны — еще не самая сложная вещь; существует движение куда более сложное, скажем такое, как вибрация крыльев самолета. Тем не менее даже у крыльев самолета можно обнаружить некие собственные кручения с определенными частотами. А если так, то полное движение можно рассматривать как суперпозицию гармонических колебаний (за исключением тех случаев, когда вибрация настолько велика, что система уже не может рассматриваться как линейная).
§ 3. Двумерные собственные колебания
Сейчас мы перейдем к рассмотрению очень интересного поведения собственных гармоник в двумерных колебаниях. До сих пор мы говорили только об одномерных колебаниях: натянутой струне или звуковых волнах в трубе. В конце концов мы должны добраться до трех измерений, но сначала давайте остановимся на более легком этапе — этапе двумерных колебаний. Возьмем для большей определенности прямоугольный резиновый барабан, перепонка которого закреплена по краям так, что на прямоугольном крае барабана она перемещаться не может. Пусть размеры прямоугольника будут
равны а и 6, как это показано на фиг. 49.4.
Фиг. 49.4. Колебание прямоугольной пластинки.
Прежде всего, каковы характеристики возможного движения? Можно начать с того же, с чего мы начали, когда рассматривали пример со струной. Если бы никакого закрепления не было вовсе, то можно было бы ожидать появления волн, бегущих в некотором направлении, например синусоидальной волны, описываемой функцией ехр(iwt) ехр[-i(kчx)+i(kyy)], направление движения которой зависит от относительной величины чисел kxи ky. А как теперь сделать узел на оси х, т. е. при y=0? Используя ту же идею, что и для одномерной струны, можно добавить волну, описываемую комплексной функцией
-exp(iwt)ехр[-i(kxx)-i(kyy)].
Суперпозиция этих волн в результате дает нулевое перемещение при y=0 независимо от того, каковы будут значения х и t. (Хотя эти функции будут определены и для отрицательных значений у там, где никакого барабана нет и колебаться нечему, но на это можно не обращать никакого внимания. Ведь нам хотелось устранить перемещение при у=0, и мы добились этого.) Вторую функцию в этом случае можно рассматривать как отраженную волну.
Однако нам нужно получить узел не только на линии y=0, но и на линии у=b. Как же это сделать? Решение такой задачи связано с некоторыми вещами, которыми мы занимались при изучении отражения света от кристалла. Волны, гасящие друг друга при y=0, могут сделать то же самое и при у=b, только когда 2b sin 0 равно целому числу длин волн l, (q — угол, показанный на фиг. 49.4):
ml=2bsinq, m=0, 1, 2, .... (49.7)
Точно таким же образом, т.е. сложением еще двух функций [-exp(iwt)]exp[i(kxx)+ i(kyy)] и [+exp(ict)}exp[i(kxx)-i(kyy)], каждая из которых представляет отражение другой от линии х=0, можно устроить узел и на оси у. Условие того, что линия х=а будет тоже узловой, получается так же, как и условие при у=b, т. е. 2acosq должно быть равно целому числу длин волн:
nl = 2acosq. (49.8)
Тогда окончательный результат таков: волны, «заключенные» в ящике, имеют вид стоячей волны, т. е. образуют какие-то определенные собственные гармоники.
Таким образом, если мы хотим иметь дело с собственными гармониками, то должны удовлетворить двум написанным выше условиям. Для начала давайте найдем длину волны. Исключив из уравнений (49.7) и (49.8) угол q, можно выразить длину волны через a, b, n и т. Легче всего это сделать так: сначала разделить обе части уравнений соответственно на 2b и 2a, а затем возвести их в квадрат и сложить. В результате мы получим уравнение
sin2q+cos2q =1=(nl/2a)2+(ml/2b)2,
которое легко разрешить относительно l:
Итак, мы определили длину волны через два целых числа, а по длине волны мы немедленно получаем частоту w, ибо, как известно, частота равна 2pc, деленной на длину волны.
Этот результат настолько важен и интересен, что необходимо теперь получить его строго математически без использования аналогий с отражением. Давайте представим колебание в виде суперпозиции четырех волн, подобранных таким образом, чтобы все четыре линии x=0, х=а, y=0 и у=b были узловыми. Потребуем еще, чтобы все эти волны имели одинаковую частоту, т. е. чтобы результирующее движение представляло собственное колебание. Из главы об отражении света мы уже знаем, что функция exp(iwt)exp[-i(kxx)+i(kyy)] описывает волну, идущую в направлении, указанном на фиг. 49.4. По-прежнему остается справедливым уравнение (49.6), т. е. k =w/c, с той разницей, что теперь
k2=k2x+k2y. (49.10)
Из рисунка ясно, что kx=kcosq, a ky=ksinq.
Таким образом, наше выражение для перемещения прямоугольной перепонки барабана (назовем это перемещение j запишется в виде
Хотя выглядит это довольно неприглядно, сумма таких экспонент, в сущности, не так уж громоздка. Их можно свернуть в синусы, так что перемещение, как оказывается, приобретает вид
Другими словами, получились знакомые синусоидальные колебания, форма которых тоже синусоидальна как в направлении оси х, так и в направлении оси у. Граничные условия при x= 0 и y=0 удовлетворяются автоматически. Однако мы хотим, кроме того, чтобы j обращалось в нуль при х=а и у=b. Для этого мы должны наложить два дополнительных условия, а именно kxa и kxb должны быть равны целому числу p (эти целые числа могут быть разными для kxa и kyb!). Но поскольку, как мы видели, kx=kcosq и ky=ksinq, то отсюда немедленно получаются уравнения (49.7) и (49.8), а из них следует окончательный результат (49.9).
Возьмем теперь для примера прямоугольник, ширина которого вдвое больше высоты. Если положить а=2b и воспользоваться уравнениями (49.4) и (49.9), то можно вычислить частоты всех гармоник
