Миран Липовача - Изучай Haskell во имя добра!
sqrtSums :: Int
sqrtSums = length (takeWhile (< 1000) (scanl1 (+) (map sqrt [1..]))) + 1
ghci> sqrtSums
131
ghci> sum (map sqrt [1..131])
1005.0942035344083
ghci> sum (map sqrt [1..130])
993.6486803921487
Мы задействовали функцию takeWhile вместо filter, потому что последняя не работает на бесконечных списках. В отличие от нас, функция filter не знает, что список возрастает, поэтому мы используем takeWhile, чтобы отсечь список, как только сумма превысит 1000.
Применение функций с помощью оператора $
Пойдём дальше. Теперь объектом нашего внимания станет оператор $, также называемый аппликатором функций. Прежде всего посмотрим, как он определяется:
($) :: (a –> b) –> a –> b
f $ x = f x
Зачем? Что это за бессмысленный оператор? Это просто применение функции! Верно, почти, но не совсем!.. В то время как обычное применение функции (с пробелом) имеет высший приоритет, оператор $ имеет самый низкий приоритет. Применение функции с пробелом левоассоциативно (то есть f a b c i – это то же самое, что (((f a) b) c)), в то время как применение функции при помощи оператора $ правоассоциативно.
Всё это прекрасно, но нам-то с того какая польза? Прежде всего оператор $ удобен тем, что с ним не приходится записывать много вложенных скобок. Рассмотрим выражение sum (map sqrt [1..130]). Поскольку оператор $ имеет самый низкий приоритет, мы можем переписать это выражение как sum $ map sqrt [1..130], сэкономив драгоценные нажатия на клавиши. Когда в функции встречается знак $, выражение справа от него используется как параметр для функции слева от него. Как насчёт sqrt 3 + 4 + 9? Здесь складываются 9, 4 и корень из 3. Если мы хотим получить квадратный корень суммы, нам надо написать sqrt (3 + 4 + 9) – или же (в случае использования оператора $) sqrt $ 3 + 4 + 9, потому что у оператора $ низший приоритет среди всех операторов. Вот почему вы можете представить символ $ как эквивалент записи открывающей скобки с добавлением закрывающей скобки в крайней правой позиции выражения.
Посмотрим ещё на один пример:
ghci> sum (filter (> 10) (map (*2) [2..10]))
80
Очень много скобок, даже как-то уродливо. Поскольку оператор $ правоассоциативен, выражение f (g (z x)) эквивалентно записи f $ g $ z x. Поэтому пример можно переписать:
sum $ filter (> 10) $ map (*2) [2..10]
Но кроме избавления от скобок оператор $ означает, что само применение функции может использоваться как и любая другая функция. Таким образом, мы можем, например, применить функцию к списку функций:
ghci> map ($ 3) [(4+), (10*), ( 2), sqrt]
[7.0,30.0,9.0,1.7320508075688772]
Функция ($ 3) применяется к каждому элементу списка. Если задуматься о том, что она делает, то окажется, что она берёт функцию и применяет её к числу 3. Поэтому в данном примере каждая функция из списка применится к тройке, что, впрочем, и так очевидно.
Композиция функций
В математике композиция функций определяется следующим образом:
(f ° g)(x) = f (g (x))
Это значит, что композиция двух функций создаёт новую функцию, которая, когда её вызывают, скажем, с параметром x, эквивалентна вызову g с параметром x, а затем вызову f с результатом первого вызова в качестве своего параметра.
В языке Haskell композиция функций понимается точно так же. Мы создаём её при помощи оператора (.), который определён следующим образом:
(.) :: (b –> c) –> (a –> b) –> a –> c
f . g = x –> f (g x)
По декларации типа функция f должна принимать параметр того же типа, что и результат функции g. Таким образом, результирующая функция принимает параметр того же типа, что и функция g, и возвращает значение того же типа, что и функция f. Выражение negate . (* 3) возвращает функцию, которая принимает число, умножает его на три и меняет его знак на противоположный.
Одно из применений композиции функций – это создание функций «на лету» для передачи их другим функциям в качестве параметров. Конечно, мы можем использовать для этого анонимные функции, но зачастую композиция функций понятнее и лаконичнее. Допустим, что у нас есть список чисел и мы хотим сделать их отрицательными. Один из способов сделать это – получить абсолютное значение числа (модуль), а затем перевести его в отрицательное, вот так:
ghci> map (x –> negate (abs x)) [5,–3,–6,7,–3,2,–19,24]
[–5,–3,–6,–7,–3,–2,–19,–24]
Обратите внимание на анонимную функцию и на то, как она похожа на результирующую композицию функций. А вот что выйдет, если мы воспользуемся композицией:
ghci> map (negate . abs) [5,–3,–6,7,–3,2,–19,24]
[–5,–3,–6,–7,–3,–2,–19,–24]
Невероятно! Композиция функций правоассоциативна, поэтому у нас есть возможность включать в неё много функций за один раз. Выражение f (g (z x)) эквивалентно (f . g . z) x. Учитывая это, мы можем превратить
ghci> map (xs –> negate (sum (tail xs))) [[1..5],[3..6],[1..7]]
[–14,–15,–27]
в
ghci> map (negate . sum . tail) [[1..5],[3..6],[1..7]]
[–14,–15,–27]
Функция negate . sum . tail принимает список, применяет к нему функцию tail, суммирует результат и умножает полученное число на -1. Получаем точный эквивалент анонимной функции из предыдущего примера.
Композиция функций с несколькими параметрами
Ну а как насчёт функций, которые принимают несколько параметров? Если мы хотим использовать их в композиции, обычно мы частично применяем их до тех пор, пока не получим функцию, принимающую только один параметр. Запись
sum (replicate 5 (max 6.7 8.9))
может быть преобразована так:
(sum . replicate 5) (max 6.7 8.9)
или так:
sum . replicate 5 $ max 6.7 8.9
Функция replicate 5 применяется к результату вычисления max 6.7 8.9, после чего элементы полученного списка суммируются. Обратите внимание, что функция replicate частично применена так, чтобы у неё остался только один параметр, так что теперь результат max 6.7 8.9 передаётся на вход replicate 5; новым результатом оказывается список чисел, который потом передаётся функции sum.
Если вы хотите переписать выражение с кучей скобок, используя функциональную композицию, можно сначала записать самую внутреннюю функцию с её параметрами, затем поставить перед ней знак $, а после этого пристраивать вызовы всех других функций, записывая их без последнего параметра и разделяя точками. Например, выражение
replicate 2 (product (map (*3) (zipWith max [1,2] [4,5])))
можно переписать так:
replicate 2 . product . map (*3) $ zipWith max [1,2] [4,5]
Как из одного выражения получилось другое? Ну, во-первых, мы посмотрели на самую правую функцию и её параметры как раз перед группой закрывающихся скобок. Это функция zipWith max [1,2] [4,5]. Так её и запишем:
zipWith max [1,2] [4,5]
Затем смотрим на функцию, которая применяется к zipWith max [1,2] [4,5], это map (*3). Поэтому мы ставим между ней и тем, что было раньше, знак $:
map (*3) $ zipWith max [1,2] [4,5]
Теперь начинаются композиции. Проверяем, какая функция применяется ко всему этому, и присоединяем её к map (*3):
product . map (*3) $ zipWith max [1,2] [4,5]
Наконец, дописываем функцию replicate 2 и получаем окончательное выражение:
replicate 2 . product . map (*3) $ zipWith max [1,2] [4,5]
Если выражение заканчивалось на три закрывающие скобки, велики шансы, что у вас получится два оператора композиции.
Бесточечная нотация
Композиция функций часто используется и для так называемого бесточечного стиля записи функций. Возьмём, для примера, функцию, которую мы написали ранее:
sum' :: (Num a) => [a] –> a
sum' xs = foldl (+) 0 xs
Образец xs представлен дважды с правой стороны. Из–за каррирования мы можем пропустить образец xs с обеих сторон, так как foldl (+) 0 создаёт функцию, которая принимает на вход список. Если мы запишем эту функцию как sum' = foldl (+) 0, такая запись будет называться бесточечной. А как записать следующее выражение в бесточечном стиле?
fn x = ceiling (negate (tan (cos (max 50 x))))
Мы не можем просто избавиться от образца x с обеих правых сторон выражения. Образец x в теле функции заключён в скобки. Выражение cos (max 50) не будет иметь никакого смысла. Вы не можете взять косинус от функции! Всё, что мы можем сделать, – это выразить функцию fn в виде композиции функций.
