Ричард Фейнман - 5. Электричество и магнетизм
(3.34)
Производную при нашей точности можно брать в точке (х, у). Подобным же образом оставшиеся два члена можно написать в виде
(3.35)
и циркуляция по квадрату тогда равна
(3.36)
Интересно, что в скобках получилась как раз z-компонента ротора С. Множитель DxDy— это площадь нашего квадрата. Так что циркуляцию (3.36) можно записать как
(СXС)zDа.
Но z-компонента это на самом деле компонента, нормальная к элементу поверхности.
Фиг. 3.11. Циркуляция вектора С по Г равна поверхностному интегралу от нормальной компоненты вектора СXС.
Поэтому циркуляцию вокруг квадратика можно задать и в инвариантной векторной записи:
(3.37)
В результате имеем: циркуляция произвольного вектора С по бесконечно малому квадрату равна произведению составляющей ротора С, нормальной к поверхности, на площадь квадрата.
Циркуляция по произвольному контуру Г легко теперь может быть увязана с ротором векторного поля. Натянем на контур любую подходящую поверхность S (как на фиг. 3.11) и сложим между собой циркуляции по всем бесконечно малым квадратикам на этой поверхности. Сумма может быть записана в виде интеграла. В итоге получится очень полезная теорема, называемая теоремой Стокса [по имени физика Стокса].
ТЕОРЕМА СТОКСА
(3.38)
где S — произвольная поверхность, ограниченная контуром Г. Теперь мы должны ввести соглашение о знаках. На приведенной ранее фиг. 3.10 ось z показывает на вас, если система координат «обычная», т. е. «правая». Когда в криволинейном интеграле мы брали «положительное» направление обхода, то циркуляция получилась равной z-компоненте вектора СXC. Обойди мы контур в другую сторону, мы бы получили противоположный знак. Как вообще узнавать, какое направление надо выбирать для положительного направления «нормальной» компоненты вектора СXC? «Положительную» нормаль надо всегда связывать с направлением так, как это сделано было на фиг. 3.10. Общий случай показан на фиг. 3.11.
Для запоминания годится «правило правой руки». Если вы расположите пальцы вашей правой руки вдоль контура Г, чтобы кончики пальцев показывали положительное направление обхода ds, то ваш большой палец укажет направление положительной нормали к поверхности S.
§ 7. Поля без роторов и поля без дивергенций
Теперь перейдем к некоторым следствиям из наших новых теорем. Возьмем сперва случай вектора, у которого ротор (или вихрь) повсюду равен нулю. Тогда, согласно теореме Стокса, циркуляция по любому контуру — нуль. Если мы теперь возьмем две точки (1) и (2) на замкнутой кривой (фиг. 3.12), то криволинейный интеграл от касательной составляющей от (1) до (2) не должен зависеть от того, какой из двух возможных путей мы выбрали. Можно заключить, что интеграл от (1) до (2) может зависеть только от расположения этих точек, т. е. что он есть функция только от координат точек. Той же логикой мы пользовались в вып. 1, гл. 14, когда доказывали, что если интеграл от некоторой величины по произвольному замкнутому контуру всегда равен нулю, то этот интеграл может быть представлен в виде разности функций от координат двух концов. Это позволило нам изобрести понятие потенциала. Мы доказали далее, что векторное поле является градиентом этой потенциальной функции [см. вып. 1, уравнение (14.13)].
Отсюда следует, что любое векторное поле, у которого ротор равен нулю, может быть представлено в виде градиента некоторой скалярной функции, т. е. если АXС=0 всюду, то существует некоторая функция y (пси), для которой С = Сy (полезное представление). Значит, мы можем, если захотим, описывать этот род векторных полей при помощи скалярных полей.
Теперь докажем еще одну формулу. Пусть у нас есть произвольное скалярное поле j (фи). Если взять его градиент Сj, то интеграл от этого вектора по любому замкнутому контуру должен быть равен нулю.
Фиг. 3.12. Если СXС равно нулю, то циркуляция по замкнутой привой Г тоже нуль.
