Мартин Гарднер - Математические головоломки и развлечения
Получающаяся сумма, разумеется, зависит от размеров квадрата. Если число клеток, умещающихся вдоль стороны квадрата, обозначить через n, то сумма будет равна —
Квадраты с нечетным n дают сумму, равную произведению n и числа, стоящего в центральной клетке. Если нумерацию клеток начать с числа а, большего 1, и продолжать по порядку, то сумма окажется равной
Интересно заметить, что точно такой же будет сумма чисел в любом столбце и в любой строке традиционного магического квадрата, составленного из тех же числовых элементов.
С помощью второй формулы легко найти, каким должно быть число в левом верхнем углу матрицы любых размеров, чтобы она давала наперед заданную сумму. Огромное впечатление производит следующий фокус, который можно показать экспромтом.
Попросив кого-нибудь назвать любое число, большее 30 (это позволит избежать отрицательных чисел), вы тут же чертите матрицу 4x4, которая будет давать сумму, равную только что указанному числу!
(Для быстроты, вместо того чтобы закрывать числа монетками, можно обводить их кружками, а строки и столбцы, на пересечении которых стоят выбранные числа, вычеркивать.)
Чтобы продемонстрировать этот фокус, вам придется проделать единственную выкладку (ее нетрудно произвести в уме): вычесть 30 из названного числа, а разность разделить на 4. Пусть, например, названо число 43. Вычитая 30, вы получаете 13. Разделив его на 4, находите число 3 1/4. Вписав 3 1/4 в левый верхний угол матрицы 4 х 4 и продолжив далее по порядку 4 1/4, 5 1/4 и т. д., вы получите магический квадрат с суммой, равной 43.
Чтобы еще больше запутать зрителя, числа в квадрате следует переставить. Например, первое число 3 1/4 можно вписать в клетку, стоящую в третьей строке (рис. 11),
Рис. 11
а три следующих числа 41/4, 51/4 и 61/4) расположить в той же строке, но в произвольном порядке.
Следующие четыре числа можно расположить в любой строке, но в том же порядке, в каком вы вписывали первые четыре числа. То же самое нужно проделать и с двумя оставшимися четверками чисел. В результате вы получите что-нибудь вроде квадрата, изображенного на рис. 12.
Рис. 12
Если вы не желаете иметь дело с дробными числами, но прежнему хотите получить сумму, равную 43, то дробь 1/4 у всех чисел можно отбросить, а к числам, стоящим в верхней строке, прибавить по единице (в результате чего в верхней строке окажутся числа 16, 17, 18 и 19). Точно так же, если бы дробная часть первого числа была равна 2/4, к числам, стоящим в верхней строке, нужно было бы прибавлять 2, а если бы дробная часть оказалась равной 3/4, -то 3.
Перестановка строк и столбцов не меняет магических свойств квадрата, но делает матрицу более загадочной, чем она есть на самом деле.
Фокус можно показывать и с таблицей умножения. В этом случае выбранные числа нужно не складывать, а умножать. Полученное произведение всегда равно произведению чисел, с помощью которых построена таблица.
Мне не удалось выяснить, кому первому пришла в голову мысль использовать эти забавные свойства таблиц сложения и умножения для фокуса. Основанный на этом принципе фокус с нумерованными картами описан в книге Мориса Крайчика.[7] Начиная с 1942 года было предложено несколько вариаций на ту же тему. Так, М. Стоувер заметил, что если на странице календаря обвести квадрат из 16 клеток, то получится таблица сложения, дающая сумму, которая вдвое превышает сумму двух чисел, стоящих на противоположных концах любой диагонали.
Широкие возможности открывает использование игральных карт. Например, можно ли так расположить карты в колоде, чтобы, сняв любую часть колоды и выложив содержащиеся в ней карты в виде квадрата, вы всегда получили одно и то же число? Этот принцип почти не исследован, и здесь предстоит еще открыть много интересного.
Новый вариант магического квадрата разработал С. Джеймс.
Этот вариант позволяет «внушать» аудитории любое слово по вашему желанию. Допустим, вы задумали слово «Джеймс». Взяв 36 карточек с нужными вам буквами, вы раскладываете их в форме квадрата следующим образом:
(карточки повернуты обратной стороной вверх, и буквы зрителям не видны).
Попросив кого-нибудь выбрать одну из карточек, вы откладываете ее в сторону, не переворачивая. Остальные карточки, находившиеся в одном столбце и одной строке с выбранной, вы откладываете в другую сторону (они вам больше не понадобятся). Эта процедура повторяется еще четыре раза, после чего единственную оставшуюся карточку вы добавляете к уже отложенным. Перевернув отобранные карточки лицевой стороной вверх, вы показываете, что из них можно составить слово «Джеймс». Способ отбора гарантирует, что среди отложенных карт не будет лишних.
Один из читателей сообщил нам, что ему удалось найти еще одно неожиданное применение магических квадратов: он рисовал их на поздравительных открытках, которые посылал своим друзьям-математикам в день их рождения. Следуя содержавшейся в открытке инструкции, адресат складывал выбранные им числа и к немалому своему удивлению получал собственный возраст.
Глава 3. ДЕВЯТЬ ЗАДАЧ
1. Путешествие по замкнутому маршруту. Многим читателям, по-видимому, известна старая головоломка: «Путешественник проходит один километр на юг, поворачивает, проходит один километр на восток, еще раз поворачивает, проходит один километр на север и оказывается в том самом месте, откуда вышел. Здесь он ловким выстрелом убивает медведя. Спрашивается, какого цвета шкура убитого медведя?»
Избитый ответ «белого» основан на неявном предположении, что исходной и конечной точкой замкнутого маршрута непременно должен быть Северный полюс. Не так давно было сделано открытие, что Северный полюс — отнюдь не единственная точка, удовлетворяющая всем условиям этой задачи!
Можете ли вы указать еще какую-нибудь точку земного шара, из которой можно было бы пройти один километр на юг, один километр на восток, один километр на север и снова оказаться в самом начале пути?
2. Покер. Двое играют в покер по следующим необычным правилам. Колоду из 52 карт они раскладывают на столе так, что могут видеть масти и значения всех карт. Первый игрок выбирает любые пять карт, второй делает то же самое, но его выбор ограничен лишь теми картами, которые остались лежать на столе. После этого первый игрок может либо оставить у себя на руках прежние пять карт, либо взять со стола новые карты (не больше пяти) и, выбрав из всех оказавшихся у него на руках карт любые пять, остальные отложить в сторону. Второй игрок вправе поступать точно таким же образом. Выигрывает тот, кто сумеет набрать пятерку карт с наибольшим числом очков. Все масти считаются одинаковыми, то есть флеши[8] разной масти различаются по очкам лишь в том случае, если они состоят из разных карт. Через несколько партий игроки замечают, что первый игрок всегда выигрывает, если он правильно сделает свой первый ход.
Какие пять карт должен выбрать первый игрок в начале игры?
3. Изуродованная шахматная доска. Для этой задачи нам потребуются шахматная доска и 32 кости домино. Размер каждой кости должен быть таким, чтобы она закрывала ровно две клетки доски, тогда 32 костями можно покрыть все 64 клетки.
Предположим теперь, что две угловые клетки, расположенные на концах «белой» диагонали (рис. 13), выпилены и одной кости домино нет.
Рис. 13 Шахматная доска с выпиленными углами.
Можно ли так расположить оставшиеся кости (их 31), чтобы они полностью покрыли все 62 клетки изуродованной шахматной доски? Если можно, то как? Если нельзя, то докажите, что это действительно невозможно.
4. На распутье. То, о чем мы сейчас расскажем, представляет собой новый вариант давно известного типа логических головоломок. Некий логик решил провести свой отпуск в путешествии по южным морям. Однажды он оказался на острове, который, как водится в задачах этого рода, населяли племя лжецов и племя правдивых туземцев. Члены первого племени всегда лгали, члены второго — всегда говорили только правду. Путешественник дошел до места, где дорога раздваивалась, и вынужден был спросить у оказавшегося поблизости туземца, какая из двух дорог ведет в деревню. Узнать, кем был встреченный туземец—лжецом или правдивым человеком, — путешественник не мог. Все же, поразмыслив, логик задал ему один-единственный вопрос и, получив ответ, узнал, по какой дороге следует идти. Какой вопрос задал путешественник?
