Ричард Фейнман - 5b. Электричество и магнетизм
Отсюда возникает еще один интересный вопрос. А не справедливо ли это утверждение и для уравнений электростатики? Может быть, и они годятся только как сглаженная имитация на самом деле гораздо более сложного микромира? И реальный мир состоит из маленьких Х-онов, которые можно различить только на чрезвычайно малых расстояниях? А проводя наши измерения, мы всегда наблюдаем все в таком грубом масштабе, что не можем увидеть эти маленькие Х-оны, вот почему мы и приходим к дифференциальным уравнениям?
Наша современная наиболее полная теория электродинамики действительно обнаруживает трудности на очень малых расстояниях. Поэтому в принципе возможно, что эти уравнения представляют собой сглаженные версии чего-то: Они оказываются правильными на расстояниях вплоть до 10-14 см, но затем они начинают выглядеть неправильными. Возможно, что существует пока еще не открытый «механизм» и что детали внутреннего сложного устройства скрыты в уравнениях, имеющих гладкий вид, как это получается в «гладкой» диффузии нейтронов. Но никто еще не сумел сформулировать успешной теории, которая бы работала таким образом.
Как это ни странно, оказывается (по причинам, в которых мы еще не разобрались), что комбинация релятивизма и квантовой механики, насколько мы их знаем, по-видимому, запрещает придумывание уравнений, фундаментально отличных от уравнения (12.4) и в то же время свободных от противоречий. Заметьте: не из-за расхождений с экспериментом, а от внутренних противоречий. Таких, как, скажем, предсказание, что сумма вероятностей всех возможных исходов станет не равной единице или что энергии оказываются комплексными числами, или еще какой-нибудь чепухи. Никто еще не создал теории электричества, в которой С2j=-r/e0 понималось бы как сглаженное приближение к более глубокому механизму и которая не приводила бы, в конечном счете к какому-либо абсурду. Но надо сказать, что правильно также и то, что предположение о справедливости С2j=-r/e0 для любых как угодно малых расстояний тоже приводит к дикому абсурду (электрическая энергия электрона бесконечна) — абсурду, от которого никто еще не сумел избавиться.
* Поскольку мы говорим о некогерентных источниках, интенсивности, которых всегда складываются линейно, то электрические заряды в аналогичной задаче всегда будут иметь одинаковые знаки. Следует учесть, что наша аналогия применяется только к световой энергии, падающей на поверхность непрозрачной плоскости, поэтому мы должны включить в интеграл лишь источники, излучающие над поверхностью (конечно, не те, которые расположены под поверхностью!).
Глава 13
МАГНИТОСТАТИКА
§1.Магнитное поле
§2.Электрический ток; сохранение заряда
§З. Магнитная сила, действующая на ток
§4.Магнитное поле постоянных токов; закон Ампера
§5.Магнитное поле прямого провода и соленоида; атомные токи
§6.Относительность магнитных и электрических полей
§7.Преобразование токов и зарядов
§8.Суперпозиция; правило правой руки
Повторить: гл. 15 (вып. 2) «Специальная теория относительности»
§ 1. Магнитное поле
Сила, действующая на электрический заряд, зависит не только от того, где он находится, но и от того, с какой скоростью он движется. Каждая точка в пространстве характеризуется двумя векторными величинами, которые определяют силу, действующую на любой заряд. Во-первых, имеется электрическая сила, дающая ту часть силы, которая не зависит от движения заряда. Мы описываем ее с помощью электрического поля Е. Во-вторых, есть еще добавочная компонента силы, называемая магнитной силой, которая зависит от скорости заряда. Эта магнитная сила имеет удивительное свойство: в любой данной точке пространства, как направление, так и величина силы зависят от направления движения частицы; в каждый момент сила всегда перпендикулярна вектору скорости; кроме того, в любом месте сила всегда перпендикулярна определенному направлению в пространстве (фиг. 13.1), и, наконец, величина силы пропорциональна компоненте скорости, перпендикулярной этому выделенному направлению. Все эти свойства можно описать, если ввести вектор магнитного поля В, который определяет выделенное направление в пространстве и одновременно служит константой пропорциональности между силой и скоростью, и записать магнитную силу в виде qvXB. Полная электромагнитная сила, действующая на заряд, может тогда быть записана так:
F=q(E+vXB), (13.1)
Она называется силой Лоренца.
