Турчин Фёдорович - Феномен науки. Кибернетический подход к эволюции
Утверждение, что окружности радиуса AB с центрами в A и B пересекаются (мы будем для краткости обозначать это утверждение через E1), представляется нам если не совсем, то почти абсолютно достоверным, мы просто не можем себе представить, чтобы они не пересеклись. Не можем себе представить... Этим-то и отличается математическая достоверность от эмпирической! Когда мы говорим о завтрашнем восходе солнца, мы можем представить, что солнце не взойдет. И только на основании опыта мы полагаем, что оно, вероятно, взойдет. Здесь есть две возможности, и предсказание, какая из них осуществится, имеет вероятностный характер. Когда же мы говорим, что дважды два — четыре и что окружности, построенные так, как было указано выше, пересекаются, мы не можем представить, чтобы было иначе. Мы не видим другой возможности, поэтому и утверждения эти воспринимаем как абсолютно достоверные и независимые от конкретных наблюденных нами фактов.
10.7. В поисках аксиом
Для понимания природы математической достоверности очень поучительно довести до конца разбор утверждения E1. Поскольку у нас все-таки остались некоторые сомнения относительно абсолютной необходимости пересечения окружности на рис. 10.3, попробуем представить себе ситуацию, когда они не пересекаются. Полная неудача этой попытки будет означать, что утверждение E1 математически достоверно и не может быть разложено на более простые утверждения; тогда его следует принять в качестве аксиомы. Если же нам ценой большего или меньшего насилия над воображением удастся представить себе ситуацию, в которой πA и πB не пересекаются, эта ситуация, надо полагать, придет в противоречие с какими-то более простыми и глубокими утверждениями, обладающими математической достоверностью; тогда мы их и примем за аксиомы, а наличие противоречия будет служить доказательством E1. Таков обычный путь к установлению аксиом в математике.
Рис. 10.4. «Перескакивающие» окружности
10.8. Об аксиомах арифметики и логики
Первичные положения арифметики принципиально имеют ту же природу, что и первичные положения геометрии, но они, пожалуй, еще проще и очевидней, их отрицание еще более невообразимо, чем отрицание геометрических аксиом. Возьмем, например, аксиому, гласящую, что для любого числа a
a + 0 = a.
Число 0 изображает пустое множество. Можете ли вы представить себе, что от слияния некоторого множества с пустым множеством число элементов в нем изменится? Или вот еще одна арифметическая аксиома: для любых чисел a и b
a + (b + 1) = (a + b) + 1,
т. е. если единицу прибавить к числу b и результат сложить с а, то получим такое же число, как если бы мы сначала сложили a и b, а затем к результату прибавили единицу. Если проанализировать, почему мы не можем вообразить ситуацию, противоречащую этому утверждению, то мы увидим, что дело в тех же соображениях непрерывности, которые проявляются и в геометрических аксиомах. В процессе счета мы как бы проводим непрерывные линии, соединяющие считаемые предметы с элементами стандартного множества и, конечно, линии во времени (вспомним происхождение понятия «предмет»), непрерывность которых обеспечивает тождественность числа самому себе.
Естественный звуковой язык при перенесении его на бумагу порождает линейный язык, т. е. такую систему, все подсистемы которой суть линейные последовательности знаков. Знаки — это предметы, относительно которых предполагается только то, что мы умеем отличать одинаковые (тождественные) знаки от различных. Линейность естественных языков является результатом того, что звуковой язык развертывается во времени, а отношение следования во времени легко моделируется отношением порядка расположения на пространственной прямой. Специализация естественного языка привела к созданию математического линейного знакового языка, который в настоящее время образует основу математики.
Действуя в рамках линейных знаковых языков, мы постоянно пользуемся некоторыми их свойствами, которые представляются нам столь очевидными и само собой разумеющимися, что мы даже не даем себе труда сформулировать их в виде аксиом. Возьмем для примера такое утверждение: если к символу (знаку) B приписать слева символ A, а справа — символ C, то получится такое слово (последовательность знаков), как если к A приписать справа В, а затем C. Это и ему подобные утверждения обладают математической достоверностью, ибо мы не можем себе представить, чтобы было иначе. Один из разделов современной математики — теория полугрупп — изучает свойства линейных знаковых систем с аксиоматической точки зрения и простейшие из их свойств объявляет аксиомами.
И геометрические, и арифметические, и линейно-знаковые аксиомы имеют одну и ту же природу и опираются, в сущности, на одни и те же фундаментальные понятия, такие как тождество, движение, непрерывность, порядок. Никакой принципиальной разницы между этими группами аксиом нет. И если выбирать для них какой-то один термин, то их следовало бы назвать геометрическими или геометрически-кинематическими, так как все они отражают свойства нашего пространственно-временного опыта и пространственно-временного воображения. Более или менее значительное различие можно обнаружить лишь в группе «собственно геометрических» аксиом: некоторые аксиомы, касающиеся прямых и плоскостей, отражают более специфический опыт, связанный с существованием твердых тел. То же относится, по-видимому, и к метрическим понятиям. Впрочем, и это различие довольно условное. Можем ли мы говорить что-нибудь всерьез о тех понятиях, которые мы имели бы, если бы в мире не было твердых тел?