Криволинейный интеграл от C·ds на участке от (1) до (2) вдоль а должен быть равен интегралу вдоль b.
Фиг. 3.13. При переходе к пределу замкнутой поверхности поверхностный интеграл от (СXС)n должен обратиться в нуль.
Криволинейный интеграл от точки (1) до точки (2) равен [j(2)- j (1)]. Если точки (1) и (2) совпадают, то наша теорема 1 [уравнение (3.8)] сообщает нам, что криволинейный интеграл равен нулю:
Применяя теорему Стокса, можно заключить, что
по любой поверхности. Но раз интеграл по любой поверхности равен нулю, то подынтегральное выражение обязано быть равно нулю. Значит,
Тот же результат был доказан в гл. 2, § 7 при помощи векторной алгебры.
Рассмотрим теперь частный случай, когда на маленький контур Г натягивается большая поверхность S (фиг. 3.13). Мы хотим посмотреть, что случится, когда контур стянется в точку. Тогда граница поверхности исчезнет, а сама поверхность превратится в замкнутую. Если вектор С повсюду конечен, то криволинейный интеграл по Г должен стремиться к нулю по мере стягивания контура (интеграл в общем-то пропорционален длине контура Г, а она убывает). Согласно теореме Стокса, поверхностный интеграл от (СXС)n тоже должен убывать до нуля. Когда поверхность замыкается, то при этом каким-то образом в интеграл привносится вклад, который взаимно уничтожается с накопленным
ранее. Получается новая теорема:
Это нас должно заинтересовать, потому что у нас уже есть одна теорема о поверхностном интеграле векторного поля. Такой поверхностный интеграл равен объемному интегралу от дивергенции вектора, как это следует из теоремы Гаусса [уравнение (3.18)]. Теорема Гаусса в применении к СXС утверждает, что
(3.40)
Мы заключаем, что интеграл в правой части должен обращаться в нуль и что это должно быть справедливо для любого векторного поля С, каким бы оно ни было.
(3.41)
Раз уравнение (3.41) выполнено для произвольного объема, то в каждой точке пространства подынтегральное выражение должно быть равно нулю. Получается, что
Тот же результат был выведен с помощью векторной алгебры в гл. 2, § 7. Теперь мы начинаем понимать, как все здесь прилажено одно к другому.
§ 8. Итоги
Подытожим теперь все, что мы узнали о векторном исчислении. Вот самые существенные моменты гл. 2 и 3.
1. Операторы д/дх, д/ду и д/dz можно рассматривать как три составляющих векторного оператора С; формулы, следующие из векторной алгебры, остаются правильными, если этот оператор считать вектором
2. Разность значений скалярного поля в двух точках равна криволинейному интегралу от касательной составляющей градиента этого скаляра вдоль любой кривой, соединяющей первую точку со второй:
(3.42)
Поверхностный интеграл от нормальной составляющей произвольного вектора по замкнутой поверхности равен интегралу от дивергенции вектора по объему, лежащему внутри этой поверхности:
(3.43)
4. Криволинейный интеграл от касательной составляющей произвольного вектора по замкнутому контуру равен поверхностному интегралу от нормальной составляющей ротора этого вектора по произвольной поверхности, ограниченной этим контуром
(3.44)
От редактора. Начиная изучать уравнения Максвелла, обратите внимание, что в этих лекциях используется рационализированная система единиц, в которой уравнения Максвелла не содержат коэффициентов.
Более привычно вместо e0 писать e0/4p; тогда коэффициент 4p исчезает из знаменателя закона Кулона (4.9), но появляется в правых частях уравнений (4.1) и (4.3). [Улучшение системы единиц всегда похоже на Тришкин кафтан.]
Кроме того, вместо квадрата скорости света вводят новую постоянную m0=e0/c2, называют ее (довольно неудачно) магнитной проницаемостью пустоты (так же, как e0 называют диэлектрической проницаемостью пустоты) и обозначают e0E=D, B=m0H.
Будьте осторожны! Проверяйте систему единиц, когда открываете новую книгу об электричестве!