Фиг. 13.1. Зависящая от скорости компонента силы на движущийся заряд направлена перпендикулярно V и вектору В. Она пропорциональна также компоненте V, перпендикулярной В, т. е. vsinq.
Магнитную силу можно легко продемонстрировать, если поднести магнит вплотную к катодной трубке. Отклонение электронного луча указывает на то, что магнит возбуждает силы, действующие на электроны перпендикулярно направлению их движения (мы уже об этом говорили в вып. 1, гл. 12).
Единицей магнитного поля В, очевидно, является 1 ньютон-секунда, деленная на кулон-метр. Та же единица может быть написана как вольт-секунда на квадратный метр. Ее называют еще вебер на квадратный метр.
§ 2. Электрический ток; сохранение заряда
Подумаем теперь о том, почему магнитные силы действуют на провода, по которым течет электрический ток. Для этого определим, что понимается под плотностью тока. Электрический ток состоит из движущихся электронов или других зарядов, которые образуют результирующее течение, или поток. Мы можем представить поток зарядов вектором, определяющим количество зарядов, которое проходит в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную потоку (точь-в-точь как мы это делали, определяя поток тепла). Назовем эту величину плотностью тока и обозначим ее вектором j. Он направлен вдоль движения зарядов. Если взять маленькую площадку Da в данном месте материала, то количество зарядов, текущее через площадку в единицу времени, равно
j·nDa, (13.2)
где n — единичный вектор нормали к Dа.
Плотность тока связана со средней скоростью течения зарядов. Предположим, что имеется распределение зарядов, в среднем дрейфующих со скоростью v. Когда это распределение проходит через элемент поверхности Dа, то заряд Dq, проходящий через Dа за время Dt, равен заряду, содержащемуся в параллелепипеде с основанием Dа и высотой vDt (фиг. 13.2).
Фиг. 13.2. Если распределение зарядов с плотностью r движется со скоростью v, то количество заряда, проходящее в единицу времени через площадку Dа, есть rv·nDа.
Объем параллелепипеда есть произведение проекции Dа, перпендикулярной к v, на vDt, а умножая его на плотность зарядов r, получаем Dq. Таким образом,
Dq = rv·nDaDt.
Заряд, проходящий в единицу времени, тогда равен рv·nDа, откуда получаем
j = pv. (13.3)
Если распределение зарядов состоит из отдельных зарядов, скажем электронов с зарядом q, движущихся со средней скоростью v, то плотность тока равна
j = Nqv,(13.4)
где N — число зарядов в единице объема.
Полное количество заряда, проходящее в единицу времени через какую-то поверхность S, называется электрическим током I. Он равен интегралу от нормальной составляющей потока по всем элементам поверхности (фиг. 13.3):
Фиг. 13.3. Ток I через поверхность S равен ∫j·nda
Фиг. 13.4. Интеграл от j·n no замкнутой поверхности равен скорости изменения полного заряда Q внутри.
Ток I из замкнутой поверхности S представляет собой скорость, с которой заряды покидают объем V, окруженный поверхностью 5. Один из основных законов физики говорит, что электрический заряд неуничтожаем; он никогда не теряется и не создается. Электрические заряды могут перемещаться с места на место, но никогда не возникают из ничего. Мы говорим, что заряд сохраняется. Если из замкнутой поверхности возникает результирующий ток, то количество заряда внутри должно соответственно уменьшаться (фиг. 13.4). Поэтому мы можем записать закон сохранения заряда в таком виде:
(13.6)
Заряд внутри можно записать как объемный интеграл от плотности заряда
