Жак Арсак - Программирование игр и головоломок
Внимание: вы должны бороться с проблемой сложности. Если вы не будете принимать никаких мер предосторожности, число подлежащих исследованию случаев может сказаться невероятно большим и работа компьютера станет невозможной: ведь перед вами не вечность… Равновесие между подготовительной работой (доказательством палых теорем) и работой компьютера оценивается в зависимости от ваших возможностей, одновременно в области математических доказательств и в ресурсах вашего микрокомпьютера. К сожалению, не говорите: эта программа отнимает уйму времени, я перепишу ее на ассемблере. Это — худшее из решений. Все, что я вам предлагаю, осуществимо на Бейсике за разумное время. Если ваша программа требует уйму времени, значит, она плохо придумана.
Головоломка 12. Теорема 153.
Этот пример заимствован из [MJB]. Образуем числовую последовательность следующим образом:
— начальный элемент — произвольное натуральное число, кратное трем,
— за любым элементом последовательности следует число, равное сумме кубов всех цифр данного элемента.
Теорема. Любая такая последовательность становится (начиная с некоторого места) постоянной, равной 153.
Пример. Начнем с 33:
33
3³ + 3³ = 54
5³ + 4³ = 189
1³ + 8³ + 9³ = 1242
1³ + 2³ + 4³ + 2³ = 81
8³ + 1³ = 153
1³ + 5³ + З³ = 153
1³ + 5³ + З³ = 153
и теперь последовательность стала постоянной.
Используйте ваш компьютер для доказательства этой теоремы.
? Головоломка 13. Варианты.
Нелегко сказать, какую роль в предыдущей теореме играет то, что исходное число кратно трем. Но от вас не потребует чрезмерных усилий в общем случае, что два последовательных числа последовательности имеют равные остатки при делении их на 3. В последовательностях, которые мы стали изучать, все члены последовательности делятся на 3. Можно доказать также, что все члены последовательности, кроме, быть может, первого, делятся на 9.
Если взять натуральное число, не кратное трем, то все члены соответствующей последовательности будут иметь один и тот же остаток при делении на 3. Что, кроме этого, вы можете узнать о поведении этих последовательностей?
Если при переходе к следующему члену последовательности вы будете брать сумму квадратов цифр (вместо того, чтобы брать сумму кубов), то все будет не намного лучше. Можете ли вы доказать следующую теорему: каково бы ни было натуральное число, взятое в качестве первого элемента последовательности, эта последовательность содержит число, не превосходящее 4?
? Головоломка 14. Теорема 6174. Построим последовательность натуральных чисел следующим образом. Начальный элемент — натуральное число с четырьмя цифрами, которые не все равны между собой. Мы переходим от данного члена последовательности к следующему но такому правилу.
Пусть a, b, c, d — четыре цифры, представляющие десятичную запись данного числа. Расположим их в порядке убывания слева направо и получим первое число. Расположим их в обратном порядке и вычтем это второе числа из первого. Это и есть искомый следующий член последовательности.
Теорема. Эта последовательность для любого начального элемента становится (начиная с некоторого места) постоянной, равной 6174.
Пример. Начнем с 7815:
8751 − 1578 = 7173
7731 − 1377 = 6354
6543 − 3456 = 3087
8730 − 0378 = 8352
8532 − 2385 = 6174
6174 − 1467 = 6174
Используйте ваш компьютер для доказательства этой теоремы. Это окажется намного проще, чем в предыдущей головоломке, поскольку имеется всего лишь 9000 чисел с четырьмя цифрами, и нужно исследовать 9000 последовательностей. Но вы можете сделать число испытаний намного меньше этого…
?? Головоломка 15. Господин S и господин P[7].
Вот одна из наиболее классических арифметических головоломок. Выберем два натуральных числа, больших единицы, но меньших ста. Значение их суммы сообщено господину S, значение их произведения — господину P. Ни один из них не знает, какое число сообщено другому. Господин P звонит господину S по телефону.