До сих пор речь шла лишь об абсолютной достоверности аксиом. А откуда у нас уверенность в достоверности утверждений, полученных из аксиом путем логического вывода?
Из того же источника: наше воображение отказывается допускать ситуацию, когда путем логического вывода мы из верных посылок получаем неверные результаты. Логический вывод состоит из последовательных шагов. На каждом шаге мы, опираясь на предшествующие утверждения, получаем новое утверждение. Из разбора формального логического вывода, который мы отложим до следующей главы, будет видно, что наша уверенность в том, что на каждом шаге мы из истинных утверждений можем получить только истинное утверждение, основывается на логических аксиомах2, которые представляются нам столь же достоверными, как и рассмотренные выше математические аксиомы, и по той же причине - абсолютной невообразимости противоположной ситуации.
Имея эту уверенность, мы приобретаем уверенность, что сколько бы шагов ни содержал бы логический вывод, он все равно будет обладать этим свойством. Здесь мы используем следующую важнейшую аксиому.
Аксиома индукции: Допустим, что функция f(x) оставляет неизменным свойство Р(х), т. е.
(∀х){P(x)) ⊃ P[f(x)]}.
Обозначим через fn(x) результат последовательного n-кратного применения функции f(x), т. е.
f1(x) = f(x), fn(x) = f[fn(x)].
Тогда при любом n функция fn(x) также оставляет неизменным свойство P(x), т. е.
(∀n)(∀х){P(x) ⊃ P[fn(x)]}.
По своему происхождению и характеру логические аксиомы и аксиома индукции (которую относят к арифметике, так как она включает понятие числа) ничем не отличаются от остальных аксиом: все они суть математические аксиомы. Различие существует лишь в характере их использования. Когда математические аксиомы применяются к математическим утверждениям, они становятся элементами метасистемы. в рамках системы математически достоверных утверждений и мы называем их логическими аксиомами. Благодаря этому система математически достоверных утверждений становится способной к развитию. Великое открытие греков состояло в том, что можно прилагать достоверное к достоверному, и получать таким образом новое достоверное.
10.9. Сваи, уходящие вглубь
Описание математических аксиом как моделей действительности, которые истинны не только в сфере реального опыта, но и в сфере воображения, опирается на их субъективное восприятие. Можно ли дать им более объективную характеристику. Воображение возникает на определенном этапе развития нервной системы как произвольное ассоциирование представлений. Предыдущим этапом был этап непроизвольного ассоциирования (уровень собаки). Естественно предположить, что переход от непроизвольного ассоциирования к произвольному не произвел существенной перемены в том материале, который имеется в распоряжении ассоциирующей системы, т. е. в представлениях, образующих ассоциации,— это следует из иерархического принципа устройства и развития нервной системы, при котором надстройка верхних этажей слабо влияет на нижние. Из того же принципа следует, что в процессе предыдущего перехода — от фиксированных понятий к непроизвольному ассоциированию — самые нижние уровни системы понятий остались неизменными и обусловили те всеобщие глубокие свойства представлений, которые были в наличии и до ассоциирования и которые ассоциирование изменить не может. Не может изменить их и воображение. Эти свойства инвариантны относительно преобразований, осуществляемых воображением. На них-то и опираются математические аксиомы. Если представить себе деятельность воображения как перетасовку и склейку каких-то элементов, «кусков» чувственного восприятия, то аксиомы — это модели, которые истинны для каждого куска и поэтому — для любой их комбинации. Способность воображения разрезать чувственный опыт на куски не безгранична, ибо, возникая на некотором этапе развития, оно принимает уже существующую систему понятий как некий фон, как основу, не подлежащую переделке. Такие глубокие понятия, как движение, тождество, непрерывность, заложены были в этом фоне, поэтому и модели, опирающиеся на эти понятия, оказываются универсально истинными не только для реального опыта, но и для любых конструкций, которые способно создать воображение. Математика образует каркас здания естественных наук. Ее аксиомы — это сваи, уходящие в самую глубь нейронных понятий, ниже того уровня, где начинает хозяйничать воображение. Отсюда та прочность основы, которая отличает математику от эмпирического знания. Она пренебрегает поверхностными ассоциациями, составляющими каждодневный жизненный опыт, предпочитая продолжать строительство костяка системы понятий, начатого природой и заложенного в нижние уровни иерархии. И уже на этом костяке будут образовываться «необязательные» модели, которые мы относим к естественным наукам, как на базе врожденных и «обязательных» понятий низшего уровня образуются «необязательные» ассоциации представлений, составляющие содержание жизненного опыта. Требования, диктуемые математикой, обязательны; строя модели действительности, мы не можем обойти их, если бы даже захотели. Поэтому возможную неистинность теории мы всегда выносим за пределы сферы действия математики. Если обнаруживается расхождение между теорией и экспериментом, изменяют внешнюю, «необязательную» часть теории, но никому не приходит в голову высказать предположение, что в данном случае оказалось неверным равенство 2 + 2 = 4.
