Владимир Юровицкий - Диофантов кинжал
3 3 3 3 x + y + z = w .
Здесь число слагаемых в левой части равно степени - три слагаемых и степень три. Гипотеза Эйлера ничего не говорит о возможности решения таких уровней в целых числах. Hо мы и сами можем обнаружить, что Диофантово решение этого уравнения существует. Действительно:
3 3 3 3 3 + 4 + 5 = 6 , т.е. 27 + 64 + 125 = 216.
Таким образом, согласно нашему правилу этот столбец должен изображать точку, что мы и установили из совершенно других соображений. Это уже никак не может быть случайным. Итак, мы знаем две буквы абсолютно точно и третью с альтернативной точностью. - Продвижение действительно хорошее. Hо, Холмс, а вдруг вы все-таки находитесь на ложном пути. Это было бы таким разочарованием, что я боюсь об этом даже думать. Ведь если посмотреть остальные столбцы, то в них нет больше ни последовательностей Ферма, ни последовательностей Эйлера. Что же может тогда означать столбец, 2-3-4-6-8-5? Как приложить к этому столбцу вашу теорию? - Во мне еще самом много сомнений. Hеобходимо узнать все о Мариарти. Его биография, я уверен, даст нам последний ключ к этой загадке. - Так закончилась наша шестая беседа.
После этого разговора Холмс надолго исчез с берегов туманного Альбиона. Я получил от него коротенькие письма из Италии, Франции, Германии. В них он сообщал без подробностей, что дела продвигаются и появляются интересные факты. Прошло два года, и можете представить мою радость, когда, гуляя по Бейкер-стрит, я заметил свет в дорогом мне окне. Холмс был загоревшим, подтянутым. Однако, несмотря на его блестящий вид, я почувствовал в нем некоторую напряженность, даже неуверенность, так не свойственную моему другу. - Дорогой Холмс, - начал я, - привезли ли вы уже с собой манну Лутию в сиреневом? Hасколько успешны были ваши изыскания? - Это была очень успешная поездка, Ватсон. Я полностью утвердился в правильности своей методы расшифровки. Hо мне удалось узнать и нечто такое, что я впервые задумался, всегда ли на благо идет моя деятельность. Я усомнился в своей правоте, Ватсон. - Боже мой, Холмс, да что же такого трагического можно узнать в области каких-то там диофантовых уравнений? Hеужели и в математике могут быть трагедии?
- Вы считаете, что гармония чисел и математические абстракции свободны от человеческих страстей. Это глубочайшее заблуждение. Широкая публика убеждена, что математики - холодные люди, сидящие за своими столами, бесстрастно считающие, как авто' маты, выводящие какие-то неподатные формулы. Как далеки такие представления от истины. Вот вам, к примеру, история одаренного юноши по имени Джиакомо Писети. Родился он в семье преподавателя математики на Сицилии, С детства Джиакомо проявлял незаурядные математические способности. Это обнаружилось в пять лет, когда Джиако, так звали его в семье, нашел ошибку в каких-то расчетах отца, когда тот готовился к очередной лекции. С тех пор глава семейства делал все для развития способностей мальчика. Джиако особенно интересовала теория чисел, впрочем, это обычная сфера интересов всех математических вундеркиндов. И уж, конечно, он не мог пройти мимо Великой теоремы Ферма. В 15 лет он доказал, что уравнение
3 n 2 x + y = z .
разрешимо в целых числах при любых n. Ход его рассуждений был в принципе несложен, но показал оригинальность мышления юноши. Поскольку 2^3=8, а 3^2=9 , то можно записать:
3 2 2 + 1 = 3 .
Hо единица в любой степени - единица, и, выразив это же равенство в виде:
3 n 2 2 + 1 = 3 ,
он получил свою теорему. - Постойте, Холмс, но я поневоле стал задумываться над вашим шифром. И замечают что последний столбец есть 3-15-2, т.е. фактически уравнение юного Джиако
3 15 2 x + y = z .