P. Я не могу найти эти два числа.
S. Я знаю, что вам это и не удалось бы.
P. Ах, так… Но тогда я их знаю!
S. Ну, тогда и я тоже их знаю!
Рассуждение позволяет существенно видоизменить задачу, и даже более того — предъявить решение. Много ли их? Используйте ваш компьютер, чтобы их найти.
Простые числа
??** Головоломка 16. Чемпион головоломок.
На мой взгляд, наиболее замечательная арифметическая головоломка, над которой мне пришлось особенно долго работать и которая дала мне возможность получить некоторые удовлетворительные результаты, — это, конечно, проблема простых чисел. Пусть дано число n (конечно, нечетное) и достаточно большое; сказать, является ли оно простым и, если можно, дать его разложение на простые множители.
Если не предполагать, что n велико, то есть простой способ действовать: делить n на простые числа и смотреть, удается ли деление без остатка. Если да, то число составное и допускает разложение в произведение. Впрочем, при таком методе многие делители можно вообще не рассматривать. Если n есть произведение двух сомножителей p и q:
n = p * q,
то либо p = q, либо один из сомножителей больше другого, так что можно считать, что p — делитель, q — частное и p ≤ q. Поэтому будем делить n на последовательно возрастающие простые числа, для которых частное больше или равно делителю. Так как мы не располагаем таблицей простых чисел, то используем последовательность Делителей, которая заведомо содержит все простые числа, например, последовательность нечетных чисел или лучше целых чисел вида 6k ± 1.
Число операций растет как квадратный корень из n. Если вы добавите к n одну цифру, то вы увеличите время вычисления примерно раза в три. Но более важно другое. Если вы увеличиваете n, вы можете превысить «арифметические способности» своего компьютера. Как вы узнаете, правильно ли выполнено деление? Предел, которого вы можете достичь таким образом, существенно зависит от марки вашего микрокомпьютера[8].
Таким образом, вы должны бороться со следующими трудностями:
— точность вашего компьютера. Вам нужно иметь возможность делать вычисления с повышенной точностью, а это очень дорогостояще по времени;
— число требуемых операций;
— доверие к вашей программе. Если ваша машина сообщает вам, что
9873564383 = 631181 * 15643,
то вы, вероятно, сможете проверить этот результат на вашем микрокалькуляторе, А если компьютер сообщит вам, что 9873564401 — простое число, то как вы это проверите? Проделав вычисления на руках?
Вот основы метода Ж.-М. Полларда [POL].
По данному числу n (нечетному натуральному) строится последовательность по описанному ниже правилу:
— первый член последовательности равен 2;
— следующий за x элемент равен x² − 1 по модулю n (остатку от деления x² − 1 на n).
Оказывается, что эта последовательность периодична. Это легко видеть. Остаток от деления на n есть неотрицательное целое, меньшее n, поэтому не может быть более n различных остатков. Поэтому неизбежно, что как только число членов превысит n, среди членов последовательности мы получим два одинаковых, что и означает периодичность последовательности. Но она может оказаться периодической с намного более коротким периодом, чем n. Вот, например, последовательность для n = 137:
a1 = 2
a2 = 3
a3 = 8
a4 = 63
a5 = 132
a6 = 24
a7 = 27
a8 = 43
a9 = 67
a10 = 104
a11 = 129
a12 = 63 = a4
Последовательность периодична с периодом 8.
Пусть дана последовательность, вычисленная для некоторого n. Предположим, что n делится на s, и что соответствующая числу s последовательность периодична с периодом p.
Для достаточно большого i имеем ai+p = ai по модулю p, следовательно, ai+p − ai делится на p. Так как, кроме того, и n делится на p, то наибольший общий делитель (НОД) чисел ai+p − ai и n отличен от 1[9].
Построим последовательность Полларда для n = 22879:
