Ричард Фейнман - 6a. Электродинамика
Поскольку Е2 с радиусом меняется, то для получения его потока надо интегрировать по круговой поверхности внутри Г1 . Беря в качестве элемента площади 2prdr, напишем этот интеграл в виде
Значит, В2(r) выразится так:
(23.10)
Подставляя сюда Е2(r) из (23.7), получаем интеграл от r3dr, который равен, очевидно, r4/4. Наша поправка к магнитному полю окажется равной
(23.11)
Но мы еще не кончили! Раз магнитное поле В вовсе не такое, как мы сперва думали, то мы, значит, неверно подсчитывали Е2. Надо найти еще поправку к Е, вызываемую добавочным магнитным полем В2. Эту добавочную поправку к электрическому полю назовем Е3. Она связана с магнитным полем В2 так же, как E2 была связана с В1. Можно опять прибегнуть к тому же самому соотношению (23.6), изменив в нем только индексы:
(23.12)
Подставляя сюда наш новый результат (23.11), получаем новую поправку к электрическому полю:
(23.13)
Если теперь наше дважды исправленное поле записать в виде Е=Е1+Е2+Е3, то мы получим
(23.14)
Изменение электрического поля с радиусом происходит уже не по параболе, как было на фиг. 23.5; на больших радиусах значение поля лежит чуть выше кривой (E1+E2).
Мы пока еще не дошли до конца. Новое электрическое поле вызовет новую поправку к магнитному полю, а заново подправленное магнитное поле вызовет необходимость дальнейшей поправки к электрическому и т. д. и т. д. Но у нас уже есть все нужные формулы. Для В3можно использовать (23.10), изменив индексы при В и Е с 2 до 3.
Очередная поправка к электрическому полю равна
С этой степенью точности все электрическое поле дается, стало быть, формулой
где численные коэффициенты написаны в таком виде, что становится ясно, как продолжить ряд.
Окончательно получается, что электрическое поле между обкладками конденсатора на любой частоте дается произведением E0eiwt на бесконечный ряд, который содержит только переменную wr/с. Можно, если мы захотим, определить специальную функцию, обозначив ее через J0(x), как бесконечный ряд в скобках формулы (23.15):
Тогда искомое решение есть произведение E0eiwt на эту функцию при x=wr/c:
(23.17)
Мы обозначили нашу специальную функцию через J0 потому, что, естественно, не мы первые с вами занялись задачей колебаний в цилиндре. Функция эта появилась давным-давно, и ее уже привыкли обозначать J0. Она всегда возникает, когда вы решаете задачу о волнах, обладающих цилиндрической симметрией. Функция J0 по отношению к цилиндрическим волнам — это то же, что косинус по отношению к прямолинейным волнам. Итак, это очень важная функция. И изобретена она очень давно. Затем с нею связал свое имя математик Бессель. Индекс нуль означает, что Бессель изобрел целую кучу разных функций, а наша — самая первая из них.
Другие функции Бесселя — J1? J2 и т. д.— относятся к цилиндрическим волнам, сила которых меняется при обходе вокруг оси цилиндра.
Полностью скорректированное электрическое поле между обкладками нашего кругового конденсатора, даваемое формулой (23.17), изображено на фиг. 23.5 сплошной линией. Для не очень больших частот нашего второго приближения вполне хватает. Третье приближение было бы еще лучше — настолько хорошо, что если его начертить, то вы бы не заметили разницы между ним и сплошной линией. В следующем параграфе вы увидите, однако, что может понадобиться и весь ряд, чтобы получилось аккуратное описание поля на больших радиусах или на больших частотах.
§ 3. Резонансная полость
Посмотрим теперь, что даст наше решение для электрического поля между обкладками конденсатора, если продолжать увеличивать частоту все выше и выше. При больших w параметр х=wr/с тоже становится большим, и первые несколько слагаемых ряда для J0 от х быстро возрастают. Это означает, что парабола, которую мы начертили на фиг. 23.5, на больших частотах изгибается книзу круче.
В самом деле, она выглядит так, как будто поле на высокой частоте все время старается обратиться в нуль где-то при с/w, примерно равном половине а. Давайте посмотрим, действительно ли функция J0 проходит через нуль и становится отрицательной. Сперва испытаем х=2:
Это еще не нуль; но попробуем число побольше, скажем x=2,5. Подстановка дает
В точке x=2,5 функция J0 уже перешла через нуль. Результаты при х=2 и при х=2,5 выглядят так, как будто J0 прошла через нуль на одной пятой пути от 2,5 до 2. Поэтому надо проверить число 2,4:
Фиг. 23.6. Функция Бесселя J0(x).
С точностью до двух знаков после запятой получился нуль. Если рассчитывать точнее (или, поскольку функция J0 известна, если разыскать ответ в книжке), то обнаружится, что J0 " проходит через нуль при x=2,405. Мы провели расчет собственноручно, чтобы показать вам, что вы тоже способны открывать подобные вещи, а не заимствовать их из книг.
А если уж вы посмотрели про J0 в книжке, то интересно выяснить, как она идет при больших значениях х; она напоминает кривую на фиг. 23.6. Когда х возрастает, J0(x) колеблется от положительных значений к отрицательным и обратно, постепенно уменьшая размах колебаний.
Мы получили интересный результат: если достаточно увеличить частоту, то электрические поля в центре конденсатора и у его края могут быть направлены в противоположные стороны. Например, пусть w так велико, что x=wr/с на внешнем краю конденсатора равно 4; тогда на фиг. 23.6 краю конденсатора отвечает абсцисса x=4. Это означает, что наш конденсатор работает при частоте w=4с/а. И на краю обкладок электрическое поле будет довольно велико, но направлено не туда, куда можно было ожидать, а в обратную сторону. Эта ужасная вещь может произойти с конденсатором на больших частотах. При переходе к очень большим частотам электрическое поле по мере удаления от центра конденсатора много раз меняет свое направление. Кроме того, имеется еще связанное с этими электрическими полями магнитное поле. Не удивительно, что наш конденсатор при высоких частотах уже не напоминает идеальной емкости. Можно даже задуматься над тем, на что похож он сильнее: на емкость или на индуктивность. Надо к тому же подчеркнуть, что на краях конденсатора происходят и более сложные эффекты, которыми мы пренебрегли. Например, там происходит еще излучение волн за края конденсатора, так что настоящие поля куда сложнее тех, которые мы рассчитали. Впрочем, мы не будем сейчас заниматься этими эффектами.
Можно было бы, конечно, попробовать представить себе для конденсатора эквивалентную цепь, но, вероятно, будет лучше, если мы просто примем, что тот конденсатор, который мы сконструировали для низкочастотных полей, больше не годится, когда частоты слишком велики.
Фиг. 23.7. Электрическое и магнитное поля в закрытой цилиндрической банке.
И если мы хотим изучить, как действует такой объект на высоких частотах, нам нужно оставить те приближения к уравнениям Максвелла, которые мы делали, изучая цепи, и вернуться к полной системе уравнений, полностью описывающей поля в пространстве. Вместо того чтобы манипулировать о идеализированными элементами цепи, надо оперировать с реальными проводниками, с такими, какие они есть на самом деле, учитывая все поля в пространстве между ними. Например, если нам нужен резонансный контур на высокие частоты, то не нужно пытаться его сконструировать с помощью одной катушки и плоского конденсатора.
Мы уже упомянули, что плоский конденсатор, который мы рассматривали, похож, с одной стороны, на емкость, а с другой— на индуктивность. От электрического поля возникают заряды на поверхностях обкладок, а от магнитного — обратные э.д.с. Не может ли оказаться, что перед нами уже готовый резонансный контур? Оказывается, да. Представьте, что мы выбрали такую частоту, при которой картина электрического поля падает до нуля на каком-то расстоянии от края диска; иначе говоря, мы выбрали wa/с большим, чем 2,405. Всюду на окружности, центр которой лежит на оси обкладок, электрическое поле обратится в нуль. Возьмем кусок жести и вырежем полоску такой ширины, чтобы она как раз поместилась между плоскими обкладками конденсатора. Затем изогнем ее в форме цилиндра такого радиуса, на котором электрическое поле равно нулю. Раз там нет электрического поля, то по вставленному в конденсатор цилиндру никаких токов не потечет, и ни электрические, ни магнитные поля не изменятся. Мы, стало быть, смогли закоротить друг на друга обкладки конденсатора, ничего не изменив в нем. И посмотрите, что получилось: вышла настоящая цилиндрическая банка с электрическим и магнитным полями внутри, причем никак не связанная с внешним миром. Поля внутри не изменятся, даже если отрезать выступающие края обкладок и провода, ведущие к конденсатору. Останется только закрытая банка с электрическим и магнитным полями внутри нее (фиг. 23.7,а). Электрические поля колеблются то вперед, то назад с частотой w, которая, не забывайте, определила собою диаметр банки. Амплитуда колеблющегося поля Е меняется с расстоянием от оси банки так, как показано на фиг. 23.7,6. Кривая эта — просто первая дуга функции Бесселя нулевого порядка. В банке есть еще и круговое магнитное поле, которое колеблется во времени со сдвигом по фазе на 90° относительно электрического поля.