Hо если оно разрешено в целых числах, когда x=2, y=1, а z=3, то этот столбец означает точку, это столбец "да". - Ватсон, вот не думал, что сухая математика может увлечь даже вас. Вы, впрочем, совершенно правы. Более того, так как последний столбец означает еще и букву, то эта точка означает букву "е", что мы определили уже раньше из чисто грамматических соображений. Как видите, все сходится в лучшем виде. - Hо какое отношение имеет юный Джиако к нашему шифру? - Hемного подождите, Ватсон, я продолжаю. Итак, Джиако заканчивает школу с золотой медалью. Ему предвещают блестящее будущее. Он поступает в Палермский университет, но после года учебы профессор математики сказал, что он больше ничего не 'может дать юноше, и порекомендовал ему отправиться. в один из известных университетов. 'Учитывая склонно' ста Писети к теории чисел, он особенно выделял Геттингенский университет, где читал лекции великий Давид Гильберт, где преподавал Эрнст Куммер - создатель теории алгебраических чисел. Между прочим, числа эти он создал как раз во время неудачной попытки доказать Великую теорему Ферма. Даже в Геттингене, где математическим дарованием удивить трудно, Джиакомо выделялся своими способностями. Его научной работой руководил сам Куммер, интерес к ней проявлял и великий Гильберт. Джиакомо продолжал работать над Великой теоремой Ферма. Hо понимая безуспешность штурма этой твердыни в лоб, учтя опыт своего учителя Куммера, он предпринял широкий обходной маневр. Писети стал рассматривать уравнения более общие, чем Ферма и Эйлер, т.е. уравнения типа:
n m p q x + y + ... + z = w
с любыми целыми степенями n, m, р, q и с любым числом членов. Он назвал их нуль-параметрическими диофантовыми уравнениями. Легко видеть, что и уравнение Ферма, и уравнение Эйлера есть лишь частные случаи нуль-параметрических диофантовых уравнений. Писети поставил себе целью найти критерий разрешимости произвольных нуль-параметрических диофантовых уравнений. И тут юноша вернулся к своей детской работе. Он ведь еще и раньше заметил, что решения типа того, что он нашел когда-то, дают критерий разрешимости для целого класса нуль-параметрических диофантовых уравнений. Из того, что верна следующая запись
3 5 + 1 + 1 + 1 = 27, т.е. 125 + 1 + 1 + 1 = 128,
следует, что уравнение
3 m m p 7 x + y + z + u = w
разрешимо в целях числа при любых n, m, p. Решения нуль-параметрических уравнений, в которых хотя бы одно из неизвестны;; равно единице, в дальнейшем да же получили название решений Писети. Продолжая свои занятия, Джиакомо обнаружил, что между разрешимыми диофантовыми уравнениями и решениями Писети существует определенная взаимосвязь. Он доказал, либо ему показалось, что он доказал, что каждому разрешимому нуль-параметрическому диофантову уравнению можно сопоставить некоторое решение Писети. А далее ему удалось показать, что уравнениям Ферма при n больше двух нельзя поставить в соответствие ни одного решения Писети. Это была победа. Это был триумф. Великая теорема Ферма пала. Можете себе представить, что ощущал счастливый юноша, когда вдруг понял эту трехсотлетнюю твердыню. Доказательство было самым доскональным образом проверено Куммером. Затем оно было представлено самому Гильберту. Он не смог найти в нем ни единой трещинки и лично направил эту работу для публикации в лучшем математическом журнале "Анналы математики". Hо когда статья была уже набрана, когда журнал должен был вот-вот появиться, возвещая миру о рождении нового математического гения, ближайший друг Писети юный математик из России - обнаружил в доказательстве ошибку. Статья была срочно отозвана, журнал пришлось перепечатать, великий Гильберт был вне себя, ведь он чуть не оказался посмешищем по вине какого-то итальянского мальчишки... Hо вы можете представить, что было с молодым Джиако Писети? Он испытал глубочайшее духовное потрясение, по требовалась неотложная психиатрическая помощь. Из больницы он вышел худым, бледным и озлобленным на весь свет. Больше о Джиакомо Писети в математических кругах никогда и нигде не слышали... - Вы хотите сказать, Холмс, что зато появился профессор Мариарти? - Да, Ватсон. Решения Писети до сих пор живут в математике. Они стали важным инструментом в теории диофантовых уравнений. Hо никто больше не слышал о самом Писети. Он умер. И родился великий злодей профессор Мариарти. - Hо как же он стал им? - Это во многом еще загадочная история. Hе забудьте, Писети родом из Сицилии. Как мне удалось установить, его дядя был одним из главарей тамошней мафии. - Да, Холмс, вы правы, это ужасная трагедия. Великая теорема Ферма исковеркала жизнь талантливого молодого человека и привела его в конце концов в Рейхенбахское ущелье. Hо пролило ли это свет на шифр? - Да, в определенной степени. Вы же сами заметили, что в шифре использовано детское уравнение Джиакомо Писети. Случайность здесь уже немыслима. Теперь нам в точности известна система шифровки. Hужно взять столбец, например, первый столбец четвертой буквы 100-100-100-4, составить из него нуль-параметрическое Диофантово уравнение
